5.8:5.7 Introducción a las Raíces Cuadradas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Recordemos que

\[x^2 = x \cdot x.\nonumber \]

El cuadrado de un número

El número x ² se llama el cuadrado del número x.

Así, por ejemplo:

9 ² = 9 · 9 = 81. Por lo tanto, el número 81 es el cuadrado del número 9.
(−4) ² = (−4) (−4) = 16. Por lo tanto, el número 16 es el cuadrado del número −4.

Al margen, hemos colocado una “Lista de Cuadrados” de los números enteros que van del 0 al 25, inclusive.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & x^2 \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ 6 & 36 \\ 7 & 49 \\ 8 & 64 \\ 9 & 81 \\ 10 & 100 \\ 11 & 121 \\ 12 & 144 \\ 13 & 169 \\ 14 & 196 \\ 15 & 225 \\ 16 & 256 \\ 17 & 289 \\ 18 & 324 \\ 19 & 361 \\ 20 & 400 \\ 21 & 441 \\ 22 & 484 \\ 23 & 529 \\ 24 & 576 \\ 25 & 625 \\ \hline \end{array}\nonumber \]

Raíces Cuadradas

Una vez que hayas dominado el proceso de cuadrar un número entero, entonces estás listo para la inversa del proceso de cuadratura, tomando la raíz cuadrada de un número entero.

Arriba, vimos que 9 ² = 81. Llamamos al número 81 el cuadrado del número 9. Por el contrario, llamamos al número 9 una raíz cuadrada del número 81.
Arriba, vimos que (−4) ² = 16. Llamamos al número 16 el cuadrado del número −4. Por el contrario, llamamos al número −4 una raíz cuadrada del número 16.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & \sqrt{x} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ 16 & 4 \\ 25 & 5 \\ 36 & 6 \\ 49 & 7 \\ 64 & 8 \\ 81 & 9 \\ 100 & 10 \\ 121 & 11 \\ 144 & 12 \\ 169 & 13 \\ 196 & 14 \\ 225 & 15 \\ 256 & 16 \\ 289 & 17 \\ 324 & 18 \\ 361 & 19 \\ 400 & 20 \\ 441 & 21 \\ 484 & 22 \\ 529 & 23 \\ 576 & 24 \\ 625 & 25 \\ \hline \end{array}\nonumber \]

Raíz cuadrada

Si a ² = b, entonces a se llama raíz cuadrada del número b.

Ejemplo 1

Encuentra las raíces cuadradas del número 49.

Solución

Para encontrar una raíz cuadrada de 49, debemos pensar en un número a tal que un ² = 49. Dos números me vienen a la mente.

(−7) ² = 49. Por lo tanto, −7 es una raíz cuadrada de 49.
7 ² = 49. Por lo tanto, 7 es una raíz cuadrada de 49.

Obsérvese que 49 tiene dos raíces cuadradas, una de las cuales es positiva y la otra negativa.

Ejercicio

Encuentra las raíces cuadradas de 256.

Contestar: −16, 16

Ejemplo 2

Encuentra las raíces cuadradas del número 196. Solución. Para encontrar una raíz cuadrada de 196, debemos pensar en un número a tal que un ² = 196. Con ayuda de la “Lista de Cuadrados”, me vienen a la mente dos números.

(−14) ² = 196. Por lo tanto, −14 es una raíz cuadrada de 196.
14 ² = 196. Por lo tanto, 14 es una raíz cuadrada de 196.

Obsérvese que 196 tiene dos raíces cuadradas, una de las cuales es positiva y la otra negativa.

Ejercicio

Encuentra las raíces cuadradas de 625.

Contestar: −25, 25

Ejemplo 3

Encuentra las raíces cuadradas del número 0.

Solución

Para encontrar una raíz cuadrada de 0, debemos pensar en un número a tal que un ² = 0. Sólo hay uno de esos números, es decir, cero. De ahí que 0 sea la raíz cuadrada de 0.

Ejercicio

Encuentra las raíces cuadradas de 9.

Contestar: −3, 3

Ejemplo 4

Encuentra las raíces cuadradas del número −25.

