4.4: Vacunación
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Abordamos este problema dentro del modelo de enfermedad epidémica SIR. \(p\)Sea la fracción de la población que se vacune y\(p_{*}\) la fracción mínima requerida para prevenir una epidemia. Cuando\(p>p_{*}\), una epidemia no puede ocurrir. Dado que incluso las personas no vacunadas están protegidas por la ausencia de epidemias, decimos que la población ha adquirido inmunidad colectiva.
Suponemos que los individuos son susceptibles a menos que estén vacunados, y los vacunados están en la clase eliminada. La población inicial se modela entonces como\((\hat{S}, \hat{I}, \hat{R})=(1-p, 0, p)\). Ya hemos determinado la estabilidad de este punto fijo a la perturbación de un pequeño número de infecciosos. La condición para que ocurra una epidemia viene dada por (4.3.7), y con\(\hat{S}_{0}=1-p\), ocurre una epidemia si
\[\mathcal{R}_{0}(1-p)>1 \nonumber \]
Por lo tanto, la fracción mínima de la población que debe vacunarse para prevenir una epidemia es
\[p_{*}=1-\frac{1}{\mathcal{R}_{0}} \nonumber \]
Las enfermedades con valores menores de\(\mathcal{R}_{0}\) son más fáciles de erradicar que las enfermedades con valores mayores\(\mathcal{R}_{0}\) ya que una población puede adquirir inmunidad de rebaño con una fracción menor de la población vacunada. Por ejemplo, la viruela con\(\mathcal{R}_{0} \approx 4\) ha sido erradicada en todo el mundo mientras que el sarampión con\(\mathcal{R}_{0} \approx 17\) todavía tiene brotes ocasionales.