5.1: Genética Haploide

Primero consideramos el modelado de selección en una población de organismos haploides. La selección se modela por coeficientes de aptitud, con diferentes genotipos que tienen diferentes adecuaciones. Comenzamos con un modelo simple que cuenta el número de individuos en la próxima generación, para luego mostrar cómo este modelo puede ser reformulado en términos de frecuencias alélicas y coeficientes de aptitud relativa.

Tabla\(5.1\) formula el modelo básico. Suponemos que hay dos alelos\(A\) y\(a\) para un gen haploide particular. Estos alelos son transportados en la población por\(n_{A}\) e\(n_{a}\) individuos, respectivamente. Se supone que una fracción\(g_{A}\left(g_{a}\right)\) de individuos portadores de alelo\(A(a)\) sobrevive hasta la edad de reproducción, y los que sobreviven aportan\(f_{A}\left(f_{a}\right)\) descendencia a la siguiente generación. Estos son por supuesto valores promedio, pero bajo el supuesto de una población (casi) infinita, nuestro modelo es determinista. En consecuencia, al\(n_{A}^{(i)}\left(n_{a}^{(i)}\right)\) representar el número de individuos portadores de alelo\(A(a)\) en la generación\(i\) th, y formulando un modelo de generación discreta, tenemos

\[n_{A}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}, \quad n_{a}^{(i+1)}=f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)} \nonumber \]

Es matemáticamente más fácil y transparente trabajar con frecuencias alélicas en lugar de números individuales. Denotamos la frecuencia (o más exactamente, proporción) del alelo\(A(a)\) en la generación\(i\) th por\(p_{i}\left(q_{i}\right) ;\) eso es,

\[p_{i}=\frac{n_{A}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}}, \quad q_{i}=\frac{n_{a}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}} \nonumber \]

donde evidentemente\(p_{i}+q_{i}=1 .\) Ahora, de (5.1.1),

\[n_{A}^{(i+1)}+n_{a}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}, \nonumber \]

de manera que dividir la primera ecuación en (5.1.1) por (5.1.3) rinde

\[\begin{align} \nonumber p_{i+1} &=\frac{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}}{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}} \\[4pt] &=\frac{f_{A} g_{A} p_{i}}{f_{A} g_{A} p_{i}+f_{a} g_{a} q_{i}} \\[4pt] &=\frac{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}}\nonumber \end{align} \nonumber \]

donde la segunda igualdad viene de dividir el numerador y el denominador por\(n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}\), y la tercera igualdad de dividir el numerador y el denominador por

genotipo	\(A\)	\(a\)
freq. de gameto	\(p\)	\(q\)
aptitud relativa	\(1+s\)	1
freq después de la selección	\((1+s) p / w\)	\(q / w\)
normalización	\(w=(1+s) p+q\)

Cuadro 5.2: Modelo genético haploide de la propagación de un alelo favorecido.

\(f_{A} g_{A}\). Del mismo modo,

\[q_{i+1}=\frac{q_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}} \nonumber \]

que también podría derivarse utilizando\(q_{i+1}=1-p_{i+1}\). Observamos a partir de las ecuaciones de evolución para las frecuencias alélicas, (5.1.4) y (5.1.5), que solo importa la aptitud relativa\(f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}\) de los alelos. En consecuencia, en nuestros modelos, consideraremos solo las adaptaciones relativas, y arbitrariamente estableceremos una adecuación a la unidad para simplificar el álgebra y hacer que el resultado final sea más transparente.

Propagación de un alelo favorecido

Consideramos un modelo simple para la propagación de un alelo favorecido en el Cuadro 5.2, con\(s>0\). Denotando\(p^{\prime}\) por la frecuencia de\(A\) en la próxima generación (no (!) la derivada de\(p\)), la ecuación de evolución viene dada por

\[\begin{align} \nonumber p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \end{align} \nonumber \]

donde hemos usado\((1+s) p+q=1+s p\), ya que\(p+q=1\). Tenga en cuenta que (5.1.6) es lo mismo que (5.1.4) con\(p^{\prime}=p_{i+1}, p=p_{i}\), y\(f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}=1+s\). Los puntos fijos de (5.1.6) se determinan a partir de\(p^{\prime}=p .\) Encontramos dos puntos fijos:\(p_{*}=0\), correspondientes a una población en la que el alelo\(A\) está ausente; y\(p_{*}=1\), correspondiente a una población en la que\(A\) se encuentra el alelo fijo. Intuitivamente,\(p_{*}=0\) es inestable mientras que\(p_{*}=1\) es estable.

Para ilustrar cómo se realiza analíticamente un análisis de estabilidad para una ecuación de diferencia (en lugar de una ecuación diferencial), considere la ecuación de diferencia general

\[p^{\prime}=f(p) \nonumber \]

Con\(p=p_{*}\) un punto fijo tal que\(p_{*}=f\left(p_{*}\right)\), escribimos\(p=p_{*}+\epsilon\) para que (5.1.7) se convierta

\[\begin{aligned} p_{*}+\epsilon^{\prime} &=f\left(p_{*}+\epsilon\right) \\[4pt] &=f\left(p_{*}\right)+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots \\[4pt] &=p_{*}+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots, \end{aligned} \nonumber \]

donde\(f^{\prime}\left(p_{*}\right)\) denota la derivada de\(f\) evaluada en\(p_{*} .\) Por lo tanto, al orden inicial en\(\epsilon\)

\[\left|\epsilon^{\prime} / \epsilon\right|=\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|, \nonumber \]

y el punto fijo es estable siempre que\(\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1\). Para nuestro modelo haploide,

\[f(p)=\frac{(1+s) p}{1+s p}, \quad f^{\prime}(p)=\frac{1+s}{(1+s p)^{2}} \nonumber \]

