13.5: Superficie

En la Sección 7.4 utilizamos integrales definidas para calcular la longitud del arco de las curvas planas de la forma$y=f(x)$. Posteriormente ampliamos estas ideas para calcular la longitud del arco de curvas planas definidas por ecuaciones paramétricas o polares.

La extensión natural del concepto de “longitud del arco a lo largo de un intervalo” a las superficies es “área superficial sobre una región”.

Considere la superficie$z=f(x,y)$ sobre una región$R$ en el$xy$ plano, que se muestra en la Figura$\PageIndex{1a}$. Debido a la forma abovedada de la superficie, el área superficial será mayor que la del área de la región$R$. Podemos encontrar esta área usando la misma técnica básica que hemos usado una y otra vez: haremos una aproximación, luego usando límites, refinaremos la aproximación al valor exacto.

Figura$\PageIndex{1}$: Desarrollo de un método de computación del área superficial.

Como se hace para encontrar el volumen bajo una superficie o la masa de una lámina,$R$ subdividimos en$n$ subregiones. Aquí$R$ subdividimos en rectángulos, como se muestra en la figura. Una de esas subregiones se esboza en la figura, donde el rectángulo tiene dimensiones$\Delta x_i$ y$\Delta y_i$, junto con su región correspondiente en la superficie.

En la parte (b) de la figura, nos acercamos a esta porción de la superficie. Cuando$\Delta x_i$ y$\Delta y_i$ son pequeñas, la función se aproxima bien por el plano tangente en cualquier punto$(x_i,y_i)$ de esta subregión, que se grafica en la parte (b). De hecho, el plano tangente se aproxima tan bien a la función que en esta figura, ¡es prácticamente indistinguible de la superficie misma! Por lo tanto, podemos aproximar el área$S_i$ de superficie de esta región de la superficie con el área$T_i$ de la porción correspondiente del plano tangente.

Esta porción del plano tangente es un paralelogramo, definido por lados$\vec u$ y$\vec v$, como se muestra. Una de las aplicaciones del producto transversal de la Sección 10.4 es que el área de este paralelogramo es$\norm{\vec u\times \vec v}$. Una vez que podamos determinar$\vec u$ y$\vec v$, podemos determinar el área.

$\vec u$es tangente a la superficie en la dirección de$x$, por lo tanto, de la Sección 12.7,$\vec u$ es paralela a$\langle 1,0,f_x(x_i,y_i)\rangle$. El$x$ -desplazamiento de$\vec u$ es$\Delta x_i$, así lo sabemos$\vec u = \Delta x_i\langle 1,0,f_x(x_i,y_i)\rangle$. Una lógica similar lo demuestra$\vec v = \Delta y_i\langle 0,1,f_y(x_i,y_i)\rangle$. Así:

\ [\ begin {alinear*}
\ texto {superficie$S_i$} &\ approx\ texto {área de$T_i$}\\
&=\ norma {\ vec u\ veces\ vec v}\\
&=\ big|\ big|\ delta x_i\ langle 1,0, f_x (x_i, y_i)\ rangle\ veces\ Delta y_i\ langle 0,1, f_y (x_i, y_i)\ rangle\ big|\ big|\\
&=\ sqrt {1+f_x (x_i, y_i) ^2+f_y (x_i, y_i) ^2}\,\ Delta x_i\,\ Delta y_i.
\ end {align*}\]
Tenga en cuenta que$\Delta x_i\,\Delta y_i = \Delta A_i$, el área de la$i^{\text{th}}$ subregión.

Resumiendo todas$n$ las aproximaciones a la superficie da
\[\text{surface area over $R$} \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{1+f_x(x_i,y_i)^2+f_y(x_i,y_i)^2}\,\Delta A_i.\]

Una vez más tomar un límite como todos los$\Delta x_i$ y$\Delta y_i$ reducir a 0; esto lleva a una doble integral.

