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LibreTexts Español

1.9: Dividir números enteros (Parte 1)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Usar notación de división
  • Modelo de división de números enteros
  • Dividir números enteros
  • Traducir frases de palabras a notación matemática
  • Dividir números enteros en aplicaciones
¡prepárate!

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Multiplicar:273. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.4.6.
  2. Restar:4326. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.3.4.
  3. Multiplicar:62(87). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.4.8.

Usar notación de división

Hasta ahora hemos explorado la suma, resta y multiplicación. Ahora consideremos la división. Supongamos que tiene las12 galletas en Figura1.9.1 y quiere empaquetarlas en bolsas con4 galletas en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas necesitaríamos?

Una imagen de tres filas de cuatro galletas para mostrar doce galletas.

Figura1.9.1

Podrías poner4 galletas en la primera bolsa,4 en la segunda bolsa, y así sucesivamente hasta que te quedes sin galletas. Haciéndolo de esta manera, llenarías3 bolsas.

Una imagen de 3 bolsas de galletas, cada bolsa contiene 4 galletas.

Figura1.9.2

Es decir, a partir de las12 cookies, quitarías, o restarías,4 las cookies a la vez. La división es una forma de representar la resta repetida del mismo modo que la multiplicación representa la suma repetida. En lugar de restar4 repetidamente, podemos escribir

12÷4

Leemos esto como doce dividido por cuatro y el resultado es el cociente de12 y4. El cociente es3 porque podemos restar12 exactamente4 de3 tiempos. Llamamos al número que se divide el dividendo y al número que lo divide el divisor. En este caso, el dividendo es12 y el divisor es4. En el pasado es posible que hayas usado la notación4¯)12, pero esta división también se puede escribir como12÷4,12/4,124. En cada caso el12 es el dividendo y el4 es el divisor.

Símbolos de Operación para División

Para representar y describir la división, podemos usar símbolos y palabras.

Mesa1.9.1
Operación Notación Expresión Leer como Resultado
División ÷ 12 ÷ 4 Doce dividido por cuatro el cociente de 12 y 4
  ab 124    
  b¯)a 4¯)12    
  a/b 12/4    

La división se realiza en dos números a la vez. Cuando traduzca de notación matemática a palabras en inglés, o palabras en inglés a notación matemática, busque las palabras de y y para identificar los números.

Ejemplo1.9.1: translate

Traducir de la notación matemática a las palabras.

  1. 64÷8
  2. 427
  3. 4¯)28

Solución

  1. Leemos esto como sesenta y cuatro dividido por ocho y el resultado es el cociente de sesenta y cuatro y ocho.
  2. Leemos esto como cuarenta y dos dividido por siete y el resultado es el cociente de cuarenta y dos y siete.
  3. Leemos esto como veintiocho dividido por cuatro y el resultado es el cociente de veintiocho y cuatro.
ejercicio1.9.1

Traducir de la notación matemática a las palabras:

  1. 84÷7
  2. 186
  3. 8¯)24
Responder a

ochenta y cuatro dividido por siete; el cociente de ochenta y cuatro y siete

Respuesta b

dieciocho dividido por seis; el cociente de dieciocho y seis.

Respuesta c

veinticuatro dividido por ocho; el cociente de veinticuatro y ocho

ejercicio1.9.2

Traducir de la notación matemática a las palabras:

  1. 72÷9
  2. 213
  3. 6¯)54
Responder a

setenta y dos divididos por nueve; el cociente de setenta y dos y nueve

Respuesta b

veintiuno dividido por tres; el cociente de veintiuno y tres

Respuesta c

cincuenta y cuatro dividido por seis; el cociente de cincuenta y cuatro y seis

División Modelo de Números Enteros

Como hicimos con la multiplicación, modelaremos la división usando contadores. La operación de división nos ayuda a organizar los artículos en grupos iguales ya que comenzamos con el número de elementos en el dividendo y restamos el número en el divisor repetidamente.

Ejemplo1.9.2: model

Modelar la división:24÷8.

Solución

Para encontrar el cociente24÷8, queremos saber cuántos grupos de8 están en24.

Modelar el dividendo. Comience con24 mostradores.

Una imagen de 24 contadores colocados al azar.

El divisor nos dice el número de contadores que queremos en cada grupo. Formar grupos de8 contadores.

Una imagen de 24 contadores, todos contenidos en 3 burbujas, cada burbuja contiene 8 contadores.

Contar el número de grupos. Hay3 grupos.

24÷8=3

ejercicio1.9.3

Modelo:24÷6.

Contestar

Ejercicio 1.5.3.png

ejercicio1.9.4

Modelo:42÷7.

