4.7: Sumando y restando fracciones mixtas
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Adición de fracciones mixtas
Podemos usar herramientas que ya hemos desarrollado para agregar dos o más fracciones mixtas.
Ejemplo 1
Simplificar:\(2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4}\).
Solución
Cambiar las fracciones mixtas a fracciones impropias, hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego agregar.
\[ \begin{aligned} 2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4} = \frac{23}{8} + \frac{7}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to equivalent fractions.}} \\ = \frac{23}{8} + \frac{7 \cdot \textcolor{red}{2}}{4 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 8.}} \\ = \frac{23}{8} + \frac{14}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{37}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]
Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, cambiemos la respuesta a una fracción mixta: 37 dividido por 8 es 4, con un resto de 5. Por lo tanto,
\[ 2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4} = 4 \frac{5}{8}.\nonumber \]
Ejercicio
Simplificar:\(3 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{8}\)
- Contestar
-
\(7 \frac{19}{24}\)
Ejemplo 2
Simplificar:\(3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3}\).
Solución
Cambiar las fracciones mixtas a fracciones impropias, hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego agregar.
\[ \begin{aligned} 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = \frac{13}{4} + \frac{7}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{13 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} + \frac{7 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 12.}} \\ = \frac{39}{12} + \frac{28}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{67}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators and denominators.}} \end{aligned}\nonumber \]
Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, cambiemos la respuesta a una fracción mixta: 67 dividido por 12 es 5, con un resto de 7. Por lo tanto,
\[ 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]
Ejercicio
Simplificar:\(8 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(11 \frac{1}{6}\)
Enfoque de Fracción Mixta
Existe otro enfoque posible, basado en el hecho de que una fracción mixta es una suma. Revisemos el Ejemplo 2.
Ejemplo 3
Simplificar:\(3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3}\).
Solución
Usa las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden de suma, hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego sumar.
\[ \begin{aligned} 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = \left( 3 + \frac{1}{4} \right) + \left( 2 + \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed fractions as sums.}} \\ = (3+2) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ = 5 + \left( \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} + \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} \right) ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \text{ Add whole numbers: 3 + 2 = 5.} \\ \text{ Equivalent fractions; LCD = 12.} \end{aligned}} \\ = 5 + \left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = 5 + \frac{7}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominators.}} \end{aligned}\nonumber \]
Este resultado se puede escribir en forma de fracción mixta. Por lo tanto,
\[3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]
Tenga en cuenta que esta solución es idéntica al resultado que se encuentra en el Ejemplo 2.
Ejercicio
Simplificar:\(7 \frac{2}{5} + 3 \frac{1}{8}\)
- Contestar
-
\(10 \frac{21}{40}\)
El ejemplo 3 nos lleva al siguiente resultado.
Adición de fracciones mixtas
Para agregar dos fracciones mezcladas, agregue el número entero de partes, luego agregue las partes fraccionarias.
Trabajo en formato vertical
Al agregar fracciones mixtas, muchos prefieren trabajar en formato vertical. Por ejemplo, así es como organizaríamos la solución del Ejemplo 2 y del Ejemplo 3 en formato vertical. Creamos fracciones equivalentes, luego agregamos el número entero de partes y partes fraccionarias.
\[ \begin{array}{c c c c c} 3 \frac{1}{4} & = & 3 \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} & = & 3 \frac{3}{12} \\ +2 \frac{1}{3} & = & +2 \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} & = & +2 \frac{4}{12} \\ \hline & & \hline & & \hline \\ ~ & ~ & ~ & ~ & 5 \frac{7}{12} \end{array}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la respuesta es idéntica a la que se encuentra en el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3. Es decir,
\[3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]
Ejemplo 4
Sarah está haciendo cortinas de ventana para dos habitaciones de su casa. La cocina requerirá\(5 \frac{2}{3}\) yardas de material y el comedor requerirá\(6 \frac{5}{8}\) yardas de material. ¿Cuánto material total se requiere?
