1.5: Precisión y cifras significativas

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En los primeros módulos, rara vez nos preocupamos por el redondeo; asumimos que cada número que nos dijeron era exacto y no teníamos que preocuparnos por ningún error de medición. Sin embargo, cada medición contiene algún error. Una hoja de papel estándar tiene$8.5$ pulgadas de ancho y$11$ pulgadas de alto, pero es posible que las medidas reales puedan estar más cerca$8.4999$ y$11.0001$ pulgadas. Incluso si medimos algo con mucho cuidado, con instrumentos muy sensibles, debemos asumir que podría haber algún pequeño error de medición.

Valores exactos y aproximaciones

Un número es un valor exacto si es el resultado de contar o una definición.

Un número es una aproximación si es el resultado de una medición o de redondeo.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Identificar cada número como un valor exacto o una aproximación.

1. Una pulgada es$\dfrac{1}{12}$ de un pie.

2. Esta tabla mide$78$ pulgadas de largo.

3. Hay$14$ alumnos en clase.

4. El tacómetro de un automóvil lee$3,000$ rpm.

5. Un ángulo recto mide$90$°.

6. El ángulo de elevación de una rampa es$4$°.

Responder

1. valor exacto

2. aproximación

3. valor exacto

4. aproximación

5. valor exacto

6. aproximación

Supongamos que un compañero de trabajo te manda un mensaje de texto que llegará en$20$ minutos Es difícil decir qué tan preciso es este número, porque a menudo redondeamos al más cercano$5$ o$10$ minutos. Puede esperar razonablemente que lleguen en cualquier momento dentro de$15$ los próximos$25$ minutos. Sin embargo, si tu compañero de trabajo les dice que llegarán en$17$ minutos, es probable que su GPS les dijera ese número más preciso, y razonablemente podrías esperar que lleguen en$16$ cuestión de$18$ minutos.

Precisión y cifras significativas

Debido a que las mediciones son inexactas, debemos considerar qué tan precisas son. Esto requiere que pensemos en cifras significativas, a menudo abreviadas “sig figs” en conversación, que son los dígitos en la medición que confiamos para ser correctos. La precisión de un número es igual al número de cifras significativas. ^[1] Las siguientes reglas no son particularmente difíciles de entender pero pueden llevar tiempo absorberlas e internalizarlas, por lo que incluiremos muchos ejemplos y ejercicios.

Figura$\PageIndex{1}$: Las mujeres afroamericanas fueron vitales para el éxito de la NASA en la década de 1960, como se muestra en la película Hidden Figures.

Cifras significativas

Todos los dígitos distintos de cero son significativos.
Ej:$12,345$ tiene cinco higos sig, y$123.45$ tiene cinco higos sig.
Todos los ceros entre otros dígitos distintos de cero son significativos.
Ej:$10,045$ tiene cinco higos sig, y$100.45$ tiene cinco higos sig.
Cualquier ceros a la derecha de un número decimal son significativos.
Ej:$123$ tiene tres higos sig, pero$123.00$ tiene cinco higos sig.
Los ceros a la izquierda de un número decimal NO son significativos.
Ej:$0.123$ tiene tres higos sig, y$0.00123$ tiene tres higos sig.
Los ceros a la derecha de un número entero NO son significativos a menos que estén marcados con una barra superior.
Ej:$12,300$ tiene tres higos sig, pero$12,30\overline{0}$ tiene cinco higos sig.

Otra forma de pensar sobre #4 y #5 anteriores es que los ceros que simplemente muestran el valor posicional—donde corresponde el punto decimal— NO son significativos.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Determinar la precisión (es decir, el número de cifras significativas) de cada número.