Solución

Para encontrar una raíz cuadrada de −25, debemos pensar en un número a tal que un ² = −25. Esto es imposible porque ningún cuadrado de un número real (número entero, entero, fracción o decimal) puede ser negativo. Los tiempos positivos positivos son positivos y los tiempos negativos negativos también son positivos. No se puede cuadrar y obtener una respuesta negativa. Por lo tanto, −25 no tiene raíces cuadradas ².

Ejercicio

Encuentra las raíces cuadradas de −81.

Contestar: No hay ninguno.

² Al menos no en Preálgebra. En cursos posteriores, se te presentará el conjunto de números complejos, donde −25 tendrá dos raíces cuadradas.

Notación Radical

Debido a que (−3) ² = 9 y 3 ² = 9, tanto −3 como 3 son raíces cuadradas de 9. Notación especial, llamada notación radical, se utiliza para solicitar estas raíces cuadradas.

La notación radical$\sqrt{9}$, pronunciada “la raíz cuadrada no negativa de 9”, reclama la raíz cuadrada no negativa ³ de 9. Por lo tanto,

$\sqrt{9}=3.$

La notación radical$− \sqrt{9}$, pronunciada “la raíz cuadrada negativa de 9”, llama a la raíz cuadrada negativa de 9. Por lo tanto,

$− \sqrt{9} = −3.$

Notación Radical

En la expresión$\sqrt{9}$, el símbolo$\sqrt{~}$ se llama radical y el número dentro del radical, en este caso el número 9, se llama radicando.

Por ejemplo,

En la expresión$\sqrt{529}$, el número 529 es el radicando.
En la expresión$\sqrt{a^2 + b^2}$, la expresión$a2^ + b^2$ es el radicando.

Notación Radical y Raíz Cuadrada

Si b es un número positivo, entonces

$\sqrt{b}$pide la raíz cuadrada no negativa de b.
$− \sqrt{b}$pide la raíz cuadrada negativa de b.

Nota: No negativo equivale a decir “no negativo”; es decir, positivo o cero.

Ejemplo 5

Simplificar: a)$\sqrt{121}$, b)$− \sqrt{625}$ y c)$\sqrt{0}$.

Solución

(a) Refiriéndose a la lista de cuadrados, observamos que 11 ² = 121 y (−11) ² = 121. Por lo tanto, tanto 11 como −11 son raíces cuadradas de 121. No obstante,$\sqrt{121}$ pide la raíz cuadrada no negativa de 121. Por lo tanto,

\[\sqrt{121} = 11.\nonumber \]

(b) Refiriéndose a la lista de cuadrados, observamos que 25 ² = 625 y (−25) ² = 625. Por lo tanto, tanto 25 como −25 son raíces cuadradas de 625. No obstante,$− \sqrt{625}$ pide la raíz cuadrada negativa de 625. Por lo tanto,

\[− \sqrt{625} = −25.\nonumber \]

c) Sólo hay una raíz cuadrada de cero. Por lo tanto,

\[\sqrt{0}=0.\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: a)$\sqrt{144}$ b)$− \sqrt{324}$

Contestar: (a) 12 (b) −18

Ejemplo 6

Simplificar: a)$− \sqrt{25}$ y b$−\sqrt{25}$

Solución

(a) Debido a que 5 ² = 25 y (−5) ² = 25, tanto 5 como −5 son raíces cuadradas de 25. Sin embargo, la notación$− \sqrt{25}$ reclama la raíz cuadrada negativa de 25. Por lo tanto,$− \sqrt{25} = −5$.

(b) No es posible cuadrar un número real (número entero, entero, fracción o decimal) y obtener −25. Por lo tanto, no hay una raíz cuadrada real de −25. Es decir, no$\sqrt{−25}$ es un número real. Es indefinido. ⁴

Ejercicio

Simplificar: a)$− \sqrt{36}$ b)$\sqrt{−36}$

Contestar: (a) −6 (b) indefinido

³ No negativo equivale a decir “no negativo”; es decir, positivo o cero.

⁴ Al menos en Preálgebra. En cursos posteriores se te presentará el conjunto de números complejos, donde$\sqrt{−25}$ adquirirá un nuevo significado.

Orden de Operaciones

Con la adición de notación radical, el Orden de Operaciones Rector de Reglas cambia ligeramente.