Contestar

Ejercicio 1.5.4.png

Dividir números enteros

Dijimos que la suma y la resta son operaciones inversas porque una deshace la otra. De igual manera, la división es la operación inversa de multiplicación. Sabemos12÷4=3 porque34=12. Conocer todos los hechos del número de multiplicación es muy importante a la hora de hacer división.

Comprobamos nuestra respuesta a la división multiplicando el cociente por el divisor para determinar si es igual al dividendo. En Ejemplo1.9.2, sabemos que24÷8=3 es correcto porque38=24.

Ejemplo1.9.3: divide

Dividir. Después verifica multiplicando.

  1. 42÷6
  2. 729
  3. 7¯)63

Solución

Divide 42 por 6. 42 ÷ 6 = 7
Verificar multiplicando. 7 • 6 = 42 ✓
Divide 72 por 9. 729
Verificar multiplicando. 8 • 9 = 72 ✓
Divide 63 por 7. 7¯)63
Verificar multiplicando. 9 • 7 = 63 ✓
ejercicio1.9.5

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 54÷6
  2. 279
Responder a

9

Respuesta b

3

ejercicio1.9.6

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 369
  2. 8¯)40
Responder a

4

Respuesta b

5

¿Cuál es el cociente cuando se divide un número por sí mismo?

1515=1because115=15

Dividir cualquier número (excepto0) por sí mismo produce un cociente de1. Además, cualquier número dividido por1 produce un cociente del número. Estas dos ideas están plasmadas en la División Propiedades de Uno.

Propiedades de división de uno
Cualquier número (excepto 0) dividido por sí mismo es uno. a ÷ a = 1
Cualquier número dividido por uno es el mismo número. a ÷ 1 = a
Ejemplo1.9.4: divide

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 11÷11
  2. 191
  3. 1¯)7

Solución

Un número dividido por sí mismo es 1. 11 ÷ 11 = 1
Verificar multiplicando. 1 • 11 = 11 ✓
Un número dividido por 1 se iguala a sí mismo. 191=19
Verificar multiplicando. 19 • 1 = 19 ✓
Un número dividido por 1 se iguala a sí mismo. 1¯)7=7
Verificar multiplicando. 7 • 1 = 7 ✓
ejercicio1.9.7

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 14÷14
  2. 271
Responder a

1

Respuesta b

27

ejercicio1.9.8

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 161
  2. 1¯)4
Responder a

16

Respuesta b

4

Supongamos que tenemos$0, y queremos dividirlo entre3 las personas. ¿Cuánto obtendría cada persona? Cada persona obtendría$0. Cero dividido por cualquier número es0.

Ahora supongamos que queremos dividir$10 por0. Eso significa que nos gustaría encontrar un número por el que multiplicamos0 para obtener10. Esto no puede suceder porque0 veces cualquier número es0. Se dice que la división por cero es indefinida.

Estas dos ideas conforman las Propiedades de División de Cero.

Propiedades de división de cero
El cero dividido por cualquier número es 0. 0 ÷ a = 0
Dividir un número por cero no está definido. a ÷ 0 = indefinido

Otra forma de explicar por qué la división por cero es indefinida es recordar que la división es realmente resta repetida. ¿De cuántas veces podemos0 quitarle10? Porque restar nunca0 cambiará el total, nunca obtendremos una respuesta. Entonces no podemos dividir un número por0.

Ejemplo1.9.5: divide

Dividir. Verifica multiplicando:

  1. 0÷3
  2. 10/0

Solución

El cero dividido por cualquier número es cero. 0 ÷ 3 = 0
Verificar multiplicando. 0 • 3 = 0 ✓
Dividir un número por cero no está definido. 10/0 = indefinido
ejercicio1.9.9

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 0÷2
  2. 17/0
Responder a

0

Respuesta b

undefined

ejercicio1.9.10

Dividir. Luego verifique multiplicando:

  1. 0÷6
  2. 13/0
Responder a

0

Respuesta b

undefined

Cuando el divisor o el dividendo tiene más de un dígito, suele ser más fácil usar la4¯)12 notación. Este proceso se llama división larga. Trabajemos a través del proceso dividiéndolo78 por3.

Dividir el primer dígito del dividendo, 7, por el divisor, 3.  
El divisor 3 puede entrar en 7 dos veces ya que 2 × 3 = 6. Escribe los 2 arriba del 7 en el cociente. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-02.png
Multiplique el 2 en el cociente por 3 y escriba el producto, 6, debajo del 7. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-03.png
Restar ese producto del primer dígito del dividendo. Restar 7 − 6. Escribe la diferencia, 1, debajo del primer dígito del dividendo. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-04.png
Bajar el siguiente dígito del dividendo. Derriba el 8. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-05.png
Divida 18 por el divisor, 3. El divisor 3 entra en 18 seis veces. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-06.png
Escribe 6 en el cociente por encima del 8.  
Multiplique el 6 en el cociente por el divisor y escriba el producto, 18, debajo del dividendo. Restar 18 de 18. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-07.png

Repetiríamos el proceso hasta que no haya más dígitos en el dividendo para derribar. En este problema, no hay más dígitos para derribar, por lo que la división está terminada. Entonces78÷3=26.