Cuadro 5.3: Modelo genético haploide de equilibrio mutación-selección.

genotipo	\(A\)	\(a\)
freq. de gameto	\(p\)	\(q\)
aptitud relativa	1	\(1-s\)
freq después de la selección	\(p / w\)	\((1-s) q / w\)
freq después de la mutación	\((1-u) p / w\)	\([(1-s) q+u p] / w\)
normalización	\(w=p+(1-s) q\)

de manera que\(f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=1+s>1\), y\(f^{\prime}\left(p_{*}=1\right)=1 /(1+s)<1\), confirmando que\(p_{*}=0\) es inestable y\(p_{*}=1\) estable.

Si el coeficiente de selección\(s\) es pequeño, la ecuación del modelo (5.1.6) se simplifica aún más. Tenemos

\[\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \\[4pt] &=(1+s) p\left(1-s p+\mathrm{O}\left(s^{2}\right)\right) \\[4pt] &=p+\left(p-p^{2}\right) s+\mathrm{O}\left(s^{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]

de manera que al orden de liderazgo en\(s\),

\[p^{\prime}-p=s p(1-p) \nonumber \]

Si\(p^{\prime}-p \ll 1\), que es válido para\(s \ll 1\), podemos aproximar esta ecuación de diferencia por la ecuación diferencial

\[d p / d n=s p(1-p) \nonumber \]

lo que demuestra que la frecuencia del alelo\(A\) satisface la ahora muy familiar ecuación logística.

Aunque existe un polimorfismo para este gen en la población a medida que el nuevo alelo se propaga, eventualmente\(A\) se fija en la población y el polimorfismo se pierde. En la siguiente sección, consideramos cómo se puede mantener un polimorfismo en una población haploide mediante un equilibrio entre mutación y selección.

Balance de mutación-selección

Consideramos un gen con dos alelos: un alelo de tipo silvestre\(A\) y un alelo mutante\(a\). Consideramos el alelo mutante como un genotipo defectuoso, lo que confiere al portador una menor aptitud en\(1-s\) relación con el tipo silvestre. Aunque todos los alelos mutantes pueden no tener secuencias de ADN idénticas, asumimos que comparten en común el mismo fenotipo de aptitud reducida. Modelamos los efectos opuestos de dos fuerzas evolutivas: selección natural, que favorece el alelo de tipo silvestre\(A\) sobre el alelo mutante\(a\), y mutación, que confiere una pequeña probabilidad de\(u\) que el alelo\(A\) mute a alelo \(a\)en cada individuo recién nacido. Esquemáticamente,

\[A \stackrel{u}{\underset{s}{\rightleftharpoons}} a \nonumber \]

donde\(u\) representa mutación y\(s\) representa selección. El modelo se muestra en la Tabla 5.3. Las ecuaciones para\(p\) y\(q\) en la próxima generación son

\[\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1-u) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-u) p}{1-s(1-p)} \end{aligned} \nonumber \]

Cuadro 5.4: La terminología de diploidía.

genotipo	\(A A\)	\(A a\)	\(a a\)
referido como	homocigoto de tipo silvestre	heterocigoto	homocigoto mutante
frecuencia	\(P\)	\(Q\)	\(R\)

y

\[\begin{align} \nonumber q^{\prime} &=\frac{(1-s) q+u p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-s-u) q+u}{1-s q} \end{align} \nonumber \]

donde hemos utilizado\(p+q=1\) para eliminar\(q\) de la ecuación para\(p^{\prime}\) y\(p\) de la ecuación para\(q^{\prime}\). Las ecuaciones para\(p^{\prime}\) y\(q^{\prime}\) son linealmente dependientes desde entonces\(p^{\prime}+q^{\prime}=1\), y necesitamos resolver solo una de ellas.

Considerando (5.1.13), los puntos fijos determinados a partir de\(p^{\prime}=p\) son\(p_{*}=0\), para lo cual\(a\) se fija el alelo mutante en la población y no hay polimorfismo, y la solución a

\[1-s\left(1-p_{*}\right)=1-u \nonumber \]

que es\(p_{*}=1-u / s\), y hay un polimorfismo. Las estabilidades de estos dos puntos fijos se determinan considerando\(p^{\prime}=f(p)\), con las\(f(p)\) dadas por el lado derecho de (5.1.13). Tomando el derivado de\(f\),

\[f^{\prime}(p)=\frac{(1-u)(1-s)}{[1-s(1-p)]^{2}} \nonumber \]

para que

\[f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=\frac{1-u}{1-s}, \quad f^{\prime}\left(p_{*}=1-u / s\right)=\frac{1-s}{1-u} . \nonumber \]

Aplicando el criterio\(\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1\) de estabilidad,\(p_{*}=0\) es estable para\(s<u\) y\(p_{*}=1-u / s\) es estable para\(s>u\). Por lo tanto, un polimorfismo es posible bajo el equilibrio mutación-selección cuando\(s>u>0\).