Reglas que guían el orden de operaciones

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

Evalúe primero las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación. Si los símbolos de agrupación están anidados, evalúe primero la expresión en el par más interno de símbolos de agrupación.
Evaluar todos los exponentes y radicales que aparecen en la expresión.
Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
Realizar todas las sumas y restaciones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.

El único cambio en las reglas está en el ítem #2, que dice: “Evaluar todos los exponentes y radicales que aparecen en la expresión”, poniendo a los radicales en el mismo nivel que los exponentes.

Ejemplo 7

Simplificar:$−3 \sqrt{9} + 12 \sqrt{4}$.

Solución

De acuerdo con las Reglas Orientadoras Orden de Operaciones, debemos evaluar primero a los radicales en esta expresión.

\[ \begin{aligned} -3 \sqrt{9} + 12 \sqrt{4} = -3(3) + 12(2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate radicals first: } \sqrt{9} = 3} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } \sqrt{4} = 2.} \\ = -9 + 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -3(3) = -9 \text{ and } 12(2) = 24.} \\ =15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } -9+24=15.} \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar:$2 \sqrt{4} - 3 \sqrt{9}$

Contestar: −5

Ejemplo 8

Simplificar:$−2 − 3 \sqrt{36}$.

Solución

De acuerdo con las Reglas Orientadoras Orden de Operaciones, debemos evaluar primero a los radicales en esta expresión, moviéndonos de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} -2-3 \sqrt{36} = -2-36 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate radicals first: } \sqrt{36}=6} \\ =-2-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(6)=18.} \\ =-20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: } -2-18=-2+(-18)=-20.} \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar:$5 − 8 \sqrt{169}$

Contestar: −99

Ejemplo 9

Simplificar: a)$\sqrt{9 + 16}$ y b)$\sqrt{9} + \sqrt{16}$.

Solución

Aplicar las Reglas Orientadoras Orden de Operaciones.

a) En este caso, el radical actúa como símbolos de agrupación, por lo que debemos evaluar primero lo que hay dentro del radical.

\[ \begin{aligned} \sqrt{9+16} = \sqrt{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 9+16=25.} \\ = 5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Take nonnegative square root: } \sqrt{25} = 5.} \end{aligned}\nonumber \]

b) En este ejemplo, debemos evaluar primero las raíces cuadradas.

\[ \begin{aligned} \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Square root: } \sqrt{9} = 3 \text{ and } \sqrt{16} =4.} \\ =7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 3+4=7.} \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: a)$\sqrt{25 + 144}$ b)$\sqrt{25} + \sqrt{144}$

Contestar: a) 13 b) 17

Fracciones y Decimales

También podemos encontrar raíces cuadradas de fracciones y decimales.

Ejemplo 10

Simplificar: a)$\sqrt{4}{9}$ y b)$− \sqrt{0.49}$.

Solución

a) Porque$\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4}{9}$, entonces

\[\sqrt{ \frac{4}{9}} = \frac{2}{3}.\nonumber \]

(b) Debido a que (0.7) ² = (0.7) (0.7) = 0.49 y (−0.7) ² = (−0.7) (−0.7) = 0.49, tanto 0.7 como −0.7 son raíces cuadradas de 0.49. No obstante,$− \sqrt{0.49}$ pide la raíz cuadrada negativa de 0.49. Por lo tanto,

\[− \sqrt{0.49} = −0.7\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: a)$\sqrt{ \frac{25}{49}}$ b)$\sqrt{0.36}$

Contestar: a) 5/7 b) 0.6

Estimación de raíces cuadradas

Los cuadrados de la “Lista de Cuadrados” se denominan cuadrados perfectos. Cada uno es el cuadrado de un número entero. No todos los números son cuadrados perfectos. Por ejemplo, en el caso de$\sqrt{24}$, no hay un número entero cuyo cuadrado sea igual a 24. No obstante, esto no$\sqrt{24}$ impide ser un número perfectamente bueno.

Podemos usar la “Lista de Cuadrados” para encontrar aproximaciones decimales cuando el radicando no es un cuadrado perfecto.

