13.1: Integrales iteradas y Área

En el capítulo anterior encontramos que podíamos diferenciar funciones de varias variables con respecto a una variable, mientras tratamos todas las demás variables como constantes o coeficientes. Podemos integrar funciones de varias variables de manera similar. Por ejemplo, si nos dicen eso$f_x(x,y) = 2xy$, podemos tratar$y$ como mantenernos constantes e integrarnos para obtener$f(x,y)$:

\ [\ begin {alinear*}
f (x, y) &=\ int f_x (x, y)\, dx\\
&=\ int 2xy\, dx\\
&= x^2y + C.
\ end {align*}\]

Hacer una nota cuidadosa sobre la constante de integración,$C$. Esta “constante” es algo con un derivado de$0$ con respecto a$x$, por lo que podría ser cualquier expresión que contenga sólo constantes y funciones de$y$. Por ejemplo, si$f(x,y) = x^2y+ \sin y + y^3 + 17$, entonces$f_x(x,y) = 2xy$. Para significar que en realidad$C$ es una función de$y$, escribimos:

$$f(x,y) = \int f_x(x,y) \,dx = x^2y+C(y).$$

Usando este proceso podemos incluso evaluar integrales definidas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Integrating functions of more than one variable

Evaluar la$\displaystyle \int_1^{2y} 2xy \,dx.$

Solución Integral

Encontramos la integral indefinida como antes, luego aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida:

\ [\ begin {align*}
\ int_1^ {2y} 2xy\, dx &= x^2y\ Big|_1^ {2y}\\
&= (2y) ^2y - (1) ^2y\\
&= 4y^3-y.
\ end {alinear*}\]

También podemos integrarnos con respecto a$y$. En general,

$$\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f_x(x,y) \,dx = f(x,y)\Big|_{h_1(y)}^{h_2(y)} = f\big(h_2(y),y\big)-f\big(h_1(y),y\big),$$

y

$$\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f_y(x,y) \,dy = f(x,y)\Big|_{g_1(x)}^{g_2(x)} = f\big(x,g_2(x)\big)-f\big(x,g_1(x)\big).$$

Tenga en cuenta que al integrar con respecto a$x$, los límites son funciones de$y$ (de la forma$x=h_1(y)$ y$x=h_2(y)$) y el resultado final también es una función de$y$. Al integrarse con respecto a$y$, los límites son funciones de$x$ (de la forma$y=g_1(x)$ y$y=g_2(x)$) y el resultado final es una función de$x$. Otro ejemplo nos ayudará a entender esto.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Integrating functions of more than one variable

Evaluar$\displaystyle \int_1^x\big(5x^3y^{-3}+6y^2\big) \,dy$.

Solución

Consideramos$x$ como mantenerse constantes e integrarnos con respecto a$y$:

\ [\ begin {align*}
\ int_1^x\ grande (5x^3y^ {-3} +6y^2\ grande)\, dy & =\ izquierda (\ frac {5x^3y^ {-2}} {-2}} {-2} +\ frac {6y^3} {3}\ derecha)\ big|_1^x\
&=\ izquierda (-\ frac52x^3x^ {-2} +2x^3\ derecha) -\ izquierda (-\ frac52x^3+2\ derecha)\\
&=\ frac92x^3-\ frac52x-2.
\ end {alinear*}\]

Observe cómo son los límites de la integral desde$y=1$ hasta$y=x$ y que la respuesta final es función de$x$.

En el ejemplo anterior, integramos una función con respecto a$y$ y terminamos con una función de$x$. Podemos integrar esto también. Este proceso se conoce como integración iterada, o integración múltiple.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Integrating an integral

Evaluar$\displaystyle \int_1^2\left(\int_1^x\big(5x^3y^{-3}+6y^2\big) \,dy\right) \,dx.$

solución

Seguimos un “orden de operaciones” estándar y realizamos primero las operaciones dentro de paréntesis (que es la integral evaluada en Ejemplo$\PageIndex{2}$.)