Definición 105 Superficie

Dejar$z=f(x,y)$ donde$f_x$ y$f_y$ son continuos sobre una región cerrada y delimitada$R$. La superficie$S$ sobre$R$ es

\ [\ begin {align*}
S &=\ iint_r\ dS\\
&=\ iint_r\ sqrt {1+f_x (x, y) ^2+f_y (x, y) ^2}\ dA.
\ end {alinear*}\]

Nota: como se hizo antes, pensamos en "$\displaystyle \iint_R\ dS$" que significa “resumir muchas pequeñas áreas de superficie sobre”$R$.

Aquí se define el concepto de superficie, pues si bien ya tenemos una noción del área de una región en el plano, aún no teníamos una comprensión sólida de lo que significa “el área de una superficie en el espacio”.

Probamos esta definición utilizándola para calcular las áreas superficiales de superficies conocidas. Empezamos con un triángulo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the surface area of a plane over a triangle

Dejar$f(x,y) = 4-x-2y$, y dejar$R$ ser la región en el plano delimitado por$x=0$,$y=0$ y$y=2-x/2$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. Encuentra el área de superficie de$f$ más$R$.

Figura$\PageIndex{2}$: Encontrar el área de un triángulo en el espacio en Ejemplo$\PageIndex{1}$.

Solución
Seguimos Definición 105. Empezamos por señalar que$f_x(x,y) = -1$ y$f_y(x,y) = -2$. Para definir$R$, usamos límites$0\leq y\leq 2-x/2$ y$0\leq x\leq 4$. Por lo tanto
\ [\ begin {align*}
S &=\ iInt_R\ dS\\
&=\ int_0^4\ int_0^ {2-x/2}\ sqrt {1+ (-1) ^2+ (-2) ^2}\ dy\, dx\
&=\ int_0^4\ sqrt {6}\ izquierda (2-\ frac x2\ derecha) dx\
&= 4\ sqrt {6}.
\ end {alinear*}\]

Debido a que la superficie es un triángulo, podemos averiguar el área usando geometría. Considerando que la base del triángulo es el lado en el$xy$ plano -plano, encontramos que la longitud de la base es$\sqrt{20}$. Podemos encontrar la altura usando nuestro conocimiento de vectores: dejar$\vec u$ ser el lado en el$z$ plano$x$ - y dejar$\vec v$ ser el lado en el$xy$ -plano. La altura es entonces$\norm {\vec u - \text{proj}_{\vec v}\vec u} = 4\sqrt{6/5}$. La geometría establece que el área es así

$$\frac 12\cdot4\sqrt{6/5}\cdot\sqrt{20} = 4\sqrt{6}.$$

Afirmamos la validez de nuestra fórmula.

Es de “conocimiento común” que la superficie de una esfera de radio$r$ es$4\pi r^2$. Esto lo confirmamos en el siguiente ejemplo, que implica usar nuestra fórmula con coordenadas polares.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: The surface area of a sphere.

Encuentra el área de superficie de la esfera con radio$a$ centrado en el origen, cuyo hemisferio superior tiene ecuación$f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$.

Solución

Comenzamos por computar derivadas parciales y encontramos

$$f_x(x,y) = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \quad \text{and}\quad f_y(x,y) = \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}.$$

Como nuestra función$f$ solo define el hemisferio superior superior de la esfera, duplicamos nuestro resultado de superficie para obtener el área total:

\ [\ begin {align*}
S & = 2\ iint_r\ sqrt {1+ f_x (x, y) ^2+f_y (x, y) ^2}\ dA\\
&= 2\ iint_r\ sqrt {1+\ frac {x^2+y^2} {a^2-x^2-y^2}}\ dA.
\ end {alinear*}\]