Ejemplo 11

Estimar$\sqrt{24}$ adivinando. Usa una calculadora para encontrar un resultado más preciso y compara este resultado con tu suposición.

Solución

De la “Lista de Cuadrados”, tenga en cuenta que 24 mienten entre 16 y 25, por lo que 24 estarán entre 4 y 5, con √24 mucho más cerca de 5 de lo que es de 4.

$Captura de pantalla 2019-09-16 a las 3.45.50 PM.png$

Vamos a adivinar

\[\sqrt{24} \approx 4.8.\nonumber \]

Como cheque, cuadremos 4.8.

\[(4.8)^2 = (4.8)(4.8) = 23.04\nonumber \]

¡No del todo 24! Claramente,$\sqrt{24}$ debe ser un poco mayor que 4.8.

Usemos una calculadora científica para obtener una mejor aproximación. De nuestra calculadora, usando el botón de raíz cuadrada, encontramos

\[\sqrt{24} \approx 4.89897948557.\nonumber \]

A pesar de que esto es mejor que nuestra estimación de 4.8, sigue siendo sólo una aproximación. Nuestra calculadora solo era capaz de proporcionar 11 decimales. Sin embargo, la representación decimal exacta de$\sqrt{24}$ es un decimal infinito que nunca termina y nunca establece un patrón de repetición.

Solo por diversión, aquí hay una aproximación decimal de$\sqrt{24}$ que es exacta a 1000 lugares, cortesía de http://www.wolframalpha.com/.

4. 89897948556635619639456814941178278393189496131334025686538513450192075491463005307971886620928046963718920245322837824971773091967551468325156790247455710565782549505535314249526021054182354044696262135797338170726488670509120806761761787874917113569314944872260828854054043234840367660016317961567602617940145738 798726167431618880160088747737509832902930787829002408945289626663258702188948362702657099008893234345326285099529663624900802313209072918018687172335863967331332533818263813071727532210516312353123563967331332533818262638130717275322105163123531235639673313325873247235822058934417670915102576710597966482011173804100128309322482347067988208621159857969346790651055747208365931034 3660782073560076724633259466056580995478209485272014102527539509377735401281985911851434656929005776183028851492605205905926474151050068455119830908525625960061293441598848485060457568524106868686811986198309025625960061293441598848506045756852410686868135895720093193879959871195081233427173093069124964165125537727385618826127448670177296031449692674464894759090976288769586 727401839482029557046551182126319692156620734019070649453

Si multiplicaras este número por sí mismo (cuadrar el número), obtendrías un número que es extremadamente cercano a 24, pero no sería exactamente 24. Todavía habría un poco de discrepancia.

Ejercicio

Estimación:$\sqrt{83}$.

Contestar: 9.1

Observación Importante

Una calculadora solo puede producir un número finito de decimales. Si la representación decimal de su número no termina dentro de este número limitado de lugares, entonces el número en la ventana de su calculadora es solo una aproximación.

La representación decimal de 1/8 terminará dentro de tres lugares, por lo que la mayoría de las calculadoras reportarán la respuesta exacta, 0.125.
Por contraste, 2/3 no termina. Una calculadora capaz de reportar 11 lugares de precisión produce el número 0.6666666667. Sin embargo, la representación decimal exacta de 2/3 es 0.6. Tenga en cuenta que la calculadora ha redondeado en el último lugar y solo proporciona una aproximación de 2/3. Si tu instructor pide una respuesta exacta en un examen o cuestionario entonces 0.666666666667, al ser una aproximación, no es aceptable. Debes dar la respuesta exacta 2/3.

Ejercicios

En Ejercicios 1-16, enumere todas las raíces cuadradas del número dado. Si el número no tiene raíces cuadradas, escriba “ninguno”.

1. 256

2. 361

3. −289

4. −400

5. 441

6. 36

7. 324

8. 0

9. 144

10. 100

11. −144

12. −100

13. 121

14. −196

15. 529

16. 400

En los Ejercicios 17-32, computa la raíz cuadrada exacta. Si la raíz cuadrada es indefinida, escriba “undefined”.