Verifique multiplicando el cociente por el divisor para obtener el dividendo. 26×3Multiplicar para asegurarse de que el producto es igual al dividendo,78.

Lo hace, así que nuestra respuesta es correcta.

CÓMO: DIVIDIR LOS NÚMEROS

Paso 1. Dividir el primer dígito del dividendo por el divisor. Si el divisor es mayor que el primer dígito del dividendo, divida los dos primeros dígitos del dividendo por el divisor, y así sucesivamente.

Paso 2. Escribe el cociente por encima del dividendo.

Paso 3. Multiplique el cociente por el divisor y escriba el producto bajo el dividendo.

Paso 4. Restar ese producto del dividendo.

Paso 5. Bajar el siguiente dígito del dividendo.

Paso 6. Repita desde el Paso 1 hasta que no haya más dígitos en el dividendo para derribar.

Paso 7. Verifique multiplicando el cociente por el divisor.

Ejemplo1.9.6: divide

Dividir2,596÷4. Verificar multiplicando.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-01.png
Dividir el primer dígito del dividendo, 2, por el divisor, 4. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-02.png
Dado que 4 no entra en 2, utilizamos los dos primeros dígitos del dividendo y dividimos 25 por 4. El divisor 4 entra en 25 seis veces.  
Escribimos el 6 en el cociente por encima del 5. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-03.png
Multiplique el 6 en el cociente por el divisor 4 y escriba el producto, 24, debajo de los dos primeros dígitos del dividendo. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-04.png
Restar ese producto de los dos primeros dígitos del dividendo. Restar 25 − 24. Escribe la diferencia, 1, debajo del segundo dígito en el dividendo. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-05.png
Ahora baja el 9 y repite estos pasos. Hay 4 cuatros en 19. Escribe el 4 sobre el 9. Multiplica el 4 por 4 y resta este producto de 19. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-06.png
Baje el 6 y repita estos pasos. Hay 9 cuatros en 36. Escribe el 9 sobre el 6. Multiplica el 9 por 4 y resta este producto de 36. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-07.png
Verificar multiplicando. CNX_BMath_Figure_01_05_044_img-08.png

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta. Entonces2,596÷4=649.

ejercicio1.9.11

Dividir. Después verifique multiplicando:2,636÷4.

Contestar

659

ejercicio1.9.12

Dividir. Después verifique multiplicando:2,716÷4.

Contestar

679

Ejemplo1.9.7: divide

Dividir4,506÷6. Verificar multiplicando.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga.
Primero tratamos de dividir 6 en 4.
Como eso no va a funcionar, intentamos 6 en 45. Hay 7 seis en 45. Escribimos el 7 sobre el 5
Multiplica el 7 por 6 y resta este producto de 45.
Ahora baja el 0 y repite estos pasos. Hay 5 seis en 30. Escribe el 5 sobre el 0. Multiplica el 5 por 6 y resta este producto de 30.
Ahora baja el 6 y repite estos pasos. Hay 1 seis en 6. Escribe el 1 sobre el 6. Multiplica 1 por 6 y resta este producto de 6.
Verificar multiplicando.

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.

ejercicio1.9.13

Dividir. Después verifique multiplicando:4,305÷5.

Contestar

861

ejercicio1.9.14

Dividir. Después verifique multiplicando:3,906÷6.

Contestar

651

Ejemplo1.9.8: divide

Dividir7,263÷9. Verificar multiplicando.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga.
Primero tratamos de dividir 9 en 7.
Como eso no va a funcionar, intentamos 9 en 72. Hay 8 nueves en 72. Escribimos el 8 sobre el 2.
Multiplica el 8 por 9 y resta este producto del 72.
Ahora baja el 6 y repite estos pasos. Hay 0 nueves en 6. Escribe el 0 sobre el 6. Multiplica el 0 por 9 y resta este producto del 6.
Ahora baja el 3 y repite estos pasos. Hay 7 nueves en 63. Escribe el 7 sobre el 3. Multiplica el 7 por 9 y resta este producto de 63.
Verificar multiplicando.

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.

ejercicio1.9.15

Dividir. Después verifique multiplicando:4,928÷7.

Contestar

704

ejercicio1.9.16

Dividir. Después verifique multiplicando:5,663÷7.

