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4.3: Multiplicar y dividir fracciones (Parte 1)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Simplificar fracciones
  • Multiplicar fracciones
  • Encuentra reciprocales
  • Dividir fracciones
¡prepárate!

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Encuentra la factorización principal de48. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.5.1.
  2. Dibuja un modelo de la fracción34. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.1.2.
  3. Encuentra dos fracciones equivalentes a56. Las respuestas pueden variar. Las respuestas aceptables incluyen1012,1518,5060, etc. Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 4.1.14.

Simplificar fracciones

Al trabajar con fracciones equivalentes, viste que hay muchas formas de escribir fracciones que tienen el mismo valor, o representan la misma parte del todo. ¿Cómo sabes cuál usar? A menudo, usaremos la fracción que está en forma simplificada.

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos a1, en el numerador y denominador. Si una fracción tiene factores comunes en el numerador y denominador, podemos reducir la fracción a su forma simplificada eliminando los factores comunes.

Definición: Fracción simplificada

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en el numerador y denominador.

Por ejemplo,

  • 23se simplifica porque no hay factores comunes de2 y3.
  • 1015no se simplifica porque5 es un factor común de10 y15.

El proceso de simplificar una fracción a menudo se llama reducir la fracción. En la sección anterior, utilizamos la Propiedad de Fracciones Equivalentes para encontrar fracciones equivalentes. También podemos usar la Propiedad de Fracciones Equivalentes a la inversa para simplificar fracciones. Reescribimos la propiedad para mostrar ambas formas juntas.

Definición: Propiedad de fracciones equivalentes

Sia,b,c son los números dondeb0,c0, entoncesab=acbc yacbc=ab.

Observe quec es un factor común en el numerador y denominador. Siempre que tengamos un factor común en el numerador y denominador, se puede eliminar.

COMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN

Paso 1. Reescribir el numerador y denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, factoriza el numerador y el denominador en números primos.

Paso 2. Simplifique, usando la propiedad de fracciones equivalentes, eliminando factores comunes.

Paso 3. Multiplique cualquier factor restante.

Ejemplo4.3.1: simplify

Simplificar:1015.

Solución

Para simplificar la fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y el denominador.

Observe que 5 es un factor tanto de 10 como de 15. 1015
Factorizar el numerador y el denominador. 2535
Eliminar los factores comunes. 2535
Simplificar. 23
Ejercicio4.3.1

Simplificar:812.

Contestar

23

Ejercicio4.3.2

Simplificar:1216.

Contestar

34

Para simplificar una fracción negativa, utilizamos el mismo proceso que en Ejemplo4.3.1. Recuerda mantener el signo negativo.

Ejemplo4.3.2: simplify

Simplificar:1824.

Solución

Notamos que 18 y 24 ambos tienen factores de 6. 1824
Reescribir el numerador y denominador mostrando el factor común. 3646
Eliminar factores comunes. 3646
Simplificar. 34
Ejercicio4.3.3

Simplificar:2128.

Contestar

34

Ejercicio4.3.4

Simplificar:1624.

Contestar

23

Después de simplificar una fracción, siempre es importante verificar el resultado para asegurarse de que el numerador y el denominador no tengan más factores en común. Recuerde, la definición de una fracción simplificada: una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en el numerador y denominador.

Al simplificar una fracción impropia, no hay necesidad de cambiarla a un número mixto.

Ejemplo4.3.3:

Simplificar:5632.

Solución

  5632
Reescribir el numerador y denominador, mostrando los factores comunes, 8. 7848
Eliminar factores comunes. 7848
Simplificar. 74
Ejercicio4.3.5

Simplificar:5442.

Contestar

97

Ejercicio4.3.6

Simplificar:8145.

Contestar

95

COMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN

Paso 1. Reescribir el numerador y denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, factoriza el numerador y el denominador en números primos.

Paso 2. Simplifique, usando la propiedad de fracciones equivalentes, eliminando factores comunes.

Paso 3. Multiplique cualquier factor restante.

A veces puede que no sea fácil encontrar factores comunes del numerador y denominador. Una buena idea, entonces, es facturar el numerador y el denominador en números primos. (Es posible que desee utilizar el método de árbol de factores para identificar los factores primos). Luego divida los factores comunes usando la Propiedad de Fracciones Equivalentes.

Ejemplo4.3.4: simplify

Simplificar:210385.

Solución

  210385
Utilice árboles de factores para factorizar el numerador y el denominador.
Reescribir el numerador y denominador como producto de los primos. 210385=23575711
Eliminar los factores comunes. 23575711
Simplificar. 2311
Multiplique cualquier factor restante. 611
Ejercicio4.3.7

Simplificar:69120.

Contestar

2340

Ejercicio4.3.8

Simplificar:120192.

