3.1: Expresiones matemáticas
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Recordemos la definición de una variable presentada en la Sección 1.6.
Definición: Variable
Una variable es un símbolo (generalmente una letra) que representa un valor que puede variar.
Agreguemos la definición de una expresión matemática.
Definición: Expresión matemática
Cuando combinamos números y variables de manera válida, usando operaciones como suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y otras operaciones y funciones aún no aprendidas, la combinación resultante de símbolos matemáticos se denomina expresión matemática.
Por lo tanto,
2 a, x + 5 e y 2,
estando formados por una combinación de números, variables y operadores matemáticos, son expresiones matemáticas válidas. Una expresión matemática debe estar bien formada. Por ejemplo,
2 + ÷5 x
no es una expresión válida porque no hay término que siga al signo más (no es válido escribir +÷ sin nada entre estos operadores). Del mismo modo,
2 + 3 (2
no está bien formado porque los paréntesis no están equilibrados.
Traducir palabras en expresiones matemáticas
En esta sección volvemos nuestra atención a traducir frases de palabras en expresiones matemáticas. Comenzamos con frases que se traducen en sumas. Existe una gran variedad de frases de palabras que se traducen en sumas. Algunos ejemplos comunes se dan en la Tabla\(\PageIndex{1a}\), aunque la lista está lejos de estar completa. De igual manera, en la Tabla se muestran varias frases que se traducen en diferencias\(\PageIndex{1b}\).
| Frase | Traduce a: | Frase | Traduce a: |
|---|---|---|---|
| suma de x y 12 | x + 12 | diferencia de x y 12 | x − 12 |
| 4 mayores que b | b + 4 | 4 menos que b | b − 4 |
| 6 más que y | y + 6 | 7 restado de y | y − 7 |
| 44 más r | 44 + r | 44 menos r | 44 − r |
| 3 más grandes que z | z + 3 | 3 más pequeños que z | z − 3 |
| a) Frases que son sumas | b) Frases que son diferencias |
Veamos algunos ejemplos, algunos de los cuales se traducen en expresiones que involucran sumas, y algunos de los cuales se traducen en expresiones que involucran diferencias.
Ejemplo 1
Traduce las siguientes frases en expresiones matemáticas:
- “12 más grandes que x”
- “11 menos que y”, y
- “r disminuyó en 9.”
Solución
Aquí están las traducciones.
- “12 más grande que x” se convierte en x + 12.
- “11 menos que y” se convierte en y − 11.
- “r disminuyó en 9” se convierte en r − 9.
Ejercicio
Traduce las siguientes frases en expresiones matemáticas:
- “13 más que x" y
- “12 menos que y”.
- Contestar
-
(a) x + 13 y
(b) y − 12
Ejemplo 2
Deje que W represente el ancho del rectángulo. La longitud de un rectángulo es 4 pies más largo que su ancho. Exprese la longitud del rectángulo en términos de su ancho W.
Solución
Sabemos que el ancho del rectángulo es W. Debido a que el largo del rectángulo es 4 pies más largo que el ancho, debemos agregar 4 al ancho para encontrar el largo.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length} & \text{is} & \colorbox{cyan}{4} & \text{more than} & \colorbox{cyan}{the width} \\ \text{Length} & = & 4 & + & W \end{array}\nonumber \]
Así, la longitud del rectángulo, en términos de su ancho W, es de 4 + W.
Ejercicio
El ancho de un rectángulo es 5 pulgadas más corto que su longitud L. Expresar el ancho del rectángulo en términos de su longitud L.
- Contestar
-
L − 5
Ejemplo 3
Una cuerda mide 15 pulgadas se corta en dos pedazos. Dejar x representar la longitud de una de las piezas resultantes. Expresa la longitud de la segunda pieza en términos de la longitud x de la primera pieza.