17. $\sqrt{−9}$

18. $−\sqrt{−196}$

19. $\sqrt{576}$

20. $\sqrt{289}$

21. $\sqrt{−529}$

22. $\sqrt{−256}$

23. $− \sqrt{25}$

24. $\sqrt{225}$

25. $− \sqrt{484}$

26. $− \sqrt{36}$

27. $− \sqrt{196}$

28. $− \sqrt{289}$

29. $\sqrt{441}$

30. $\sqrt{324}$

31. $− \sqrt{4}$

32. $\sqrt{100}$

En los Ejercicios 33-52, computa la raíz cuadrada exacta.

33. $\sqrt{0.81}$

34. $\sqrt{5.29}$

35. $\sqrt{3.61}$

36. $\sqrt{0.09}$

37. $\sqrt{ \frac{225}{16}}$

38. $\sqrt{ \frac{100}{81}}$

39. $\sqrt{3.24}$

40. $\sqrt{5.76}$

41. $\sqrt{ \frac{121}{49}}$

42. $\sqrt{ \frac{625}{324}}$

43. $\sqrt{ \frac{529}{121}}$

44. $\sqrt{\frac{4}{121}}$

45. $\sqrt{2.89}$

46. $\sqrt{4.41}$

47. $\sqrt{ \frac{144}{25}}$

48. $\sqrt{\frac{49}{36}}$

49. $\sqrt{ \frac{256}{361}}$

50. $\sqrt{\frac{529}{16}}$

51. $\sqrt{0.49}$

52. $\sqrt{4.84}$

En los Ejercicios 53-70, computa el valor exacto de la expresión dada.

53. $6 − \sqrt{576}$

54. $−2 − 7 \sqrt{576}$

55. $\sqrt{8^2 + 15^2}$

56. $\sqrt{7^2 + 24^2}$

57. $6 \sqrt{16} − 9 \sqrt{49}$

58. $3 \sqrt{441} + 6 \sqrt{484}$

59. $\sqrt{5^2 + 12^2}$

60. $\sqrt{15^2 + 20^2}$

61. $\sqrt{3^2 + 4^2}$

62. $\sqrt{6^2 + 8^2}$

63. $−2 \sqrt{324} − 6 \sqrt{361}$

64. $−6 \sqrt{576} − 8 \sqrt{121}$

65. $−4 − 3 \sqrt{529}$

66. $−1 + \sqrt{625}$

67. $−9 \sqrt{484} + 7 \sqrt{81}$

68. $− \sqrt{625} − 5 \sqrt{576}$

69. $2 − \sqrt{16}$

70. $8 − 6 \sqrt{400}$

En los Ejercicios 71-76, complete las siguientes tareas para estimar la raíz cuadrada dada.

a) Determinar los dos enteros entre los que se encuentra la raíz cuadrada.

b) Dibuje una recta numérica, y localice la ubicación aproximada de la raíz cuadrada entre los dos enteros que se encuentran en la parte (a).

c) Sin utilizar una calculadora, estimar la raíz cuadrada a la décima más cercana.

71. $\sqrt{58}$

72. $\sqrt{27}$

73. $\sqrt{79}$

74. $\sqrt{12}$

75. $\sqrt{44}$

76. $\sqrt{88}$

En los Ejercicios 77-82, utilice una calculadora para aproximar la raíz cuadrada a la décima más cercana.

77. $\sqrt{469}$

78. $\sqrt{73}$

79. $\sqrt{615}$

80. $\sqrt{162}$

81. $\sqrt{444}$

82. $\sqrt{223}$

RESPUESTAS

1. 16, −16

3. ninguno

5. 21, −21

7. 18, −18

9. 12, −12

11. ninguno

13. 11, −11

15. 23, −23

17. indefinido

19. 24

21. indefinido

23. −5

25. −22

27. −14

29. 21

31. −2

33. 0.9

35. 1.9

37. $\frac{15}{4}$

39. 1.8

41. 11 7

43. $\frac{23}{11}$

45. 1.7

47. $\frac{12}{5}$

49. $\frac{16}{19}$

51. 0.7

53. −18

55. 17

57. −39

59. 13

61. 5

63. −150

65. −73

67. −135

69. − 2

71. 7.6

73. 8.9

75. 6.6

77. 21.7

79. 24.8

81. 21.1