1.5: Orden de Operaciones

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El orden en que evaluamos las expresiones puede ser ambiguo. Tomemos por ejemplo, la expresión 4 + 3 · 2. Si hacemos la adición primero, entonces

4+3 · 2=7 · 2

= 14.

Por otro lado, si hacemos primero la multiplicación, entonces

4+3 · 2=4+6

= 10.

Entonces, ¿qué vamos a hacer? Por supuesto, agrupar símbolos puede eliminar la ambigüedad

Agrupación de símbolos

Se pueden usar paréntesis, corchetes o llaves para agrupar partes de una expresión. Cada uno de los siguientes son equivalentes:

(4 + 3) · 2 o [4 + 3] · 2 o {4+3} · 2

En cada caso, la regla es “evaluar primero la expresión dentro de los símbolos de agrupación”. Si los símbolos de agrupación están anidados, evalúe primero la expresión en el par más interno de símbolos de agrupación.

Así, por ejemplo,

(4 + 3) · 2=7 · 2

= 14.

Observe cómo se evaluó primero la expresión contenida en los paréntesis. Otra forma de evitar ambigüedades en la evaluación de expresiones es establecer un orden en el que deben realizarse las operaciones. Siempre se deben aplicar estrictamente las siguientes pautas a la hora de evaluar expresiones.

Reglas que guían el orden de operaciones

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

Evalúe primero las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación. Si los símbolos de agrupación están anidados, evalúe primero la expresión en el par más interno de símbolos de agrupación.
Evaluar todos los exponentes que aparecen en la expresión.
Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
Realizar todas las adiciones y restaciones en

Ejemplo 1

Evaluar 4 + 3 · 2.

Solución

Debido a las Reglas establecidas que rigen el orden de operaciones, esta expresión ya no es ambigua. No hay símbolos de agrupación ni exponentes, por lo que inmediatamente vamos a la regla tres, evaluamos todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, moviéndonos de izquierda a derecha. Después de eso invocamos la regla cuatro, realizando todas las adiciones y restas en el orden en que aparecen, moviéndonos de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} 4+3 \dot 2=4+6 \\ = 10 \end{aligned}\nonumber \]

Así, 4 + 3 · 2 = 10.

Ejercicio

Simplificar: 8 + 2 · 5.

Contestar: 18

Ejemplo 2

Evaluar 18 − 2 + 3.

Solución

Siga las Reglas que guían el orden de operaciones. La suma no tiene precedencia sobre la resta, ni la resta tiene precedencia sobre la suma. Estamos para realizar adiciones y restas a medida que ocurren, moviéndonos de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: 18 − 2 = 16.}} \\ = 19 & \textcolor{red}{ \text{ Add: 16 + 3 = 19. }} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 18 − 2 + 3 = 19.

Ejercicio

Simplificar: 17 − 8 + 2.

Contestar: 11

Ejemplo 3

Evaluar 54 ÷ 9 · 2.

Solución

Siga las Reglas que guían el orden de operaciones. La división no tiene precedencia sobre la multiplicación, ni la multiplicación tiene precedencia sobre la división. Estamos para realizar divisiones y multiplicaciones a medida que ocurren, moviéndonos de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} 54 \div 9 \cdot 2=6 \dot 2 & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 54 } \div \text{ 9 = 6. }} \\ = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 6 } \cdot \text{ 2 = 12. }} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 54 ÷ 9 · 2 = 12.

Ejercicio

Simplificar: 72 ÷ 9 · 2.

Contestar: 16

Ejemplo 4

Evaluar 2 · 3 ² − 12.

Solución

Siga las Reglas que guían el orden de operaciones, primero los exponentes, luego la multiplicación, luego la resta.

\[ \begin{aligned} 2 \cdot 3^2 - 12 = 2 \dot 9 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate the exponent: 3^2 = 9. }} \\ = 18 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the multiplication: } 2 \cdot 9 = 18. } \\ = 6 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the subtraction: } 18 - 12 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 2 · 3 ² − 12 = 6.

Ejercicio

Simplificar: 14 + 3 · 4 ²

Contestar: 62

Ejemplo 5

Evaluar 12 + 2 (3 + 2 · 5) ².