Solución
La cuerda tiene una longitud original de 15 pulgadas. Se corta en dos piezas y la primera pieza tiene longitud x. Para encontrar la longitud de la segunda pieza, debemos restar la longitud de la primera pieza del largo total.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length of the second piece} & \text{is} & \colorbox{cyan}{Total length} & \text{minus} & \colorbox{cyan}{the length of the first piece} \\ \text{Length of the second piece} & = & 15 & - & x \end{array}\nonumber \]
Así, la longitud de la segunda pieza, en términos de la longitud x de la primera pieza, Respuesta: 12 + x es 15 − x.
Ejercicio
Se corta una cuerda en dos piezas, la primera de las cuales mide 12 pulgadas. Exprese la longitud total de la cuerda en función de x, donde x representa la longitud de la segunda pieza de cuerda.
- Contestar
-
12 + x
También hay una gran variedad de frases que se traducen en productos. Algunos ejemplos se muestran en la Tabla 3.2 (a), aunque nuevamente la lista está lejos de estar completa. De igual manera, varias frases se traducen en cocientes, como se muestra en la Tabla 3.2 (b).
| Frase | Traduce a: | Frase | Traduce a: |
|---|---|---|---|
| producto de x y 12 | 12 x | cociente de x y 12 | x /12 |
| 4 veces b | 4 b | 4 dividido por b | 4/ b |
| dos veces r | 2 r | la relación de 44 a r | 44/ r |
| a) Frases que son productos. | b) Frases que son diferencias. |
Veamos algunos ejemplos, algunos de los cuales se traducen en expresiones que involucran productos, y algunos de los cuales se traducen en expresiones que involucran cocientes.
Ejemplo 4
Traduzca las siguientes frases en expresiones matemáticas: (a) “11 veces x”, (b) “cociente de y y 4” y (c) “dos veces a”.
Solución
Aquí están las traducciones. a) “11 veces x” se convierte en 11 x. b) “cociente de y y 4” se convierte en y /4, o equivalentemente,\(\frac{y}{4}\). c) “dos veces a” se convierte en 2 a.
Ejercicio
Traducir en símbolos matemáticos: (a) “el producto de 5 y x” y (b) “12 dividido por y”.
- Contestar
-
(a) 5 x y (b) 12/ y.
Ejemplo 5
Un plomero tiene una tubería de longitud desconocida x. Lo corta en 4 piezas iguales. Encuentra la longitud de cada pieza en términos de la longitud desconocida x.
Solución
La longitud total es desconocida e igual a x. El plomero lo divide en 4 piezas iguales. Para encontrar la longitud de cada pieza, debemos dividir la longitud total por 4.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length of each piece} & \text{is} & \colorbox{cyan}{Total length} & \text{divided by} & \colorbox{cyan}{4} \\ \text{Length of each piece} & = & x & \div & 4 \end{array}\nonumber \]
Así, la longitud de cada pieza, en términos de la longitud desconocida x, es x /4, o equivalentemente,\(\frac{x}{4}\).
Ejercicio
Un carpintero corta una tabla de longitud desconocida L en tres piezas iguales. Expresa la longitud de cada pieza en términos de L.
- Contestar
-
L/3
Ejemplo 6
Mary invierte dólares A en una cuenta de ahorro pagando 2% de interés anual. Invierte cinco veces esta cantidad en un certificado de depósito pagando 5% anual. ¿Cuánto invierte en el certificado de depósito, en términos de la cantidad A en la cuenta de ahorro?
Solución
El monto en la cuenta de ahorro es de A dólares. Ella invierte cinco veces esta cantidad en un certificado de depósito.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Amount in CD} & \text{is} & \colorbox{cyan}{5} & \text{times} & \colorbox{cyan}{Amount in savings} \\ \text{Amount in CD} & = & 5 & \cdot & A \end{array}\nonumber \]
Así, el monto invertido en el certificado de depósito, en términos de la cantidad A en la cuenta de ahorro, es de 5 A.
Ejercicio
David invierte K dólares en una cuenta de ahorro pagando 3% anual. Invierte la mitad de esta cantidad en un fondo mutuo pagando 4% anual. Expresar el monto invertido en el fondo mutuo en términos de K, el monto invertido en la cuenta de ahorro.
- Contestar
-
\(\frac{1}{2}K\)
Combinaciones
Algunas frases requieren combinaciones de las operaciones matemáticas empleadas en ejemplos anteriores.