7. $63,400$

8. $63,040$

9. $63,004$

10. $0.085$

11. $0.0805$

12. $0.08050$

Responder

7. tres cifras significativas

8. cuatro cifras significativas

9. cinco cifras significativas

10. dos cifras significativas

11. tres cifras significativas

12. cuatro cifras significativas

Como se mencionó anteriormente, utilizamos una barra superior para indicar cuándo un cero que parece insignificante es realmente significativo. Por ejemplo, la precisión ^[2] de$7,400$ es el lugar de los cientos; si redondeamos algo de$7,350$$7,449$ al cien más cercano, escribiríamos el resultado como$7,400$. Una barra superior muestra que el número es más preciso de lo que parece. Si redondeamos algo del$7,395$$7,404$ al diez más cercano, el resultado sería$7,400$, pero ya no está claro que el número se redondeó al lugar de las decenas. Por lo tanto, para mostrar el nivel de precisión, escribimos el resultado como$7,4\overline{0}0$. Si redondeamos algo del$7,399.5$$7,400.4$ al más cercano, el resultado volvería a ser$7,400$, y nuevamente no podemos ver qué tan preciso es realmente el número redondeado. Por lo tanto, para demostrar que el número es preciso al lugar de unos, escribimos el resultado como$7,40\overline{0}$.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Determinar la precisión (es decir, el número de cifras significativas) de cada número.

13. $8,000$

14. $8,\overline{0}00$

15. $8,0\overline{0}0$

16. $8,00\overline{0}$

Responder

13. una cifra significativa

14. dos cifras significativas

15. tres cifras significativas

16. cuatro cifras significativas

Dos cosas para recordar: no ponemos una barra superior sobre un dígito distinto de cero, y no necesitamos una barra superior para ningún ceros a la derecha de un número decimal porque ya se entiende que esos son significativos.

Redondeo basado en precisión

Como vimos en un módulo anterior sobre decimales, a menudo es necesario redondear un número. A menudo redondeamos a cierto valor posicionar, como la centésima más cercana, pero hay otra manera de redondear. El redondeo basado en precisión considera el número de cifras significativas en lugar del valor posicionar.

Redondeo basado en precisión:

Localiza el dígito de redondeo al que estás redondeando contando desde la izquierda hasta que tengas el número correcto de cifras significativas.
Mire el dígito de prueba directamente a la derecha del dígito de redondeo.
Si el dígito de prueba es 5 o mayor, aumente el dígito de redondeo en 1 y deje caer todos los dígitos a su derecha. Si el dígito de prueba es menor que 5, mantenga el dígito de redondeo igual y baje todos los dígitos a su derecha.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Redondear cada número para que tenga el número indicado de cifras significativas.

17. $21,837$(dos higos sig)

18. $21,837$(tres higos sig)

19. $21,837$(cuatro higos sig)

20. $4.2782$(dos higos sig)

21. $4.2782$(tres higos sig)

22. $4.2782$(cuatro higos sig)

Responder

17. $22,000$

18. $21,800$

19. $21,840$

20. $4.3$

21. $4.28$

22. $4.278$

Cuando el dígito de redondeo de un número entero es a$9$ que se redondea hacia arriba a a$0$, debemos escribir una barra superior por encima de eso$0$.

De igual manera, cuando el dígito de redondeo de un número decimal es a$9$ que se redondea hacia arriba a a$0$, debemos incluir el$0$ en esa posición decimal.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Redondear cada número para que tenga el número indicado de cifras significativas. Asegúrese de incluir ceros finales o una barra superior si es necesario.

23. $13,997$(dos higos sig)

24. $13,997$(tres higos sig)

25. $13,997$(cuatro higos sig)

26. $2.5996$(dos higos sig)

27. $2.5996$(tres higos sig)

28. $2.5996$(cuatro higos sig)

Mt. Everest, Lohtse y Nuese temprano en la mañana

La montaña que conocemos como Mt. Everest se llama Sagarmatha en Nepal y Chomolungma en el Tíbet. El 8 de diciembre de 2020, Nepal y China anunciaron conjuntamente que la cumbre tiene una elevación de$29,031.69$ ft, reemplazando la elevación previamente aceptada de$29,029$ ft. ^[3]

29. $29,031.69$Pies redondos a dos higos sig.

30. $29,031.69$Pies redondos a tres higos sig.

31. $29,031.69$Pies redondos a cuatro higos sig.

32. $29,031.69$Pies redondos a cinco higos sig.

33. $29,031.69$Pies redondos a seis higos sig.