Solución
Para encontrar el material total requerido para las dos habitaciones, debemos agregar\(5 \frac{2}{3}\) y\(6 \frac{5}{8}\). Cree fracciones equivalentes con un denominador común, luego agregue partes de números enteros y partes fraccionarias.
\[ \begin{array}{c c c c c} 5 \frac{2}{3} & = & 5 \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} & = & 5 \frac{16}{24} \\ +6 \frac{5}{8} & = & +6 \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} & = & +6 \frac{15}{24} \\ \hline & & & & 11 \frac{31}{24} \end{array}\nonumber \]
No se permite una respuesta que sea fracción mixta en parte, fracción impropia. Para terminar, necesitamos cambiar la parte fraccional inadecuada a una fracción mixta, luego sumar. 31 dividido por 24 es 1, con un resto de 7. Es decir, 31/24 = 1 7 24. Ahora podemos agregar piezas de número entero y partes fraccionarias.
\[ \begin{aligned} 11 \frac{31}{24} = 11 + 1 \frac{7}{24} \\ = 12 \frac{7}{24}. \end{aligned}\nonumber \]
Así, el material total requerido es\(12 \frac{7}{24}\) yardas.
Ejercicio
Jim está trabajando en un proyecto que requiere de dos tablas, la primera cortada a una longitud de\(6 \frac{1}{2}\) pies, la segunda a una longitud de\(5 \frac{7}{8}\) pies. ¿Cuántos pies totales de tabla se requieren?
- Contestar
-
\(12 \frac{3}{8}\)pies.
Restar Fracciones Mixtas
Veamos algunos ejemplos que restan dos fracciones mixtas.
Ejemplo 5
Simplificar:\(4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16}\).
Solución
Cambiar las fracciones mixtas a fracciones impropias, hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego restar.
\[ \begin{aligned} 4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16} = \frac{37}{8} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{37 \cdot \textcolor{red}{2}}{8 \cdot \textcolor{red}{2}} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 16.}} \\ = \frac{74}{16} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominators.}} \\ = \frac{41}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]
Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, cambiemos la respuesta a una fracción mixta: 41 dividido por 16 es 2, con un resto de 9. Por lo tanto,
\[4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16} = 2 \frac{9}{16}.\nonumber \]
Ejercicio
Simplificar:\(5 \frac{2}{3} - 3 \frac{1}{5}\)
- Contestar
-
\(2 \frac{7}{15}\)
Ejemplo 6
Simplificar:\(5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3}\).
Solución
Cambiar las fracciones mixtas a fracciones impropias, hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego restar.
\[ \begin{aligned} 5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = \frac{23}{4} - \frac{7}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{23 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{7 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 12.}} \\ = \frac{69}{12} - \frac{28}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{41}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]
Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, cambiemos la respuesta a una fracción mixta: 41 dividido por 12 es 3, con un resto de 5. Por lo tanto,
\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]
Ejercicio
Simplificar:\(4 \frac{7}{9} - 2 \frac{3}{18}\)
- Contestar
-
\(2 \frac{11}{18}\)
Enfoque de Fracción Mixta
Existe otro enfoque posible, basado en el hecho de que una fracción mixta es una suma. Revisemos el Ejemplo 6.
Ejemplo 7
Simplificar:\(5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3}\).
Solución
Una fracción mixta es una suma.
\[ 5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = \left( 5 + \frac{3}{4} \right) - \left( 2 + \frac{1}{3} \right)\nonumber \]
Distribuir el signo negativo.
\[ = 5 + \frac{3}{4} - 2 - \frac{1}{3}\nonumber \]
Podríamos cambiar la resta a sumar lo contrario, cambiar el orden de suma, luego cambiar la suma de opuestos de nuevo a resta. No obstante, es mucho más fácil si miramos esta última línea como una solicitud para sumar cuatro números, dos de los cuales son positivos y dos de los cuales son negativos. Cambiar el orden no afecta la respuesta.
\[=(5-2) + \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right)\nonumber \]
Tenga en cuenta que no cambiamos los signos de ninguno de los cuatro números. Acabamos de cambiar el orden. Restar el número entero de partes. Hacer fracciones equivalentes con un denominador común, luego restar las partes fraccionarias.
\[ \begin{aligned} = 3 + \left( \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Create equivalent fractions.}} \\ = 3 + \left( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = 3 + \frac{5}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract fractional parts.}} \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto,
\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]
Tenga en cuenta que esta es exactamente la misma respuesta que la que se encuentra en el Ejemplo 6.
