7.5: Préstamos
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En la última sección, aprendiste sobre las anualidades de pago.
En esta sección, aprenderá sobre los préstamos convencionales (también llamados préstamos amortizados o préstamos a plazos). Los ejemplos incluyen préstamos para automóviles e hipotecas para viviendas. Estas técnicas no se aplican a préstamos de día de pago, préstamos complementarios u otros tipos de préstamos donde el interés se calcula por adelantado.
Una gran cosa de los préstamos es que utilizan exactamente la misma fórmula que una anualidad de pago. Para ver por qué, imagina que tenías 10 mil dólares invertidos en un banco, y empezaste a sacar pagos mientras ganabas intereses como parte de una anualidad de pago, y después de 5 años tu saldo era cero. Dale la vuelta a eso, e imagina que estás actuando como banco, y un prestamista de autos está actuando como tú. El prestamista de autos invierte $10,000 en ti. Ya que estás actuando como banco, pagas intereses. El prestamista de autos acepta pagos hasta que el saldo sea cero.
\[P_0 = \dfrac{d \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \nonumber \]
\(P_0\)es el saldo en la cuenta al inicio (el principal, o monto del préstamo).
\(d\)es el pago de tu préstamo (tu pago mensual, pago anual, etc)
\(r\)es la tasa de interés anual en forma decimal.
\(k\)es el número de períodos compuestos en un año.
\(N\)es la duración del préstamo, en años
Al igual que antes, la frecuencia de composición no siempre se da explícitamente, sino que está determinada por la frecuencia con la que realiza los pagos.
La fórmula del préstamo asume que usted realiza los pagos del préstamo en un horario regular (cada mes, año, trimestre, etc.) y están pagando intereses sobre el préstamo.
Interés compuesto: Un depósito
Anualidad: Muchos depósitos
Anualidad de pago: Muchos retiros
Préstamos: Muchos pagos
Puedes pagar $200 mensuales como pago de auto. Si puedes obtener un préstamo para auto al 3% de interés por 60 meses (5 años), ¿qué tan caro puedes pagar un auto? Es decir, ¿qué cantidad de préstamo puedes pagar con $200 mensuales?
Solución
En este ejemplo,
El pago mensual del préstamo:
\(d = $200\)
Tasa anual del 3%:
\(r = 0.03\)
Como estamos haciendo retiros mensuales, compondremos mensualmente:
\(k = 12\)
Ya que estamos haciendo pagos mensuales por 5 años:
\(N = 5\)
Estamos buscando\(P_0\), el monto inicial del préstamo.
\(P_0 = \dfrac{200 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.03}{12} \right)^{-5(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.03}{12}\right)} \)
\(P_0 = \dfrac{200 \times \left( 1 - \left( 1.0025 \right)^{-60} \right) }{\left( 0.0025 \right)} \)
\(P_0 = \dfrac{200 \left( 1 - 0.861 \right) }{\left( 0.0025 \right)} = $11,120\)
Deberá tener\($11,120\) en su cuenta cuando se jubile.
Observe que retiró un total de\($12,000\) (\($200\)un mes por\(60\) meses). La diferencia entre lo que sacaste y con lo que empezaste es el interés pagado. En este caso, es\($12,000 - $11,120 = $880\) de interés.
Quieres sacar una hipoteca de $140,000 (préstamo hipotecario). La tasa de interés del préstamo es del 6%, y el préstamo es por 30 años. ¿Cuánto serán tus pagos mensuales?
Solución
En este ejemplo, estamos buscando\(d\).
6% tasa anual:
\(r = 0.06\)
Ya que estamos pagando mensualmente:
\(k = 12\)
30 años:
\(N= 30\)
El monto inicial del préstamo:
\(P_{30} = $140,000\)
En este caso, vamos a tener que configurar la ecuación, y resolver para\(d\).
\(140000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{-30(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \)
\(140000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1.005 \right)^{-360} \right) }{\left( 0.005 \right)} \)
\(140000 = d(166.792) \)
\(d = \dfrac{140000}{166.792} = $839.37 \)
Realizarás pagos\($839.37\) mensuales por\(30\) años.
En general, si quisiéramos obtener el monto de cada pago, podemos reescribir la fórmula del préstamo como
\[d = \dfrac{P_0 \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 - \left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right)} \nonumber \]
Janine compró $3,000 de muebles nuevos a crédito. Debido a que su puntaje crediticio no es muy bueno, la tienda le está cobrando una tasa de interés bastante alta en el préstamo: 16%. Si accedió a pagar los muebles a lo largo de 2 años, ¿cuánto tendrá que pagar cada mes?