\ [\ begin {align*}
\ int_1^2\ izquierda (\ int_1^x\ grande (5x^3y^ {-3} +6y^2\ grande)\, dy\ derecha)\, dx &=\ int_1^2\ izquierda (\ izquierda [\ frac {5x^3y^ {-2}} {-2} +\ frac {6y^3} {3}\ derecha]\ Bigg|_1^X\ derecha)\, dx\\
&=\ int_1^2\ izquierda (\ frac92x^3-\ frac52x-2\ derecha)\, dx\\
&=\ izquierda (\ frac98x^4-\ frac54 x^2-2x\ derecha)\ Bigg|_1^2\\
&=\ frac {89} 8.
\ end {alinear*}\]

Observe cómo$x$ fueron los límites de$x=1$ a$x=2$ y el resultado final fue un número.

El ejemplo anterior mostraba cómo podríamos realizar algo llamado integral iterada; aún no sabemos por qué nos interesaría hacerlo ni qué significa el resultado, como el número$89/8$. Antes de investigar estas preguntas, ofrecemos algunas definiciones.

Definición: Integración iterada

La integración iterada es el proceso de integrar repetidamente los resultados de integraciones anteriores. Integrar una integral se denota de la siguiente manera.

Dejar$a$,$b$,$c$ y$d$ ser números y dejar$g_1(x)$,$g_2(x)$,$h_1(y)$ y$h_2(y)$ ser funciones de$x$ y$y$, respectivamente. Entonces:

1. $\displaystyle \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx \,dy = \int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx\right) \,dy.$
2. $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \,dy \,dx = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \,dy\right) \,dx.$

Nuevamente toma nota de los límites de estas integrales iteradas.

Con$\displaystyle \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx \,dy$,$x$ varía de$h_1(y)$ a$h_2(y)$, mientras que$y$ varía de$c$ a$d$. Es decir, los límites de$x$ son curvas, las curvas$x=h_1(y)$ y$x=h_2(y)$, mientras que los límites de$y$ son constantes,$y=c$ y$y=d$. Es útil recordar que al configurar y evaluar tales integrales iteradas, integramos “de curva a curva, luego de punto a punto”.

Ahora comenzamos a investigar por qué nos interesan las integrales iteradas y qué significan.

Área de una región de plano

Considere la región plana$R$ delimitada por$a\leq x\leq b$ y$g_1(x)\leq y\leq g_2(x)$, mostrada en la Figura$\PageIndex{1}$. Aprendimos en la Sección 7.1 (en Cálculo I) que el área de$R$ está dada por

$$\int_a^b \big(g_2(x)-g_1(x)\big) \,dx.$$

Figura$\PageIndex{1}$: Calcular el área de una región plana R con una integral iterada.

Podemos ver la expresión$\big(g_2(x)-g_1(x)\big)$ como

$$\big(g_2(x)-g_1(x)\big) = \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} 1 \,dy =\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy,\nonumber$$

lo que significa que podemos expresar el área de$R$ como una integral iterada:

$$\text{area of }R = \int_a^b \big(g_2(x)-g_1(x)\big) \,dx = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy\right) \,dx =\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy \,dx.$$

En resumen: una cierta integral iterada puede verse como dando el área de una región plana.

Una región también$R$ podría definirse por$c\leq y\leq d$ y$h_1(y)\leq x\leq h_2(y)$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. Usando un proceso similar al anterior, tenemos
$$\text{the area of }R = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} \,dx \,dy.$$

Figura$\PageIndex{2}$: Calcular el área de una región plana R con una integral iterada.

Esto lo declaramos formalmente en un teorema.

TEORMA$\PageIndex{1}$: Area of a plane region

1. Dejar$R$ ser una región plana delimitada por$a\leq x\leq b$ y$g_1(x)\leq y\leq g_2(x)$, donde$g_1$ y$g_2$ son funciones continuas en$[a,b]$. El área$A$ de$R$ es $$A =\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)}\, dy\, dx.$$
2. Dejar$R$ ser una región plana delimitada por$c\leq y\leq d$ y$h_1(y)\leq x\leq h_2(y)$, donde$h_1$ y$h_2$ son funciones continuas en$[c,d]$. El área$A$ de$R$ es $$A =\ int_c^d\ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)}\, dx\, dy.$$

Los siguientes ejemplos deberían ayudarnos a entender este teorema.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Area of a rectangle

Encuentra el área$A$ del rectángulo con esquinas$(-1,1)$ y$(3,3)$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$: Calcular el área de un rectángulo con una integral iterada en Ejemplo$\PageIndex{4}$.

