15.8: Capítulo 15 Ejercicios de revisión
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.
1. ∫ba∫dcf(x,y)dydx=∫dc∫baf(x,y)dydx
2. El teorema de Fubini puede extenderse a tres dimensiones, siempre y cuandof sea continuo en todas las variables.
- Contestar
- Cierto
3. La integral∫2π0∫10∫1rdzdrdθ representa el volumen de un cono derecho.
4. El jacobiano de la transformación parax=u2−2v,y=3v−2uv está dado por−4u2+6u+4v.
- Contestar
- Falso
Evaluar las siguientes integrales.
5. ∬dondeR=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}
6. \displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,donde D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}
- Contestar
- 0
7. \displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dAdondeD es un disco de radio2 centrado en el origen.
8. \displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy
- Contestar
- \frac{1}{4}
9. \displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz
10. \displaystyle \iiint_R 3y \, dV,dondeR=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}
- Contestar
- 1.475
11. \displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr
12. \displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ
- Contestar
- \frac{52\pi}{3}
13. \displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx
Para los siguientes problemas, encuentre el área o volumen especificado.
14. El área de la región encerrada por un pétalo der=\cos(4θ).
- Contestar
- \frac{\pi}{16} \text{ units}^3
15. El volumen del sólido que se encuentra entre el paraboloidez=2x^2+2y^2 y el planoz=8.
16. El volumen del sólido delimitado por el cilindrox^2+y^2=16 y dez=1 az+x=2.
- Contestar
- 93.291 \text{ units}^3
17. El volumen de la intersección entre dos esferas de radio1, la parte superior cuyo centro es(0,\,0,\,0.25) y la parte inferior, que está centrada en(0,\,0,\,0).
Para los siguientes problemas, encuentra el centro de masa de la región.
18. ρ(x,y)=xyen el círculo con radio1 en el primer cuadrante solamente.
- Contestar
- \left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right)
19. ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}en la región delimitada pory=e^x, \, y=0, yx=1.
20. ρ(x,y,z)=zen el cono invertido con radio2 y altura2.
- Contestar
- \left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right)
21. El volumen de un cono de helado que viene dado por el sólido arribaz=\sqrt{x^2+y^2} y abajoz^2+x^2+y^2=z.
Los siguientes problemas examinan a Mount Holly en el estado de Michigan. Mount Holly es un relleno sanitario que se convirtió en una estación de esquí. La forma del Monte Holly se puede aproximar mediante un cono circular derecho de 1100 pies de altura y radio de 6000 pies.
22. Si la basura compactada utilizada para construir el Monte Holly en promedio tiene una densidad400\text{ lb/ft}^3, encuentra la cantidad de trabajo requerido para construir la montaña.
- Contestar
- 1.452\pi \times 10^{15}ft-lb
23. En realidad, es muy probable que la basura en el fondo del Monte Holly se haya compactado más con todo el peso de la basura anterior. Considerar una función de densidad con respecto a la altura: la densidad en la cima de la montaña sigue siendo densidad400\text{ lb/ft}^3, y la densidad aumenta. Cada 100 pies de profundidad, la densidad se duplica. ¿Cuál es el peso total de Mount Holly?
Los siguientes problemas consideran la temperatura y densidad de las capas de la Tierra.
24. [T] La temperatura de las capas de la Tierra se exhibe en la siguiente tabla. Usa tu calculadora para ajustar un polinomio de grado 3 a la temperatura a lo largo del radio de la Tierra. Entonces encuentra la temperatura promedio de la Tierra. (Pista: comienza en 0 en el núcleo interno y aumenta hacia afuera hacia la superficie)
Capa | Profundidad desde el centro (km) | Temperatura °C |
---|---|---|
Corteza rocosa | 0 a 40 | 0 |
Manto Superior | 40 a 150 | 870 |
Manto | 400 a 650 | 870 |
Mantel interior | 650 a 2700 | 870 |
Núcleo exterior fundido | 2890 a 5150 | 4300 |
Núcleo interno | 5150 a 6378 | 7200 |
- Contestar
- y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208;
La temperatura promedio es aproximadamente 2800 °C.
25. [T] La densidad de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Usando su calculadora o un programa de computadora, encuentre la ecuación cuadrática que mejor se ajuste a la densidad. Usando esta ecuación, encuentra la masa total de la Tierra.
Capa | Profundidad desde el centro (km) | Densidad (\text{g/cm}^3) |
---|---|---|
Núcleo interno | 0 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">12.95 |
Núcleo externo | 1228 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">11.05 |
Manto | 3488 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">5.00 |
Manto Superior | 6338 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">3.90 |
Corteza | 6378 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">2.55 |
Los siguientes problemas se refieren al Teorema de Pappus (ver Momentos y Centros de Masa para un repaso), un método para calcular el volumen utilizando centroides. Suponiendo que una regiónR, cuando gira alrededor delx eje -eje por el que está dado el volumenV_x=2πA\overline{y}, y cuando gira alrededor dely eje -el volumen está dado porV_y=2πA\overline{x}, dondeA está el área deR. Considerar la región delimitada porx^2+y^2=1 y por encimay=x+1.
26. Encuentre el volumen cuando gire la región alrededor delx eje.
- Contestar
- \frac{\pi}{3} \text{ units}^3
27. Encuentre el volumen cuando gire la región alrededor dely eje.