Solución

Siga el Orden de Operaciones de Guía de Reglas, evalúe primero la expresión dentro de los paréntesis, luego exponentes, luego multiplicación, luego suma.

\[ \begin{aligned} 12 + 2(3 + 5 \cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply inside parentheses: 2 } \cdot 5 = 10.} \\ = 12 + 2(13)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside parentheses: } 3 + 10 = 13.} \\ = 12 + 2(169) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next: } (13)^2 = 169.} \\ = 12 + 338 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplication is next: } 2(169) = 338.} \\ = 350 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Time to add: } 12 + 338 = 350.} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2 = 350.

Ejercicio

Simplificar: 3 (2 + 3 · 4) ² − 11.

Contestar: 577

Ejemplo 6

Evaluar 2 {2 + 2 [2 + 2]}.

Solución

Cuando se anidan los símbolos de agrupación, primero evalúe la expresión entre el par de símbolos de agrupación más internos.

\[ \begin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Innermost grouping first: } 2 + 2 = 4.} \\ = 2(2+8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply next: } 2[4] = 8.} \\ = 2(10) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside braces: } 2 + 8 = 10.} \\ = 20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2(10) = 20} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 2 (2 + 2 [2 + 2]) = 20.

Ejercicio

Simplifica: 2 {3 + 2 [3 + 2]}.

Contestar: 26

Barras de Fracción

Considera la expresión

\[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}\nonumber \]

Debido a que una barra de fracción significa división, la expresión anterior es equivalente a

\[\left(6^{2}+8^{2}\right) \div(2+3)^{2}\nonumber \]

La posición de los símbolos de agrupación señala cómo debemos proceder. Deberíamos simplificar el numerador, luego el denominador, luego dividir.

Expresiones fraccionarias

Si una expresión fraccionaria está presente, evalúe primero el numerador y el denominador, luego divida.

Ejemplo 7

Evaluar la expresión

\[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}.\nonumber \]

Solución

Simplifique primero el numerador y el denominador, luego divídalo.

\[ \begin{aligned} \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=\frac{6^{2}+8^{2}}{(5)^{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses in denominator first: } 2 + 3 = 5} \\ = \frac{36+64}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{Exponents are next: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} \\ = \frac{100}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add in numerator: } 36 + 64 = 100} \\ = 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 100 \div 25 = 4.} \end{aligned}\nonumber \]

Así,\(\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4\).

Ejercicio

Simplificar:\(\frac{12+3 \cdot 2}{6}\) Responder

La propiedad distributiva

Considera la expresión 2 · (3 + 4). Si seguimos las “Reglas que guían el orden de operaciones”, evaluaríamos primero la expresión dentro de los paréntesis. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Paréntesis primero: 3 + 4 = 7. = 14 Multiplicar: 2 · 7 = 14.

Sin embargo, también podríamos optar por “distribuir” el 2, primero multiplicando 2 veces cada adenda entre paréntesis.

\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply 2 times both 3 and 4.}} \\ = 6 + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2 \cdot 3 = 6 \text{ and } 2 \cdot 4 = 8.} \\ = 14 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 6 + 8 = 14.} \end{aligned}\nonumber \]

El hecho de que obtengamos la misma respuesta en el segundo enfoque es una ilustración de una propiedad importante de los números enteros. ¹

La propiedad distributiva

Sea a, b y c cualquier número entero. Entonces,

a · (b + c) = a · b + a · c.

Decimos que “la multiplicación es distributiva con respecto a la suma”.

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Si no estás calculando el producto de un número y una suma de números, la propiedad distributiva no aplica.

¡Precaución! ¡Respuesta Mal Adelante!

Si estás calculando el producto de un número y el producto de dos números, no se debe utilizar la propiedad distributiva. Por ejemplo, aquí hay una mala aplicación común de la propiedad distributiva.

\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \\ = 6 \cdot 8 \\ = 48 \end{aligned}\nonumber \]

Este resultado está bastante distante de la respuesta correcta, la cual se encuentra calculando primero el producto dentro de los paréntesis.

\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 \\ = 24. \end{aligned}\nonumber \]

Para aplicar la propiedad distributiva, debes estar multiplicando por una suma.

Ejemplo 8

Utilice la propiedad distributiva para calcular 4 · (5 + 11).

