6.4: Sustitución trigonométrica

En la Sección 5.2 definimos la integral definida como el área señalizada bajo la curva”. En esa sección aún no habíamos aprendido el Teorema Fundamental del Cálculo, por lo que evaluamos integrales definidas especiales que describían formas geométricas bonitas. Por ejemplo, pudimos evaluar

\[ \begin{equation}\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx = \frac{9\pi}{2}\end{equation}\]

ya que reconocimos que\(f(x) = \sqrt{9-x^2}\) describía la mitad superior de un círculo con radio 3.

Desde entonces hemos aprendido una serie de técnicas de integración, incluyendo Sustitución e Integración por Partes, sin embargo, todavía no podemos evaluar la integral anterior sin recurrir a una interpretación geométrica. Esta sección introduce la Sustitución Trigonométrica, un método de integración que llena este vacío en nuestra habilidad de integración. Esta técnica funciona sobre el mismo principio que la Sustitución que se encuentra en la Sección 6.1, aunque puede sentirse “atrasada”. En la Sección 6.1, establecemos\(u=f(x)\), para alguna función\(f\), y\(f(x)\) reemplazamos por\(u\). En esta sección, estableceremos\(x=f(\theta)\), donde\(f\) está una función trigonométrica, luego reemplazaremos\(x\) con\(f(\theta)\).

Comenzamos por demostrar este método en la evaluación de la integral in\(\PageIndex{1}\). Después del ejemplo, generalizaremos el método y daremos más ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\(\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx\).

Solución

Comenzamos por señalar eso\(9\sin^2\theta + 9\cos^2\theta = 9\), y de ahí\(9\cos^2\theta = 9-9\sin^2\theta\). Si lo dejamos\(x=3\sin\theta\), entonces\(9-x^2 = 9-9\sin^2\theta = 9\cos^2\theta\).

Ajuste\(x=3\sin \theta\) da\(dx = 3\cos\theta\ d\theta\). Estamos casi listos para sustituir. También deseamos cambiar nuestros límites de integración. El encuadernado\(x=-3\) corresponde a\(\theta = -\pi/2\) (para cuándo\(\theta = -\pi/2\),\(x=3\sin \theta = -3\)). De igual manera, el encuadernado de\(x=3\) se sustituye por el encuadernado\(\theta = \pi/2\). Así

\[ \begin{align}\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{9-9\sin^2\theta} (3\cos\theta)\ d\theta \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\sqrt{9\cos^2\theta} \cos\theta\ d\theta \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3|3\cos \theta| \cos\theta\ d\theta.\end{align}\]

On\([-\pi/2,\pi/2]\), siempre\(\cos \theta\) es positivo, por lo que podemos dejar caer las barras de valor absoluto, luego emplear una fórmula reductora de potencia:

\[\begin{align} &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 9\cos^2 \theta\ d\theta\\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{9}{2}\big(1+\cos(2\theta)\big)\ d\theta\\ & = \frac92 \big(\theta +\frac12\sin(2\theta)\big)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}= \frac92\pi.\end{align}\]

Esto coincide con nuestra respuesta de antes.

Ahora describimos en detalle la Sustitución Trigonométrica. Este método sobresale cuando se trata de integrands que contienen\(\sqrt{a^2-x^2}\),\(\sqrt{x^2-a^2}\) y\(\sqrt{x^2+a^2}\). La siguiente Idea Clave 13 describe el procedimiento para cada caso, seguido de más ejemplos. Cada triángulo rectángulo actúa como referencia para ayudarnos a entender las relaciones entre\(x\) y\(\theta\).

Idea Clave 13: Sustitución Trigonométrica

1. Para los integrandos que contienen\(\sqrt{a^2-x^2}\):
   Dejar\(x=a\sin\theta\),\(dx = a\cos\theta\ d\theta\)
   Así\(\theta = \sin^{-1}(x/a)\), para\(-\pi/2\leq \theta\leq \pi/2\).
   En este intervalo,\(\cos\theta\geq 0\), entonces
   \(\sqrt{a^2-x^2} = a\cos\theta\).
2. Para los integrandos que contienen\(\sqrt{x^2+a^2}\):
   Dejar\(x=a\tan\theta\),\(dx = a\sec^2\theta\ d\theta\)
   Así\(\theta = \tan^{-1}(x/a)\), para\(-\pi/2 < \theta < \pi/2\).
   En este intervalo,\(\sec\theta> 0\), entonces
   \(\sqrt{x^2+a^2} = a\sec\theta\).
3. Para los integrands que contienen\(\sqrt{x^2-a^2}\):
   Let\(x=a\sec\theta\),\(dx = a\sec\theta\tan\theta\ d\theta\)
   Así\(\theta = \sec^{-1}(x/a)\). Si\(x/a\geq 1\), entonces\(0\leq\theta<\pi/2\); si\(x/a \leq -1\), entonces\(\pi/2<\theta\leq \pi\).
   Restringiremos nuestro trabajo a donde\(x\geq a\), entonces\(x/a\geq 1\), y\(0\leq\theta<\pi/2\).
   En este intervalo,\(\tan\theta\geq 0\), entonces
   \(\sqrt{x^2-a^2} = a\tan\theta\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\(\int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx.\)