Solución

La integración múltiple es obviamente exagerada en esta situación, pero procedemos a establecer su uso.

La región$R$ está delimitada por$x=-1$,$x=3$,$y=1$ y$y=3$. Eligiendo integrarse con respecto a$y$ primero, tenemos
$$A = \int_{-1}^3\int_1^3 1 \,dy \,dx = \int_{-1}^3 \left(y\ \Big|_1^3\right) \,dx = \int_{-1}^3 2 \,dx = 2x\Big|_{-1}^3=8.\nonumber$$

También podríamos integrarnos con respecto a$x$ primero, dando:
$$A = \int_1^3\int_{-1}^3 1 \,dx \,dy =\int_1^3 \left(x\ \Big|_{-1}^3\right) \,dy = \int_1^3 4 \,dy = 4y\Big|_1^3 = 8.\nonumber$$

Claramente hay formas más sencillas de encontrar esta área, pero es interesante notar que este método funciona.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Area of a triangle

Encuentra el área$A$ del triángulo con vértices en$(1,1)$,$(3,1)$ y$(5,5)$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$: Calcular el área de un triángulo con integrales iteradas en Ejemplo$\PageIndex{5}$.

Solución

El triángulo está delimitado por las líneas como se muestra en la figura. Elegir integrarse con respecto a los$x$ primeros da que$x$ está delimitado por$x=y$ a$x = \frac{y+5}2$, mientras que$y$ está delimitado por$y=1$ a$y=5$. (Recordemos que como$x$ -valores aumentan de izquierda a derecha, la curva más a la izquierda,$x=y$, es el límite inferior y la curva más a la derecha$x=(y+5)/2$,, es el límite superior.) El área es

\ [\ begin {align*}
A &=\ int_1^5\ int_ {y} ^ {\ frac {y+5} 2}\, dx\, dy\\
&=\ int_1^5\ left (x\\ big|_y^ {\ frac {y+5} 2}\ derecha)\, dy\\
&=\ int_1^5\ izquierda (-\ frac12y+\ frac52\ derecha)\, dy\\
&=\ izquierda (-\ frac14y^2+\ frac52y\ derecha)\ Big|_1^5\\
& amp; =4.
\ end {alinear*}\]

También podemos encontrar el área integrándonos con respecto a$y$ primero. En esta situación, sin embargo, tenemos dos funciones que actúan como límite inferior para la región$R$,$y=1$ y$y=2x-5$. Esto requiere que usemos dos integrales iteradas. Observe cómo los$x$ límites son diferentes para cada integral:

\ [\ begin {align*}
A &=\ int_1^3\ int_1^x 1\, dy\, dx &+& & &\ int_3^5\ int_ {2x-5} ^x1\, dy\, dx\
&=\ int_1^3\ big (y\ big)\ big|_1^x\, dx & + & &\ int_3^^5\ grande (y\ grande)\ Big|_ {2x-5} ^x\, dx\\
&=\ int_1^3\ grande (x-1\ grande)\, dx & + & & &\ int_3^5\ grande (-x+5\ grande)\, dx\\
&= 2 & + & & & & 2\\
&=4.
\ end {alinear*}\]

Como era de esperar, obtenemos la misma respuesta en ambos sentidos.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Area of a plane region

Encuentra el área de la región encerrada por$y=2x$ y$y=x^2$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$.

Figura$\PageIndex{5}$: Calcular el área de una región plana con integrales iteradas en Ejemplo$\PageIndex{6}$.

Solución

Una vez más encontraremos el área de la región utilizando ambos órdenes de integración.

Usando$\,dy \,dx$:

$$\int_0^2\int_{x^2}^{2x}1 \,dy \,dx = \int_0^2(2x-x^2) \,dx = \big(x^2-\frac13x^3\big)\Big|_0^2 = \frac43.$$

Usando$\,dx \,dy$:

$$\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt{y}} 1 \,dx \,dy = \int_0^4 (\sqrt{y}-y/2) \,dy = \left(\frac23y^{3/2} - \frac14y^2\right)\Big|_0^4 = \frac43.$$

Cambio del orden de integración

En cada uno de los ejemplos anteriores, se nos ha dado una región$R$ y se han encontrado los límites necesarios para encontrar el área de$R$ usar ambos órdenes de integración. Integramos utilizando ambos órdenes de integración para demostrar su igualdad.