Ejercicio
Simplificar:\(8 \frac{5}{6} - 4 \frac{3}{8}\)
- Contestar
-
\(4 \frac{11}{24}\)
En el Ejemplo 6, vemos que manejamos la resta de fracciones mixtas exactamente de la misma manera que manejamos la adición de fracciones mixtas.
Restar fracciones mixtas
Para restar dos fracciones mixtas, restar sus partes de número entero, luego restar sus partes fraccionarias.
Trabajo en formato vertical
Al restar fracciones mixtas, muchos prefieren trabajar en formato vertical. Por ejemplo, así es como organizaríamos la solución del Ejemplo 6 y del Ejemplo 7 en formato vertical. Creamos fracciones equivalentes, luego restamos el número entero de partes y partes fraccionarias.
\[ \begin{array}{r r r r r} 5 \frac{3}{4} & = & 5 \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} & = & 5 \frac{9}{12} \\ -2 \frac{1}{3} & = & -3 \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} & = & -2 \frac{4}{12} \\ \hline & & & & 3 \frac{5}{12} \end{array}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la respuesta es idéntica a la que se encuentra en el Ejemplo 6 y en el Ejemplo 7. Es decir,
\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]
Préstamo en formato vertical
Considera el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8
Simplificar:\(8 \frac{1}{4} - 5 \frac{5}{6}\).
Solución
Crear fracciones equivalentes con un denominador común.
\[ \begin{array}{r r r r r} 8 \frac{1}{4} & = & 8 \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} & = & 8 \frac{3}{12} \\ -5 \frac{5}{6} & = & -5 \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot \textcolor{red}{2}} & = & -5 \frac{10}{12} \\ \hline \end{array}\nonumber \]
Se puede ver la dificultad. En el extremo derecho, no podemos restar 10/12 del 3/12. El arreglo es pedir prestado 1 de 8 en forma de 12/12 y agregarlo al 3/12.
\[ \begin{array}{r r r r r} 8 \frac{3}{12} & = & 7 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} & = & 7 \frac{15}{12} \\ -5 \frac{10}{12} & = & -5 \frac{10}{12} & = & -5 \frac{10}{12} \\ \hline & & & & 2 \frac{5}{12} \end{array}\nonumber \]
Ahora podemos restar. De ahí,\(8 \frac{1}{4} − 5 \frac{5}{6} = 2 \frac{5}{12}\).
Ejercicio
Simplificar:\(7 \frac{1}{14} - 2 \frac{5}{21}\)
- Contestar
-
\(4 \frac{5}{6}\).
Ejemplo 9
Jim tiene una barra de metal de 10 pulgadas de largo. Corta un largo de la varilla metálica que mide\(2 \frac{7}{8}\) pulgadas. ¿Cuál es la longitud de la pieza restante?
Solución
Para encontrar la longitud de la pieza restante, debemos restar\(2 \frac{7}{8}\) de 10. No hay parte fraccionaria en el primer número. Para remediar esta ausencia, tomamos prestado 1 de 10 en forma de 8/8. Entonces podemos restar.
\[ \begin{array}{r r r r r} 10 & = & 9 + \frac{8}{8} & = & 9 \frac{8}{8} \\ -2 \frac{7}{8} & = & -2 \frac{7}{8} & = & -2 \frac{7}{8} \\ \hline & & & & 7 \frac{1}{8} \end{array}\nonumber \]
De ahí que la longitud de la pieza restante de la barra de metal sea\(7 \frac{1}{8}\) pulgadas.