Responder

23. $14,000$

24. $14,\overline{0}00$

25. $14,0\overline{0}0$

26. $2.6$

27. $2.60$

28. $2.600$

29. $29,000\text{ ft}$

30. $29,\overline{0}00\text{ ft}$

31. $29,030\text{ ft}$

32. $29,032\text{ ft}$

33. $29,031.7\text{ ft}$

Precisión al Multiplicar y Dividir

Supongamos que necesitabas cuadrar el número$3\dfrac{1}{3}$. Podrías reescribir$3\dfrac{1}{3}$ como la fracción impropia$\dfrac{10}{3}$ y luego averiguar eso$(\dfrac{10}{3})^2 = \dfrac{100}{9}$, lo que equivale al decimal repetido$11.111...$

Debido a que la mayoría de la gente prefiere decimales a fracciones, en su lugar podríamos$3\dfrac{1}{3}$ redondear$3.3$ y encontrar eso$3.3^2=10.89$. Sin embargo, esto no es exacto porque debe ser$11.111...$ redondeado a la centésima más cercana$11.11$. La respuesta$10.89$ parece muy precisa, pero es una precisión falsa porque hay un error de redondeo involucrado. Si redondeamos nuestra respuesta$10.89$ a la décima más cercana, la obtendríamos$10.9$, lo que todavía no es exacto porque$11.111...$ redondeado al décimo más cercano debería ser$11.1$. Si redondeamos nuestra respuesta$10.89$ al número entero más cercano, obtendríamos$11$, lo cual es exacto porque$11.111...$ redondeado al número entero más cercano es de hecho$11$. Resulta que deberíamos estar centrándonos en el número de cifras significativas más que en el valor posicionar; debido a que solo$3.3$ tiene dos higos sig, nuestra respuesta debe ser redondeada a dos higos sig.

Supongamos, en cambio,$3\dfrac{1}{3}$ que nos acercamos$3.33$ y encontramos eso$3.33^2=11.0889$. Nuevamente, esto no es exacto porque debe ser$11.111...$ redondeado a la diezmilésima más cercana$11.1111$. Si redondeamos$11.0889$ a la milésima más cercana, obtendríamos$11.089$, lo que todavía no es exacto porque$11.111...$ redondeado a la milésima más cercana debería ser$11.111$. Si redondeamos$11.0889$ a la centésima más cercana, obtendríamos$11.09$, lo que todavía no es exacto porque$11.111...$ redondeado a la centésima más cercana debería ser$11.11$. Sólo cuando redondeamos a la décima más cercana obtenemos un resultado exacto:$11.0889$ redondeado al décimo más cercano es$11.1$, que es exacto porque$11.111...$ redondeado a la décima más cercana es efectivamente$11.1$. Como anteriormente, necesitamos enfocarnos en el número de cifras significativas más que en el valor posicionar; debido a que$3.33$ tiene sólo tres higos sig, nuestra respuesta debe ser redondeada a tres higos sig.

Al multiplicar o dividir números, la respuesta debe redondearse al mismo número de cifras significativas que el menos exacto de los números originales.

No redondee los números originales; primero haga los cálculos necesarios, luego redondee la respuesta como último paso.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

Usa una calculadora para multiplicar o dividir como se indica. Luego redondear al nivel apropiado de precisión.

34. $8.75\cdot12.25$

35. $355.12\cdot1.8$

36. $77.3\div5.375$

37. $53.2\div4.5$

38. Supongamos que está llenando una lata de gasolina de 5 galones. La gasolina cuesta $2.579 por galón, y estimas que comprarás$5.0$ galones. ¿Cuánto deberías esperar gastar?

Responder

34. $107$

35. $640$

36. $14.4$

37. $12$

38. $$12.90$

Los términos “dígitos significativos” y “cifras significativas” se utilizan indistintamente.
La precisión es diferente a la precisión, como aprenderemos en el siguiente módulo, pero se menciona aquí porque puede ser difícil explicar una sin la otra.
[1]https://www.washingtonpost.com/world/asia_pacific/mount-everest-height-nepal-china/2020/12/08/a7b3ad1e-389a-11eb-aad9-8959227280c4_story.html

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Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

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