La región sobre la$R$ que nos estamos integrando es el círculo, centrado en el origen, con radio$a$:$x^2+y^2=a^2$. Debido a esta región, es probable que tengamos mayor éxito con nuestra integración al convertirnos a coordenadas polares. Usando las sustituciones$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$,,$dA = r\ dr\ d\theta$ y límites$0\leq\theta\leq2\pi$ y$0\leq r\leq a$, tenemos:

\ [\ begin {align}
S &= 2\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^a\ sqrt {1+\ frac {r^2\ cos^2\ theta+r^2\ sin^2\ theta} {a^2-r^2\ cos^2\ theta-r^2\ sin^2\ theta}\ r\ dr\ theta\ notag\\
&=2\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ar\ sqrt {1+\ frac {r^2} {a^2-r^2}}\ dr\ d\ theta\ notag\\
&=2\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ar\ sqrt {\ frac {a^2} {a^2-r^2}}\ dr\ d\ theta. \ label {eq:exsurfacearea2}
\ end {align}\]

Aplicar sustitución$u=a^2-r^2$ e integrar la integral interna, dando

\ [\ begin {align} &= 2\ int_0^ {2\ pi} a^2\ d\ theta\ qquad\ qquad\ qquad\ notag\\
&= 4\ pi a^2\ qquad\ qquad\ qquad\ notag.
\ end {align}\]

Nuestro trabajo confirma nuestra fórmula anterior.

Nota: La integral interna en la Ecuación\ ref {eq:exsurfacearea2} es una integral impropia, ya que el integrando de no$\displaystyle \int_0^ar\sqrt{\frac{a^2}{a^2-r^2}}\ dr$ está definido en$r=a$. Para evaluar adecuadamente esta integral, se deben utilizar las técnicas de la Sección 6.8.

La razón por la que surge esta necesidad es que la función$f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ falla en los requisitos de la Definición 105, ya$f_y$ que$f_x$ y no son continuas en el límite del círculo$x^2+y^2=a^2$.

El cómputo de la superficie sigue siendo válido. La definición hace requisitos más fuertes de lo necesario en parte para evitar el uso de una integración inadecuada, ya que cuando$f_x$ y/o no$f_y$ son continuos, la integral inadecuada resultante no puede converger. Dado que la integral inadecuada converge en este ejemplo, el área de superficie se calcula con precisión.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding the surface area of a cone

La fórmula general para un cono derecho con altura$h$ y radio base$a$ se$f(x,y) = h-\dfrac{h}a\sqrt{x^2+y^2},$ muestra en la Figura 13.34. Encuentra la superficie de este cono.

Figura$\PageIndex{3}$: Encontrar el área superficial de un cono en Ejemplo$\PageIndex{3}$.

Solución

Comenzamos por computar derivados parciales.

$$f_x(x,y) = -\frac{xh}{a\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{and}\quad -\frac{yh}{a\sqrt{x^2+y^2}}.\nonumber$$

Como nos estamos integrando sobre el círculo$x^2+y^2=a^2$, nuevamente usamos coordenadas polares. Usando las sustituciones estándar, nuestro integrando se convierte en

$$\sqrt{1+ \left(\frac{hr\cos\theta}{a\sqrt{r^2}}\right)^2 + \left(\frac{hr\sin\theta}{a\sqrt{r^2}}\right)^2}.\nonumber$$

Esto puede parecer intimidante al principio, pero hay muchas simplificaciones simples por hacer. Sorprendentemente se reduce a solo

$$\sqrt{1+\frac{h^2}{a^2}} = \frac1a\sqrt{a^2+h^2}.\nonumber$$

Nuestros límites polares son$0\leq\theta\leq2\pi$ y$0\leq r\leq a$. Así

\ [\ begin {align*}
S &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ar\ frac1a\ sqrt {a^2+h^2}\ dr\ d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ izquierda. \ left (\ frac12r^2\ frac1a\ sqrt {a^2+h^2}\ derecha)\ derecha|_0^a\, d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ frac12a\ sqrt {a^2+h^2}\ d\ theta\\
&=\ pi a\ sqrt {a^2+h^2}.
\ end {alinear*}\]

Esto coincide con la fórmula que se encuentra en el reverso de este texto.