Solución

Este es el producto de un número y una suma, por lo que se puede aplicar la propiedad distributiva.

\[ \begin{aligned} 4 \cdot (5 + 11) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 11 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 4 times addend in the sum.}} \\ = 20 + 44 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4 \cdot 5 = 20 \text{ and } 4 \cdot 11 = 44.} \\ = 64 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 20 + 44 = 64.} \end{aligned}\nonumber \]

Los lectores deben verificar que se encuentre la misma respuesta calculando primero la suma entre paréntesis.

Ejercicio

Distribuir: 5 · (11 + 8).

Contestar: 95

La propiedad distributiva es la base del algoritmo de multiplicación aprendido en nuestra infancia.

Ejemplo 9

Multiplicar: 6 · 43.

Solución

Expresaremos 43 como suma, luego usaremos la propiedad distributiva.

\[ \begin{aligned} 6 \cdot 43 = 6 \cdot (40 + 3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Express 43 as a sum: } 43 = 40 + 3} \\ = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 6.}} \\ = 240 + 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 6 \cdot 40 = 240 \text{ and } 6 \cdot 3 = 18.} \\ = 258 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 240 + 18 = 258.} \end{aligned}\nonumber \]

Los lectores deberían poder ver esta aplicación de la propiedad distributiva en la forma algorítmica más familiar:

\( \begin{array}{r}{43} \\ { \times 6} \\ \hline 18 \\ {\frac{240}{258}}\end{array}\)

O en la forma aún más condensada con “llevar:”

\( \begin{array}{r}{^{1} 43} \\ {\frac{ \times 6}{258}}\end{array}\)

Ejercicio

Utilice la propiedad distributiva para evaluar 8 · 92.

Contestar: 736

La multiplicación también es distributiva con respecto a la resta.

La propiedad distributiva (resta)

Sea a, b y c cualquier número entero. Entonces,

a · (b − c) = a · b − a · c.

Decimos que la multiplicación es “distributiva con respecto a la resta”.

Ejemplo 10

Utilice la propiedad distributiva para simplificar: 3 · (12 − 8).

Solución

Este es el producto de un número y una diferencia, por lo que se puede aplicar la propiedad distributiva.

\[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 3 times each term in the difference.}} \\ = 36 - 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Multiply: } 3 \cdot 12 = 36 \text{ and } 3 \cdot 8 = 24.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Subtract: } 36 - 24 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]

Solución alternativa

Tenga en cuenta lo que sucede si usamos el “orden de operaciones” habitual para evaluar la expresión.

\[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 12 - 8 = 4.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3 \cdot 4 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]

Misma respuesta.

Ejercicio

Distribuir: 8 · (9 − 2).

Contestar: 56

Ejercicios

En los Ejercicios 1-12, simplificar la expresión dada.

1. 5+2 · 2

2. 5+2 · 8

3. 23 − 7 · 2

4. 37 − 3 · 7

5. 4 · 3+2 · 5

6. 2 · 5+9 · 7

7. 6 · 5+4 · 3

8. 5 · 2+9 · 8

9. 9+2 · 3

10. 3+6 · 6

11. 32 − 8 · 2

12. 24 − 2 · 5

En los Ejercicios 13-28, simplificar la expresión dada.

13. 45 ÷ 3 · 5

14. 20 ÷ 1 · 4

15. 2 · 9 ÷ 3 · 18

16. 19 · 20 ÷ 4 · 16

17. 30 ÷ 2 · 3

18. 27 ÷ 3 · 3

19. 8 − 6+1

20. 15 − 5 + 10

21. 14 · 16 ÷ 16 · 19

22. 20 · 17 ÷ 17 · 14

23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4

24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13

25. 22 − 10 + 7

26. 29 − 11 + 1

27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6

28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7

En los Ejercicios 29-40, simplificar la expresión dada.

29. 9+8 ÷ {4+4}

30. 10 + 20 ÷ {2+2}

31. 7 · [8 − 5] − 10

32. 11 · [12 − 4] − 10

33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)

34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)

35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)

36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)

37. 2 · {8 + 12} ÷ 4

38. 4 · {8+7} ÷ 3

39. 9+6 · (12 + 3)

40. 3+5 · (10 + 12)

En los Ejercicios 41-56, simplificar la expresión dada.

