2.6: Logaritmos naturales (¿Cómo puedo sacar esa variable del exponente?)

Su inversión está ganando intereses compuestos del 6% anual. Te preguntas cuánto tiempo tardará en duplicar su valor. Responder a esta pregunta requiere resolver una ecuación en la que la variable desconocida se ubica en el exponente en lugar de la posición base. Para encontrar la respuesta, se necesitan logaritmos, los cuales se revisan en esta sección y se aplicarán en el Capítulo 9 y Capítulo 11.

Logaritmos

Un logaritmo se define como el exponente al que se debe elevar una base para producir una potencia particular. Aunque la base puede asumir cualquier valor, dos valores para la base son los más utilizados.

1. Un Valor Base de 10. Esto se conoce como un logaritmo común. Así, si tienes\(10^2 = 100\), entonces 2 es el logaritmo común de 100 y esto se escribe como\(\log_{10}(100) = 2\), o simplemente\(\log(100) = 2\) (puedes asumir el 10 si la base no está escrita). El formato para un logaritmo común se puede resumir como

\[\text {log (power) }=\text { exponent }\nonumber \]

\[\text { If you have } 10^{x}=y, \text { then } \log (y)=x.\nonumber \]

2. Un Valor Base de e. Esto se conoce como un logaritmo natural. En matemáticas, existe una constante conocida\(e\), que es un decimal no terminante y tiene un valor aproximado de\(e = 2.71828182845\). Si tienes\(e^3 = 20.085537\), entonces 3 es el logaritmo natural de 20.085537 y lo escribes como\(ln(20.085537) = 3\). El formato para un logaritmo natural se resume entonces como:

\[\ln (\text { power })=\text { exponent }\nonumber \]

\[\text { If you have } e^{4}=54.59815, \text { then } \ln (54.59815)=4.\nonumber \]

Los logaritmos comunes se han utilizado en el pasado cuando las calculadoras no estaban equipadas con funciones de potencia. Sin embargo, con la llegada de computadoras y calculadoras avanzadas que tienen funciones de potencia, el logaritmo natural es ahora el formato más utilizado. A partir de aquí, este libro de texto se centra únicamente en logaritmos naturales.

Propiedades de logaritmos naturales

Los logaritmos naturales poseen seis propiedades:

1. El logaritmo natural de 1 es cero. Por ejemplo, si 1 es la potencia y 0 es el exponente, entonces tienes\(e^0 = 1\). Esto obedece a las leyes de los exponentes discutidas en la Sección 2.4 de este capítulo.
2. El logaritmo natural de cualquier número mayor que 1 es un número positivo. Por ejemplo, el logaritmo natural de 2 es 0.693147, o\(e^{0.693147} = 2\).
3. El logaritmo natural de cualquier número menor que 1 es un número negativo. Por ejemplo, el logaritmo natural de 0.5 es\(−0.693147\), o\(e^{−0.693147} = 0.5\). Similar a la propiedad 1, ésta obedece a las leyes de los exponentes discutidas en la Sección 2.4, donde\(e^{−0.693147} = \dfrac{1}{e^{0.693147}}\), siempre produciendo una fracción propiamente dicha.
4. Un logaritmo natural no puede ser menor o igual a cero. Dado que e es un número positivo con un exponente, no hay valor del exponente que pueda producir una potencia de cero. Además, es imposible producir un número negativo cuando la base es positiva.
5. El logaritmo natural del cociente de dos números positivos es\(\bf{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)}\). Por ejemplo,

\[\ln \left(\dfrac{\$ 20,000}{\$ 15,000}\right)=\ln (\$ 20,000)-\ln (\$ 15,000).\nonumber \]

\[\ln (1 . \overline{3})=9.903487-9.615805\nonumber \]

\[0.287682=0.287682\nonumber \]

6. El logaritmo natural de una potencia de una base positiva es\(\bf{\ln \left(x^{y}\right)=y(\ln x)}\). Esta propiedad le permite reubicar el exponente hacia abajo en la base. Aplicará esta propiedad especialmente en el Capítulo 9 y Capítulo 11. Demostrando este principio,

\[\begin{aligned} \ln \left(x^{y}\right) &=y(\ln x) \\ \ln \left(1.05^{6}\right) &=6 \times \ln (1.05) \\ \ln (1.340095) &=6 \times 0.048790 \\ 0.292741 &=0.292741 \end{aligned}\nonumber \]

Notas Importantes

Aplicar logaritmos naturales en tu calculadora TI BAII Plus requiere dos pasos.

