17.4: Declaraciones cuantificadas
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Las palabras que describen un conjunto completo, como “todo”, “cada” o “ninguno”, se denominan cuantificadores universales porque ese conjunto podría considerarse un conjunto universal. En contraste, palabras o frases como “algunos”, “uno” o “al menos uno” se denominan cuantificadores existenciales porque describen la existencia de al menos un elemento en un conjunto.
Un cuantificador universal afirma que todo un conjunto de cosas comparten una característica.
Un cuantificador existencial establece que un conjunto contiene al menos un elemento.
Algo interesante sucede cuando negamos —o declaramos lo contrario de— una afirmación cuantificada.
Supongamos que su amigo dice “Todo el mundo engaña a sus impuestos”. ¿Cuál es la cantidad mínima de pruebas que necesitarías para demostrar que tu amigo está equivocado?
Para demostrar que no es cierto que todo el mundo engaña a sus impuestos, todo lo que necesitas es una persona que no engañe a sus impuestos. Estaría perfectamente bien producir más gente que no haga trampa, pero un contraejemplo es todo lo que necesitas.
Es importante señalar que no es necesario demostrar que absolutamente nadie engaña a sus impuestos.
Supongamos que su amigo dice “Uno de estos seis cartones de leche está goteando”. ¿Cuál es la cantidad mínima de pruebas que necesitarías para demostrar que tu amigo está equivocado?
Solución
En este caso, tendrías que revisar los seis cartones y demostrar que ninguno de ellos tiene fugas. No puedes desacreditar la declaración de tu amigo comprobando solo una de las cajas.
Cuando negamos una declaración con un cuantificador universal, obtenemos una declaración con un cuantificador existencial, y viceversa.
La negación de “todos A son B” es “al menos una A no es B”.
La negación de “no A son B” es “al menos una A es B”.
La negación de “al menos una A es B” es “no A son B”.
La negación de “al menos una A no es B” es “todas A son B”.
“Alguien trajo una linterna”. Escribe la negación de esta afirmación.
La negación es “Nadie trajo linterna”.
“No hay números primos que sean pares”. Escribe la negación de esta afirmación.
La negación es “Al menos un número primo es par”.
Escribe la negación de “Todos los niños islandeses aprenden inglés en la escuela”.
- Responder
-
Al menos un niño islandés no aprendió inglés en la escuela.