Ahora abordamos la habilidad de describir una región utilizando ambos órdenes de integración desde una perspectiva diferente. En lugar de comenzar con una región y crear integrales iteradas, comenzaremos con una integral iterada y la reescribiremos en el otro orden de integración. Para ello, tendremos que entender la región sobre la que nos estamos integrando.

El más simple de todos los casos es cuando ambas integrales están unidas por constantes. La región descrita por estos límites es un rectángulo (ver Ejemplo$\PageIndex{4}$), y así:

$$\int_a^b\int_c^d 1 \,dy \,dx = \int_c^d\int_a^b1 \,dx \,dy.$$

Cuando los límites de la integral interna no son constantes, generalmente es muy útil esbozar los límites para determinar cómo se ve la región sobre la que estamos integrando. A partir del boceto podemos entonces reescribir la integral con el otro orden de integración.

Los ejemplos nos ayudarán a desarrollar esta habilidad.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Changing the order of integration

Reescribir la integral iterada$\displaystyle \int_0^6\int_0^{x/3} 1 \,dy \,dx$ con el orden de integración$\,dx \,dy$.

Solución

Necesitamos usar los límites de la integración para determinar la región en la que nos estamos integrando.

Los límites nos dicen que$y$ está delimitado por$0$ y$x/3$;$x$ está delimitado por 0 y 6. Trazamos estas cuatro curvas:$y=0$$y=x/3$,,$x=0$ y$x=6$ para encontrar la región descrita por los límites. La figura$\PageIndex{6}$ muestra estas curvas, indicando que$R$ es un triángulo.

Figura$\PageIndex{6}$: Esbozo de la región R descrita por la integral iterada en Ejemplo$\PageIndex{7}$.

Para cambiar el orden de integración, debemos considerar las curvas que enlazan$x$ los valores -. Vemos que el límite inferior es$x=3y$ y el límite superior es$x=6$. Los límites en$y$ son$0$ para$2$. Así podemos reescribir la integral como$\displaystyle \int_0^2\int_{3y}^6 1 \,dx \,dy.$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Changing the order of integration

Cambiar el orden de integración de$\displaystyle \int_0^4\int_{y^2/4}^{(y+4)/2}1 \,dx \,dy$.

Solución

Dibujamos la región descrita por los límites para ayudarnos a cambiar el orden de integración. $x$está delimitado por debajo y arriba (es decir, a la izquierda y a la derecha) por$x=y^2/4$ y$x=(y+4)/2$ respectivamente, y$y$ está delimitado entre 0 y 4. Graficando las curvas anteriores, encontramos que la región es la$R$ que se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$.

Figura$\PageIndex{7}$: Dibujando la región determinada por los límites de integración en Ejemplo$\PageIndex{8}$.

Para cambiar el orden de integración, necesitamos establecer curvas que se unan$y$. La cifra deja claro que hay dos límites inferiores para$y$:$y=0$ on$0\leq x\leq 2$, y$y=2x-4$ on$2\leq x\leq 4$. Así necesitamos dos dobles integrales. El límite superior para cada uno es$y=2\sqrt{x}$. Así tenemos
$$\int_0^4\int_{y^2/4}^{(y+4)/2}1 \,dx \,dy = \int_0^2\int_0^{2\sqrt{x}} 1 \,dy \,dx + \int_2^4\int_{2x-4}^{2\sqrt{x}}1 \,dy \,dx.\nonumber$$

Esta sección ha introducido un nuevo concepto, el integral iterado. Desarrollamos una aplicación para la integración iterada: área entre curvas. No obstante, esto no es nuevo, pues ya sabemos encontrar áreas delimitadas por curvas.

En la siguiente sección aplicamos la integración iterada para resolver problemas que actualmente no sabemos manejar. El objetivo “real” de esta sección no era aprender una nueva forma de área de computación. Más bien, nuestro objetivo era aprender a definir una región en el plano usando los límites de una integral iterada. Esa habilidad es muy importante en los siguientes apartados.