15.8: Capítulo 15 Ejercicios de revisión

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. \(\displaystyle ∫_a^b∫_c^d f(x,y) \, dy \, dx = ∫_c^d∫_a^b f(x,y) \, dy \, dx\)

2. El teorema de Fubini puede extenderse a tres dimensiones, siempre y cuando\(f\) sea continuo en todas las variables.

Contestar

Cierto

3. La integral\(\displaystyle ∫_0^{2π}∫_0^1∫_r^1 \,dz \, dr \, dθ\) representa el volumen de un cono derecho.

4. El jacobiano de la transformación para\(x=u^2−2v, \, y=3v−2uv\) está dado por\(−4u^2+6u+4v.\)

Contestar

Falso

Evaluar las siguientes integrales.

5. \(\displaystyle \iint_R (5x^3y^2−y^2) \, dA,\)donde\(R=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}\)

6. \(\displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,\)donde\( D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}\)

Contestar

\(0\)

7. \(\displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dA\)donde\(D\) es un disco de radio\(2\) centrado en el origen.

8. \(\displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy\)

Contestar

\(\frac{1}{4}\)

9. \(\displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz\)

10. \(\displaystyle \iiint_R 3y \, dV,\)donde\(R=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}\)

Contestar

\(1.475\)

11. \(\displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr\)

12. \(\displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ\)

Contestar

\(\frac{52\pi}{3}\)

13. \(\displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx\)

Para los siguientes problemas, encuentre el área o volumen especificado.

14. El área de la región encerrada por un pétalo de\(r=\cos(4θ).\)

Contestar

\(\frac{\pi}{16} \text{ units}^3\)

15. El volumen del sólido que se encuentra entre el paraboloide\(z=2x^2+2y^2\) y el plano\(z=8.\)

16. El volumen del sólido delimitado por el cilindro\(x^2+y^2=16\) y de\(z=1\) a\(z+x=2.\)

Contestar

\(93.291 \text{ units}^3\)

17. El volumen de la intersección entre dos esferas de radio\(1,\) la parte superior cuyo centro es\((0,\,0,\,0.25)\) y la parte inferior, que está centrada en\((0,\,0,\,0).\)

Para los siguientes problemas, encuentra el centro de masa de la región.

18. \(ρ(x,y)=xy\)en el círculo con radio\(1\) en el primer cuadrante solamente.

Contestar

\( \left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right) \)

19. \(ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}\)en la región delimitada por\(y=e^x, \, y=0,\) y\(x=1.\)

20. \(ρ(x,y,z)=z\)en el cono invertido con radio\(2\) y altura\(2.\)

Contestar

\( \left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right) \)

21. El volumen de un cono de helado que viene dado por el sólido arriba\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) y abajo\(z^2+x^2+y^2=z.\)

Los siguientes problemas examinan a Mount Holly en el estado de Michigan. Mount Holly es un relleno sanitario que se convirtió en una estación de esquí. La forma del Monte Holly se puede aproximar mediante un cono circular derecho de 1100 pies de altura y radio de 6000 pies.

22. Si la basura compactada utilizada para construir el Monte Holly en promedio tiene una densidad\(400\text{ lb/ft}^3,\) encuentra la cantidad de trabajo requerido para construir la montaña.

Contestar

\(1.452\pi \times 10^{15}\)ft-lb

23. En realidad, es muy probable que la basura en el fondo del Monte Holly se haya compactado más con todo el peso de la basura anterior. Considerar una función de densidad con respecto a la altura: la densidad en la cima de la montaña sigue siendo densidad\(400\text{ lb/ft}^3,\) y la densidad aumenta. Cada 100 pies de profundidad, la densidad se duplica. ¿Cuál es el peso total de Mount Holly?

Los siguientes problemas consideran la temperatura y densidad de las capas de la Tierra.

24. [T] La temperatura de las capas de la Tierra se exhibe en la siguiente tabla. Usa tu calculadora para ajustar un polinomio de grado 3 a la temperatura a lo largo del radio de la Tierra. Entonces encuentra la temperatura promedio de la Tierra. (Pista: comienza en 0 en el núcleo interno y aumenta hacia afuera hacia la superficie)

Origen: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

Capa	Profundidad desde el centro (km)	Temperatura °C
Corteza rocosa	0 a 40	0
Manto Superior	40 a 150	870
Manto	400 a 650	870
Mantel interior	650 a 2700	870
Núcleo exterior fundido	2890 a 5150	4300
Núcleo interno	5150 a 6378	7200

Contestar

\(y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208\);
La temperatura promedio es aproximadamente 2800 °C.

25. [T] La densidad de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Usando su calculadora o un programa de computadora, encuentre la ecuación cuadrática que mejor se ajuste a la densidad. Usando esta ecuación, encuentra la masa total de la Tierra.

Origen: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Capa	Profundidad desde el centro (km)	Densidad (\(\text{g/cm}^3\))
Núcleo interno	0	\ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">12.95
Núcleo externo	1228	\ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">11.05
Manto	3488	\ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">5.00
Manto Superior	6338	\ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">3.90
Corteza	6378	\ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">2.55

Los siguientes problemas se refieren al Teorema de Pappus (ver Momentos y Centros de Masa para un repaso), un método para calcular el volumen utilizando centroides. Suponiendo que una región\(R,\) cuando gira alrededor del\(x\) eje -eje por el que está dado el volumen\(V_x=2πA\overline{y},\) y cuando gira alrededor del\(y\) eje -el volumen está dado por\(V_y=2πA\overline{x},\) donde\(A\) está el área de\(R.\) Considerar la región delimitada por\(x^2+y^2=1\) y por encima\(y=x+1.\)

26. Encuentre el volumen cuando gire la región alrededor del\(x\) eje.

Contestar

\(\frac{\pi}{3} \text{ units}^3\)

27. Encuentre el volumen cuando gire la región alrededor del\(y\) eje.