Solución

Usando Key Idea 13 (b), reconocemos\(a=\sqrt{5}\) y establecemos\(x= \sqrt{5}\tan \theta\). Esto hace\(dx = \sqrt{5}\sec^2\theta\ d\theta\). Vamos a utilizar el hecho de que\(\sqrt{5+x^2} = \sqrt{5+5\tan^2\theta} = \sqrt{5\sec^2\theta} = \sqrt{5}\sec\theta.\) Sustituyendo, tenemos:

\[\begin{align}\int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx &= \int \frac{1}{\sqrt{5+5\tan^2\theta}}\sqrt{5}\sec^2\theta\ d\theta \\ &= \int \frac{\sqrt{5}\sec^2\theta}{\sqrt{5}\sec\theta} \ d\theta\\ &= \int \sec\theta\ d\theta\\ &= \ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|+C.\end{align}\]

Si bien los pasos de integración han terminado, aún no hemos terminado. El problema original se planteó en términos de\(x\), mientras que nuestra respuesta se da en términos de\(\theta\). Debemos volver a convertir a\(x\).

El triángulo de referencia dado en la Idea Clave 13 (b) ayuda. Con\(x=\sqrt{5}\tan\theta\), tenemos

\[\tan \theta = \frac x{\sqrt{5}}\quad \text{and}\quad \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}.\]

Esto da

\[\begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx &= \ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|+C \\ &= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}+ \frac x{\sqrt{5}}\right|+C.\end{align}\]

Podemos dejar esta respuesta tal cual, o podemos usar una identidad logarítmica para simplificarla. Nota:

\[\begin{align} \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}+ \frac x{\sqrt{5}}\right|+C &= \ln\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\big(\sqrt{x^2+5}+ x\big)\right|+C \\ &= \ln\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right| + \ln\big|\sqrt{x^2+5}+ x\big|+C\\ &= \ln\big|\sqrt{x^2+5}+ x\big|+C,\end{align}\]

donde el\(\ln\big(1/\sqrt{5}\big)\) término es absorbido en la constante\(C\). (En la Sección 6.6 aprenderemos otra forma de abordar este problema.)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\(\int \sqrt{4x^2-1}\ dx\).

Solución

Comenzamos por reescribir el integrand para que se vea como\(\sqrt{x^2-a^2}\) por algún valor de\(a\):

\[\begin{align}\sqrt{4x^2-1} &= \sqrt{4\left(x^2-\frac14\right)}\\ &= 2\sqrt{x^2-\left(\frac12\right)^2}\end{align}\]

Entonces tenemos\(a=1/2\), y siguiendo la Idea Clave 13 (c), establecemos\(x= \frac12\sec\theta\), y por lo tanto\(dx = \frac12\sec\theta\tan\theta\ d\theta\).

Ahora reescribimos la integral con estas sustituciones:

\[\begin{align} \int \sqrt{4x^2-1}\ dx &= \int 2\sqrt{x^2-\left(\frac12\right)^2}\ dx\\ &= \int 2\sqrt{\frac14\sec^2\theta - \frac14}\left(\frac12\sec\theta\tan\theta\right)\ d\theta\\ &=\int \sqrt{\frac14(\sec^2\theta-1)}\Big(\sec\theta\tan\theta\Big)\ d\theta\\ &=\int\sqrt{\frac14\tan^2\theta}\Big(\sec\theta\tan\theta\Big)\ d\theta\\ &=\int \frac12\tan^2\theta\sec\theta\ d\theta\\ &=\frac12\int \Big(\sec^2\theta-1\Big)\sec\theta\ d\theta\\ &=\frac12\int \big(\sec^3\theta - \sec\theta\big)\ d\theta.\end{align}\]