41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]

42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]

43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]

44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]

45. 6 − 5 [11 − (2 + 8)]

46. 15 − 1 [19 − (7 + 3)]

47. 11 − 1 [19 − (2 + 15)]

48. 9 − 8 [6 − (2 + 3)]

49. 4 {7 [9 + 3] − 2 [3 + 2]}

50. 4 {8 [3 + 9] − 4 [6 + 2]}

51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]

52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]

53. 3 {8 [6 + 5] − 8 [7 + 3]}

54. 2 {4 [6 + 9] − 2 [3 + 4]}

55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]

56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]

En los Ejercicios 57-68, sencillamente la expresión dada.

57. (5 − 2) ²

58. (5 − 3) ⁴

59. (4 + 2) ²

60. (3 + 5) ²

61. 2 ³ + 3 ³

62. 5 ⁴ + 2 ⁴

63. 2 ³ − 1 ³

64. 3 ² − 1 ²

65. 12 · 5 ² + 8 · 9+4

66. 6 · 3 ² + 7 · 5 + 12

67. 9 − 3 · 2 + 12 · 10 ²

68. 11 − 2 · 3 + 12 · 4 ²

En los Ejercicios 69-80, simplificar la expresión dada.

69. 4 ² − (13 + 2)

70. 3 ³ − (7 + 6)

71. 3 ³ − (7 + 12)

72. 4 ³ − (6 + 5)

73. 19 + 3 [12 − (2 ³ + 1)]

74. 13 + 12 [14 − (2 ² + 1)]

75. 17 + 7 [13 − (2 ² + 6)]

76. 10 + 1 [16 − (2 ² + 9)]

77. 4 ³ − (12 + 1)

78. 5 ³ − (17 + 15)

79. 5 + 7 [11 − (2 ² + 1)]

80. 10 + 11 [20 − (2 ² + 1)]

En los Ejercicios 81-92, simplificar la expresión dada.

81. \( \frac{13+35}{3(4)}\)

82. \( \frac{35+28}{7(3)}\)

83. \( \frac{64-(8 \cdot 6-3)}{4 \cdot 7-9}\)

84. \( \frac{19-(4 \cdot 3-2)}{6 \cdot 3-9}\)

85. \(\frac{2+13}{4-1}\)

86. \( \frac{7+1}{8-4}\)

87. \( \frac{17+14}{9-8}\)

88. \( \frac{16+2}{13-11}\)

89. \( \frac{37+27}{8(2)}\)

90. \( \frac{16+38}{6(3)}\)

91. \( \frac{40-(3 \cdot 7-9)}{8 \cdot 2-2}\)

92. \( \frac{60-(8 \cdot 6-3)}{5 \cdot 4-5}\)

En los Ejercicios 93-100, utilice la propiedad distributiva para evaluar la expresión dada.

93. 5 · (8 + 4)

94. 8 · (4 + 2)

95. 7 · (8 − 3)

96. 8 · (9 − 7)

97. 6 · (7 − 2)

98. 4 · (8 − 6)

99. 4 · (3 + 2)

100. 4 · (9 + 6)

En los Ejercicios 101-104, utilice la propiedad distributiva para evaluar la expresión dada utilizando la técnica mostrada en el Ejemplo 9.

101. 9 · 62

102. 3 · 76

103. 3 · 58

104. 7 · 57

RESPUESTAS

1. 9

3. 9

5. 22

7. 42

9. 15

11. 16

13. 75

15. 108

17. 45

19. 3

21. 266

23. 208

25. 19

27. 161

29. 10

31. 11

33. 7

35. 111

37. 10

39. 99

41. 443

43. 367

45. 1

47. 9

49. 296

51. 279

53. 24

55. 186

57. 9

59. 36

61. 35

63. 7

65. 376

67. 1203

69. 1

71. 8

73. 28

75. 38

77. 51

79. 47

81. 4

83. 1

85. 5

87. 31

89. 4

91. 2

93. 60

95. 35

97. 30

99. 20

101. 558

103. 174

¹ Más adelante, veremos que esta propiedad aplica a todos los números, no solo a números enteros