1. Ingrese la potencia.
2. Con el encendido todavía en la pantalla, presiona la tecla LN ubicada en la columna izquierda de tu teclado. La solución en la pantalla es el valor del exponente. Si ingresa un valor imposible para el logaritmo natural, se muestra un mensaje de “Error 2" en la pantalla.

Si conoces al exponente y quieres averiguar el poder, recuerda eso\(e^x = \text {power}\). Esto se llama la función anti-registro. Así, si sabes que el exponente es 2, entonces\(e^2 = 7.389056\). En su calculadora, el anti-registro se puede ubicar en la segunda repisa directamente encima del botón LN. Para acceder a esta función, teclea primero el exponente y luego presione\(2^{nd} e^x\).

Caminos hacia el éxito

No es necesario memorizar el valor constante matemático de\(e\). Si necesitas recordar este valor, usa un exponente de 1 y accede a la\(e^x\) función. De ahí,\(e^1 = 2.71828182845\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Para cada una de las siguientes potencias, determine si el logaritmo natural es positivo, negativo, cero o imposible.

1. 2.3
2. 1
3. 0.45
4. 0.97
5. −2
6. 4.83
7. 0

Contestar

1. positivo (propiedad 2)
2. zero (Propiedad 1)
3. negativo (propiedad 3)
4. negativo (propiedad 3)
5. impossible (Propiedad 4)
6. positivo (propiedad 2)
7. imposible (propiedad 4)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Applying Natural Logarithms and Properties

Resuelve las dos primeras preguntas usando tu calculadora. Para las dos preguntas siguientes, demuestre la propiedad aplicable.

1. \(\ln(2.035)\)
2. \(\ln(0.3987)\)
3. \(\ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)\)
4. \(\ln \left[(1.035)^{12}\right]\)

Solución

Es necesario aplicar las propiedades de logaritmos naturales.

Lo que ya sabes

Se conocen las propiedades de los logaritmos naturales.

Cómo Llegarás

1. Aplica la propiedad 2 y llévalo a través de tu calculadora.
2. Aplica la propiedad 3 y llévalo a través de tu calculadora.
3. Aplicar propiedad 5,\(\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)\).
4. Aplicar propiedad 6,\(\ln \left(x^{y}\right)=y(\ln x)\)

Realizar

1. \(\ln(2.035) = 0.710496\)
2. \(\ln(0.3987) = −0.919546\)
3. \(\begin{aligned} \ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)&=\ln (\$ 10,000)-\ln (\$ 6,250) \\ \ln (1.6)&=9.210340-8.740336 \\ 0.470004&=0.470004 \end{aligned} \)
4. \ (\ comenzar {alineado}
   \ ln\ izquierda [(1.035) ^ {12}\ derecha] &=12\ veces\ ln (1.035)\\
   \ ln (1.511068) &=12\ veces 0.034401\\
   0.412817&=0.412817
   \ end {alineado}\)

Instrucciones de la calculadora

			Contestar
a.	2.035	LN	0.710496
b.	0.3987	LN	-0.919546
c.	\(10000 \div 6250=\)	LN	0.470004
d.	\(1.035 y^x 12=\)	LN	0.412817

Organizar tus respuestas en un formato más común:

1. \(e^{0.710496}=2.035\)
2. \(e^{-0.919546}=0.3987\)
3. \(\ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)=0.470004\)(como lo demuestra el inmueble)
4. \(\ln \left[(1.035)^{12}\right]=0.412817\)(como lo demuestra el inmueble)

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