Ejercicio
Sarah tiene un largo de material de cortina que mide 12 pies. Ella corta un largo de\(6 \frac{2}{3}\) pies de su material de cortina. ¿Cuál es la longitud de la pieza restante?
- Contestar
-
\(5 \frac{1}{3}\)pies
Ejercicios
En los Ejercicios 1-24, sumar o restar las fracciones mixtas, como se indica, convirtiendo primero cada fracción mixta en una fracción impropia. Exprese su respuesta como una fracción mixta.
1. \(9 \frac{1}{4} + 9 \frac{1}{2}\)
2. \(2 \frac{1}{3} + 9 \frac{1}{2}\)
3. \(6 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
4. \(5 \frac{1}{3} − 1 \frac{3}{4}\)
5. \(9 \frac{1}{2} + 7 \frac{1}{4}\)
6. \(1 \frac{1}{3} + 9 \frac{3}{4}\)
7. \(5 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{2}\)
8. \(1 \frac{9}{16} + 2 \frac{3}{4}\)
9. \(3 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)
10. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{4}\)
11. \(8 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
12. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{2}{3}\)
13. \(4 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{8}\)
14. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
15. \(4 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4}\)
16. \(1 \frac{1}{8} + 5 \frac{1}{2}\)
17. \(2 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)
18. \(5 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)
19. \(9 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{4}\)
20. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)
21. \(4 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}\)
22. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{3}\)
23. \(9 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{8}\)
24. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{3}\)
En los Ejercicios 25-48, sumar o restar las fracciones mixtas, como se indica, mediante el uso de formato vertical. Exprese su respuesta como una fracción mixta.
25. \(3 \frac{1}{2} + 3 \frac{3}{4}\)
26. \(1 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3}\)
27. \(1 \frac{3}{8} + 1 \frac{1}{4}\)
28. \(2 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{3}\)
29. \(1 \frac{7}{8} + 1 \frac{1}{2}\)
30. \(1 \frac{3}{4} + 4 \frac{1}{2}\)
31. \(8 \frac{1}{2} − 5 \frac{2}{3}\)
32. \(8 \frac{1}{2} − 1 \frac{2}{3}\)
33. \(7 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)
34. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
35. \(9 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
36. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)
37. \(5 \frac{1}{3} − 2 \frac{1}{2}\)
38. \(4 \frac{1}{4} − 1 \frac{1}{2}\)
39. \(9 \frac{1}{2} − 2 \frac{2}{3}\)
40. \(7 \frac{1}{2} − 4 \frac{2}{3}\)
41. \(1 \frac{1}{16} + 1 \frac{3}{4}\)
42. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{3}\)
43. \(8 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{3}\)
44. \(1 \frac{2}{3} + 2 \frac{1}{2}\)
45. \(6 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)
46. \(4 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)
47. \(2 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}\)
48. \(1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{16}\)
RESPUESTAS
1. \(18 \frac{3}{4}\)
3. \(5 \frac{1}{6}\)
5. \(16 \frac{3}{4}\)
7. \(10 \frac{1}{6}\)
9. \(2 \frac{1}{12}\)
11. \(7 \frac{1}{6}\)
13. \(3 \frac{3}{8}\)
15. \(6 \frac{5}{8}\)
17. \(1 \frac{1}{12}\)
19. \(7 \frac{3}{4}\)
21. \(5 \frac{11}{12}\)
23. \(12 \frac{5}{8}\)
25. \(7 \frac{1}{4}\)
27. \(2 \frac{5}{8}\)
29. \(3 \frac{3}{8 }\)
31. \(2 \frac{5}{6}\)
33. \(6 \frac{5}{16}\)
35. \(8 \frac{1}{6}\)
37. \(2 \frac{5}{6}\)
39. \(6 \frac{5}{6}\)
41. \(2 \frac{13}{16}\)
43. \(12 \frac{1}{6}\)
45. \(5 \frac{5}{16}\)
47. \(3 \frac{11}{12}\)