Contestar

809

Hasta el momento todos los problemas de división han funcionado de manera uniforme. Por ejemplo, si tuviéramos24 galletas y quisiéramos hacer bolsas de8 galletas, tendríamos3 bolsas. Pero, ¿y si hubiera28 galletas y quisiéramos hacer bolsas de8? Comience con las28 cookies como se muestra en la Figura1.9.3.

Una imagen de 28 galletas colocadas al azar.

Figura1.9.3

Trate de poner las galletas en grupos de ocho como en la Figura1.9.4.

Una imagen de 28 cookies. Hay 3 círculos, cada uno contiene 8 galletas, dejando 3 galletas fuera de los círculos.

Figura1.9.4

Hay3 grupos de ocho galletas, y4 las cookies sobran. Llamamos a las4 cookies que quedan sobre el resto y lo mostramos escribiendoR4 junto a la3. (LasR siglas para el resto.)

Para verificar esta división multiplicamos8 los3 tiempos para obtener24, y luego sumar el resto de4.

Ejemplo1.9.9: divide

Dividir1,439÷4. Verificar multiplicando.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga.
Primero tratamos de dividir 4 en 1. Como eso no va a funcionar, intentamos 4 en 14. Hay 3 cuatros en 14. Escribimos el 3 sobre el 4.
Multiplica el 3 por 4 y resta este producto de 14.
Ahora baja el 3 y repite estos pasos. Hay 5 cuatros en 23. Escribe el 5 sobre el 3. Multiplica el 5 por 4 y resta este producto de 23.
Ahora baja el 9 y repite estos pasos. Hay 9 cuatros en 39. Escribe el 9 sobre el 9. Multiplica el 9 por 4 y resta este producto de 39. No hay más números que derribar, así que ya terminamos. El resto es 3.
Verificar multiplicando.

Así1,439÷4 es359 con un resto de3. Nuestra respuesta es correcta.

ejercicio1.9.17

Dividir. Después verifique multiplicando:3,812÷8.

Contestar

476con un resto de4

ejercicio1.9.18

Dividir. Después verifique multiplicando:4,319÷8.

Contestar

539con un resto de7

Ejemplo1.9.10: divide

Dividir y luego verificar multiplicando:1,461÷13.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga.
Primero tratamos de dividir 13 en 1. Como eso no va a funcionar, intentamos 13 en 14. Hay 1 trece de cada 14. Escribimos el 1 sobre el 4.
Multiplica el 1 por 13 y resta este producto de 14.
Ahora baja el 6 y repite estos pasos. Hay 1 trece de cada 16. Escribe el 1 sobre el 6. Multiplica el 1 por 13 y resta este producto de 16.
Ahora baja el 1 y repite estos pasos. Hay 2 trece en 31. Escribe el 2 sobre el 1. Multiplica el 2 por 13 y resta este producto de 31. No hay más números que derribar, así que ya terminamos. El resto es 5. 1,462 ÷ 13 es 112 con un resto de 5.
Verificar multiplicando.

Nuestra respuesta es correcta.

ejercicio1.9.19

Dividir. Después verifique multiplicando:1,493÷13.

Contestar

114R11

ejercicio1.9.20

Dividir. Después verifique multiplicando:1,461÷12.

Contestar

121R9

Ejemplo1.9.11: divide

Dividir y verificar multiplicando:74,521÷241.

Solución

Vamos a reescribir el problema para configurarlo para división larga.
Primero tratamos de dividir 241 en 7. Como eso no va a funcionar, intentamos 241 en 74. Eso todavía no va a funcionar, así que intentamos 241 en 745. Ya que 2 se divide en 7 tres veces, intentamos 3. Desde 3 × 241 = 723, escribimos el 3 sobre el 5 en 745. Tenga en cuenta que 4 sería demasiado grande porque 4 × 241 = 964, que es mayor que 745.  
Multiplica el 3 por 241 y resta este producto de 745.
Ahora baja el 2 y repite estos pasos. 241 no divide en 222. Escribimos un 0 sobre el 2 como marcador de posición y luego continuamos.
Ahora baja el 1 y repite estos pasos. Prueba 9. Desde 9 × 241 = 2,169, escribimos el 9 sobre el 1. Multiplica el 9 por 241 y resta este producto de 2,221.
No hay más números que derribar, así que estamos acabados. El resto es de 52. Entonces 74,521 ÷ 241 es 309 con un resto de 52.  
Verificar multiplicando.

A veces puede que no sea obvio cuántas veces el divisor entra en dígitos del dividendo. Tendremos que adivinar y verificar los números para encontrar el mayor número que entre en los dígitos sin superarlos.

ejercicio1.9.21

Dividir. Después verifique multiplicando:78,641÷256.

Contestar

307R49

ejercicio1.9.22

Dividir. Después verifique multiplicando:76,461÷248.

Contestar

308R77

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