Ejemplo 7
Deje que el primer número sea igual a x. El segundo número es 3 más del doble del primer número. Expresar el segundo número en términos del primer número x.
Solución
El primer número es x. El segundo número es 3 más del doble del primer número.
\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Second number} & \text{is} & \colorbox{cyan}{3} & \text{more than} & \colorbox{cyan}{twice the first number} \\ \text{Second number} & = & 3 & + & 2x \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto, el segundo número, en términos del primer número x, es 3 + 2 x.
Ejercicio
Un segundo número es 4 menos que 3 veces un primer número. Expresar el segundo número en términos del primer número y.
- Contestar
-
3 y − 4
Ejemplo 8
La longitud de un rectángulo es L. El ancho es de 15 pies menos que 3 veces la longitud. ¿Cuál es el ancho del rectángulo en términos de la longitud L?
Solución
La longitud del rectángulo es L. El ancho es de 15 pies menos que 3 veces la longitud.
\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Width} & \text{is} & \colorbox{cyan}{3 times the length} & \text{less} & \colorbox{cyan}{15} \\ \text{Width} & = & 3L & - & 15 \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto, el ancho, en términos de la longitud L, es de 3 L − 15.
Ejercicio
El ancho de un rectángulo es W. El largo es 7 pulgadas más largo que el doble de ancho. Exprese la longitud del rectángulo en términos de su longitud L.
- Contestar
-
2 W + 7
Ejercicios
En los Ejercicios 1-20, traduzca la frase en una expresión matemática que involucre a la variable dada.
1. “8 veces el ancho n”
2. “2 veces la longitud z”
3. “6 veces la suma del número n y 3”
4. “10 veces la suma del número n y 8”
5. “la demanda b se cuadruplicó”
6. “la oferta y se cuadruplicó”
7. “la velocidad y disminuyó 33”
8. “la velocidad u disminuyó en 30”
9. “10 veces el ancho n”
10. “10 veces la longitud z”
11. “9 veces la suma del número z y 2”
12. “14 veces la suma del número n y 10”
13. “la oferta y se duplicó”
14. “la demanda n se cuadruplicó”
15. “13 más de 15 veces el número p”
16. “14 menos de 5 veces el número y”
17. “4 menos de 11 veces el número x”
18. “13 menos de 5 veces el número p”
19. “la velocidad u disminuyó en 10”
20. “la velocidad w aumentó en 32”
21. Representando números. Supongamos que n representa un número entero.
i) ¿Qué representa n + 1?
ii) ¿Qué representa n + 2?
iii) ¿Qué representa n − 1?
22. Supongamos que 2n representa un número entero par. ¿Cómo podríamos representar el siguiente número par después de 2n?
23. Supongamos que 2n + 1 representa un número entero impar. ¿Cómo podríamos representar el siguiente número impar después de 2n + 1?
24. Cada mes se producen b bolsas de mantillo. ¿Cuántas bolsas de mantillo se producen cada año?
25. Steve vende el doble de productos que Mike. Elige una variable y escribe una expresión para las ventas de cada hombre.
26. Encuentra una expresión matemática para representar los valores.
i) ¿Cuántos trimestres hay en d dólares?
ii) ¿Cuántos minutos hay en h horas?
iii) ¿Cuántas horas hay en d días?
iv) ¿Cuántos días hay en y años?
v) ¿Cuántos meses hay en y años?
vi) ¿Cuántas pulgadas hay en pies f?
vii) ¿Cuántos pies hay en y yardas?
RESPUESTAS
1. 8n
3. 6 (n + 3)
5. 4b
7. y − 33
9. 10n
11. 9 (z + 2)
13. 2 años
15. 15p + 13 17.
11x − 4
19. u − 10
21.
i) n+1 representa el siguiente número entero después de n.
ii) n+2 representa el siguiente número entero después de n + 1, o, dos números enteros después de n.
iii) n − 1 representa el número entero antes de n.
23. 2n + 3
25. Deja que Mike venda productos p. Entonces Steve vende productos 2p.