3.1.1: Aplicaciones de Maximización (Ejercicios)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para los siguientes problemas de maximización, elija sus variables, escriba la función objetiva y las restricciones, grafique las restricciones, sombree la región de factibilidad, etiquete todos los puntos críticos y determine la solución que optimiza la función objetivo.

1) Una agricultora tiene 100 acres de tierra en la que planea cultivar trigo y maíz. Cada acre de trigo requiere 4 horas de mano de obra y $20 de capital, y cada acre de maíz requiere 16 horas de mano de obra y $40 de capital. El agricultor tiene como máximo 800 horas de mano de obra y $2400 de capital disponible. Si el beneficio de un acre de trigo es de 80 dólares y de un acre de maíz es de $100, ¿cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?

2) El señor Tran tiene $24,000 para invertir, algunos en bonos y el resto en acciones. Ha decidido que el dinero invertido en bonos debe ser al menos el doble que el de las acciones. Pero el dinero invertido en bonos no debe ser mayor a 18,000 dólares. Si los bonos ganan 6%, y las acciones ganan 8%, ¿cuánto dinero debería invertir en cada uno para maximizar las ganancias?

3) Una fábrica fabrica sillas y mesas, cada una de las cuales requiere el uso de tres operaciones: Corte, Ensamblaje y Acabado. La primera operación se puede utilizar como máximo 40 horas; la segunda como máximo 42 horas; y la tercera como máximo 25 horas. Una silla requiere 1 hora de corte, 2 horas de montaje y 1 hora de acabado; una mesa necesita 2 horas de corte, 1 hora de montaje y 1 hora de acabado. Si la ganancia es de $20 por unidad para una silla y $30 para una mesa, ¿cuántas unidades de cada una deben fabricarse para maximizar los ingresos?

4) The Silly Nut Company elabora dos mezclas de frutos secos: Mezcla A y Mezcla B. Una libra de Mezcla A contiene 12 oz de cacahuetes, 3 oz de almendras y 1 oz de anacardos y se vende por $4. Una libra de Mezcla B contiene 12 oz de cacahuetes, 2 oz de almendras y 2 oz de anacardos y se vende por $5. La empresa cuenta con 1080 lb de cacahuetes, 240 lb de almendras, 160 lb de anacardos. ¿Cuántas libras de cada una de las mezclas A y B debe hacer la compañía para maximizar el beneficio?
(Pista: Usa unidades consistentes. Trabajar todo el problema en libras convirtiendo todos los valores dados en onzas en fracciones de libras).

5)\ [\ begin {array} {lc}
\ text {Maximizar:} &Z=4 x+10 y\
\\ texto {Sujeto a:} & x+y\ leq 5\\
& 2 x+y\ leq 8\\
& x+2 y\ leq 8\\
& x\ geq 0, y\ geq 0
\ end {array}\ nonumber\]

6) Este problema de programación lineal de maximización no está en forma “estándar”. Tiene restricciones mixtas, algunas que involucran ≤ desigualdades y otras que involucran ≥ desigualdades. Sin embargo, con una cuidadosa gráfica, podemos resolverlo utilizando las técnicas que hemos aprendido en esta sección.

\ [\ begin {array} {ll}
\ text {Maximizar:} &Z=5 x+7 y\
\\ text {Sujeto a:} & x+y\ leq 30\\
& 2 x+y\ leq 50\\
& 4 x+3 y\ geq 60\\
& 2 x\ geq y\\
& x\ geq 0, y\ geq 0
\ end {array}\ nonumber\]