Se integró\(\sec^3\theta\) en el Ejemplo 6.3.6, encontrando que sus antiderivados son

\[\int \sec^3\theta\ d\theta = \frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln|\sec \theta+\tan \theta|\Big)+C.\]

Así

\[\begin{align} \int \sqrt{4x^2-1}\ dx &=\frac12\int \big(\sec^3\theta - \sec\theta\big)\ d\theta\\ &= \frac12\left(\frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln|\sec \theta+\tan \theta|\Big) -\ln|\sec \theta + \tan\theta|\right) + C\\ &= \frac14\left(\sec\theta\tan\theta -\ln|\sec\theta+\tan\theta|\right)+C.\end{align}\]

Aún no hemos terminado. Nuestra integral original se da en términos de\(x\), mientras que nuestra respuesta final, como se da, es en términos de\(\theta\). Necesitamos reescribir nuestra respuesta en términos de\(x\). Con\(a=1/2\), y\(x=\frac12\sec\theta\), el triángulo de referencia en Key Idea 13 (c) muestra que

\[\tan \theta = \sqrt{x^2-1/4}\Big/(1/2) = 2\sqrt{x^2-1/4}\quad \text{and}\quad \sec\theta = 2x.\]

Así

\[ \begin{align}\frac14\Big(\sec\theta\tan\theta -\ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|\Big)+C &= \frac14\Big(2x\cdot 2\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C\\ &= \frac14\Big(4x\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C.\end{align}\]

La respuesta final se da en la última línea anterior, repetida aquí:

\[\int \sqrt{4x^2-1}\ dx = \frac14\Big(4x\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C.\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\( \int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx\).

Solución

Utilizamos Key Idea 13 (a) con\(a=2\)\(x=2\sin \theta\),\(dx = 2\cos \theta\) y por lo tanto\(\sqrt{4-x^2} = 2\cos\theta\). Esto da

\[\begin{align}\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx &= \int \frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta}(2\cos\theta)\ d\theta\\ &= \int \cot^2\theta\ d\theta\\ &= \int (\csc^2\theta -1)\ d\theta\\ &= -\cot\theta -\theta + C.\end{align}\]

Necesitamos reescribir nuestra respuesta en términos de\(x\). Usando el triángulo de referencia que se encuentra en la Idea Clave 13 (a), tenemos\(\cot\theta = \sqrt{4-x^2}/x\) y\(\theta = \sin^{-1}(x/2)\). Así

\[\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx = -\frac{\sqrt{4-x^2}}x-\sin^{-1}\left(\frac x2\right) + C.\]

La Sustitución Trigonométrica se puede aplicar en muchas situaciones, incluso aquellas que no sean de la forma\(\sqrt{a^2-x^2}\),\(\sqrt{x^2-a^2}\) o\(\sqrt{x^2+a^2}\). En el siguiente ejemplo, lo aplicamos a una integral que ya sabemos manejar.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\( \int\frac1{x^2+1}\ dx\).

Solución

Ya conocemos la respuesta como\(\tan^{-1}x+C\). Aplicamos la Sustitución Trigonométrica aquí para demostrar que obtenemos la misma respuesta sin depender inherentemente del conocimiento de la derivada de la función arcangente.

Usando Key Idea 13 (b), let\(x=\tan\theta\),\(dx=\sec^2\theta\ d\theta\) y note eso\(x^2+1 = \tan^2\theta+1 = \sec^2\theta\). Así

\[\begin{align}\int \frac1{x^2+1}\ dx &= \int \frac{1}{\sec^2\theta}\sec^2\theta\ d\theta \\ &= \int 1\ d\theta\\ &= \theta + C.\end{align}\]

Desde\(x=\tan \theta\),\(\theta = \tan^{-1}x\), y concluimos que\(\int\frac1{x^2+1}\ dx = \tan^{-1}x+C.\)

El siguiente ejemplo es similar al anterior en que no involucra una raíz cuadrada. Muestra cómo se pueden combinar varias técnicas e identidades para obtener una solución.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Using Trigonometric Substitution

Evaluar\(\int\frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx.\)

Solución

Comenzamos completando el cuadrado, luego hacemos la sustitución\(u=x+3\), seguido de la sustitución trigonométrica de\(u=\tan\theta\):

\[\begin{align}\int \frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx =\int \frac1{\big((x+3)^2+1\big)^2}\ dx&= \int \frac1{(u^2+1)^2}\ du. \end{align}\]