Nota: Tenga en cuenta que una vez más$f_x$ y no$f_y$ son continuos en el dominio de$f$, ya que ambos están indefinidos en$(0,0)$. (Un problema similar ocurrió en el ejemplo anterior.) Una vez más la integral inadecuada resultante converge y el cálculo de la superficie es válido.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Finding surface area over a region

Encuentre el área de la superficie$f(x,y) = x^2-3y+3$ sobre la región$R$ delimitada por$-x\leq y\leq x$,$0\leq x\leq 4$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$: Graficando la superficie en Ejemplo$\PageIndex{4}$.

Solución

Es sencillo de calcular$f_x(x,y) = 2x$ y$f_y(x,y) = -3$. Así el área superficial es descrita por la doble integral

$$\iint_R \sqrt{1+(2x)^2+(-3)^2}\ dA = \iint_R \sqrt{10+4x^2}\ dA.\nonumber$$

Al igual que con las integrales que describen la longitud del arco, las integrales dobles que describen el área de superficie son en general difíciles de evaluar directamente debido a la raíz cuadrada. Esta integral particular puede evaluarse fácilmente, sin embargo, con una elección juiciosa de nuestro orden de integración.

La integración con el orden$dx\ dy$ requiere que evaluemos$\int \sqrt{10+4x^2} dx$. Esto se puede hacer, aunque implica Integración Por Partes y$\sinh^{-1}x$. La integración con el orden$dy \,dx$ tiene como primera integral$\int \sqrt{10+4x^2}\ dy$, que es fácil de evaluar: es simplemente$y\sqrt{10+4x^2}+C$. Entonces procedemos con el orden$dy \,dx$; los límites ya están dados en el enunciado del problema.

\ [\ begin {align*}
\ iint_r\ sqrt {10+4x^2}\ dA &=\ int_0^4\ int_ {-x} ^x\ sqrt {10+4x^2}\ dy\, dx\
&=\ int_0^4\ left. \ grande (y\ sqrt {10+4x^2}\ grande)\ derecha|_ {-x} ^x\, dx\\
&=\ int_0^4\ grande (2x\ sqrt {10+4x^2}\ grande)\, dx. \ end {alinear*}\]

Aplicar sustitución con$u = 10+4x^2$:

\ [\ begin {align*} &=\ left. \ izquierda (\ frac16\ grande (10+4x^2\ grande) ^ {3/2}\ derecha)\ derecha|_0^4\\
&=\ frac13\ grande (37\ sqrt {74} -5\ sqrt {10}\ grande)\ aprox. 100.825\ texto {unidades} ^2.
\ end {alinear*}\]

Entonces, mientras que la región$R$ sobre la que nos integramos tiene un área de 16 unidades$^2$, la superficie tiene un área mucho mayor ya que sus$z$ valores cambian dramáticamente$R$.

En la práctica, la tecnología ayuda mucho en la evaluación de tales integrales. Los sistemas de álgebra computacional de alta potencia pueden calcular integrales que son difíciles, o al menos consumen mucho tiempo, a mano, y pueden al menos producir aproximaciones muy precisas con métodos numéricos. En general, el simple hecho de saber cómo configurar las integrales adecuadas acerca a uno muy cerca de poder calcular el valor necesario. La mayor parte del trabajo se realiza en realidad simplemente describiendo la región$R$ en términos de coordenadas polares o rectangulares. Una vez hecho esto, la tecnología suele proporcionar una buena respuesta.

Hemos aprendido a integrar integrales; es decir, hemos aprendido a evaluar integrales dobles. En la siguiente sección, aprendemos a integrar dobles integrales —es decir, aprendemos a evaluar integrales triples, junto con aprender algunos usos para esta operación.