Ahora haga la sustitución\(u=\tan\theta\),\(du=\sec^2\theta\ d\theta\):

\[\begin{align} &= \int \frac1{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta\ d\theta\\ &= \int\frac 1{(\sec^2\theta)^2}\sec^2\theta\ d\theta\\ &= \int \cos^2\theta\ d\theta.\end{align}\]

Aplicando una fórmula reductora de energía, tenemos

\[\begin{align} &= \int \left(\frac12 +\frac12\cos(2\theta)\right)\ d\theta\\ &= \frac12\theta + \frac14\sin(2\theta) + C. \end{align}\]

Tenemos que volver a la variable\(x\). Como\(u=\tan\theta\),\(\theta = \tan^{-1}u\). Usando la identidad\(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) y usando el triángulo de referencia que se encuentra en la Idea Clave 13 (b), tenemos

\[\frac14\sin(2\theta) = \frac12\frac u{\sqrt{u^2+1}}\cdot\frac 1{\sqrt{u^2+1}} = \frac12\frac u{u^2+1}.\]

Por último, volvemos a\(x\) con la sustitución\(u=x+3\). Comenzamos con la expresión en la ecuación\ eqref {eq:extrigsub7}:

\[\begin{align}\frac12\theta + \frac14\sin(2\theta) + C &= \frac12\tan^{-1}u + \frac12\frac{u}{u^2+1}+C\\ &= \frac12\tan^{-1}(x+3) + \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C.\end{align}\]

Expresando nuestro resultado final en una línea,

\[\int\frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx=\frac12\tan^{-1}(x+3) + \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C.\]

Nuestro último ejemplo nos devuelve a integrales definidas, como se ve en nuestro primer ejemplo. Dada una integral definida que puede evaluarse mediante Sustitución Trigonométrica, primero podríamos evaluar la integral indefinida correspondiente (cambiando de una integral en términos de\(x\) a una en términos de\(\theta\), luego volviendo a convertir a\(x\)) y luego evaluar usando los límites originales. Sin embargo, es mucho más sencillo cambiar los límites a medida que sustituimos.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Definite integration and Trigonometric Substitution

Evaluar\(\int_0^5\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}\ dx\).

Solución

Usando Key Idea 13 (b), establecemos\(x=5\tan\theta\)\(dx = 5\sec^2\theta\ d\theta\), y notamos que\(\sqrt{x^2+25} = 5\sec\theta\). A medida que sustituimos, también podemos cambiar los límites de la integración.

El límite inferior de la integral original es\(x=0\). Como\(x=5\tan\theta\), resolvemos\(\theta\) y encontramos\(\theta = \tan^{-1}(x/5)\). Así lo es el nuevo límite inferior\(\theta = \tan^{-1}(0) = 0\). El límite superior original es\(x=5\), así lo es el nuevo límite superior\(\theta = \tan^{-1}(5/5) = \pi/4\).

Así tenemos

\[\begin{align} \int_0^5\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}\ dx &= \int_0^{\pi/4} \frac{25\tan^2\theta}{5\sec\theta}5\sec^2\theta\ d\theta\\ &= 25\int_0^{\pi/4} \tan^2\theta\sec\theta \ d\theta.\end{align}\]

Encontramos esta integral indefinida en Ejemplo\(\PageIndex{3}\) donde encontramos

\[\int \tan^2\theta\sec\theta \ d\theta = \frac12\big(\sec\theta\tan\theta-\ln|\sec\theta+\tan\theta|\big).\]

Entonces

\[\begin{align}25\int_0^{\pi/4} \tan^2\theta\sec\theta\ d\theta &= \frac{25}2\big(\sec\theta\tan\theta-\ln|\sec\theta+\tan\theta|\big)\Bigg|_0^{\pi/4}\\&= \frac{25}2\big(\sqrt2-\ln(\sqrt2+1)\big)\\&\approx 6.661.\end{align}\]

Las siguientes igualaciones son muy útiles a la hora de evaluar integrales mediante Sustitución Trigonométrica.

Ket Idea 14: Igualdades útiles con sustitución trigonométrica

1. \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\)
2. \(\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta\)
3. \(\int \sec^3\theta\ d\theta = \frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln\big|\sec \theta+\tan \theta\big|\Big)+C\)
4. \(\int \cos^2\theta\ d\theta = \int \frac12\big(1+\cos(2\theta)\big)\ d\theta = \frac12\big(\theta+\sin\theta\cos\theta\big)+C.\)

En la siguiente sección se introduce la Descomposición Parcial de Fracciones, que es una técnica algebraica que convierte fracciones “complicadas” en sumas de fracciones “más simples”, facilitando la integración.

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