Contestar

58

También podemos simplificar fracciones que contienen variables. Si una variable es un factor común en el numerador y denominador, la eliminamos tal como lo hacemos con un factor entero.

Ejemplo4.3.5: simplify

Simplificar:5xy15x.

Solución

  5xy15x
Reescribir numerador y denominador mostrando factores comunes. 5xy35x
Eliminar factores comunes. 5xy35x
Simplificar. y3
Ejercicio4.3.9

Simplificar:7x7y.

Contestar

xy

Ejercicio4.3.10

Simplificar:9a9b.

Contestar

ab

Multiplicar fracciones

Un modelo puede ayudarte a entender la multiplicación de fracciones. Utilizaremos baldosas de fracción para modelar1234. Multiplicar12 y34, pensar12 en34.

Comience con baldosas de fracción por tres cuartos. Para encontrar la mitad de las tres cuartas partes, necesitamos dividirlas en dos grupos iguales. Como no podemos dividir las tres14 baldosas de manera uniforme en dos partes, las cambiamos por baldosas más pequeñas.

Un rectángulo se divide verticalmente en tres piezas iguales. Cada pieza está etiquetada como una cuarta parte. Hay una flecha apuntando a un rectángulo idéntico dividido verticalmente en seis piezas iguales. Cada pieza está etiquetada como un octavo. Hay llaves que muestran que tres de estos rectángulos representan tres octavos.

Figura4.3.1

Vemos68 es equivalente a34. Tomando la mitad de las seis18 fichas nos da tres18 fichas, que es38. Por lo tanto,

1234=38

Ejemplo4.3.6: model a fraction

Utilice un diagrama para modelar1234.

Solución

Primer matiz en34 el rectángulo.

Se muestra un rectángulo, dividido verticalmente en cuatro piezas iguales. Tres de las piezas están sombreadas.

Vamos a tomar12 de esto34, por lo que fuertemente sombra12 de la región sombreada.

Se muestra un rectángulo, dividido verticalmente en cuatro piezas iguales. Tres de las piezas están sombreadas. El rectángulo está dividido por una línea horizontal, creando ocho piezas iguales. Tres de las ocho piezas están oscurecidamente sombreadas.

Observe que 3 de las 8 piezas están muy sombreadas. Esto significa que38 del rectángulo está muy sombreado. Por lo tanto,12 de34 es34, o1234=38.

Ejercicio4.3.11

Utilice un diagrama para modelar:1235.

Contestar

Se muestra un rectángulo, dividido verticalmente en cinco piezas iguales. Tres de las piezas están sombreadas. El rectángulo está dividido por una línea horizontal, creando diez piezas iguales. Tres de las diez piezas están oscuramente sombreadas.

310

Ejercicio4.3.12

Utilice un diagrama para modelar:1256.

Contestar

Se muestra un rectángulo, dividido verticalmente en seis piezas iguales. Cinco de las piezas están sombreadas. El rectángulo está dividido por una línea horizontal, creando doce lugares iguales. Cinco de las doce piezas están oscurecidamente sombreadas.

512

Mira el resultado que obtuvimos del modelo en Ejemplo4.3.6. Encontramos eso1234=38. ¿Se nota que podríamos haber obtenido la misma respuesta multiplicando los numeradores y multiplicando los denominadores?

  1234
Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores. 1234
Simplificar. 38

Esto lleva a la definición de multiplicación de fracciones. Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Después escribimos la fracción en forma simplificada.

Definición: Multiplicación de Fracciones

Sia,b,c, yd son los números dondeb0 yd0, entonces

abcd=acbd

Ejemplo4.3.7: multiply

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:3415.

Solución

  3415
Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores. 3145
Simplificar. 320

No hay factores comunes, por lo que la fracción se simplifica.

Ejercicio4.3.13

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:1325.

Contestar

215

Ejercicio4.3.14

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:3578.

Contestar

2140

Al multiplicar fracciones, siguen aplicándose las propiedades de los números positivos y negativos. Es una buena idea determinar el signo del producto como primer paso. En Ejemplo4.3.8 vamos a multiplicar dos negativos, por lo que el producto será positivo.

Ejemplo4.3.8: multiply

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:58(23).

Solución

  58(23)
Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo. Multiplicar los numeradores, multiplicar los denominadores. 5283
Simplificar. 1024
Busque factores comunes en el numerador y denominador. Reescritura mostrando factores comunes. 52122
Eliminar factores comunes. 512

Otra forma de encontrar este producto implica eliminar factores comunes antes.

  58(23)
Determinar el signo del producto. Multiplicar. 5283
Mostrar factores comunes y luego eliminarlos. 52122
Multiplicar los factores restantes. 512

Obtenemos el mismo resultado.

Ejercicio4.3.15

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:47(58).

Contestar

514

Ejercicio4.3.16

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:712(89).

Contestar

1427

Ejemplo4.3.9: multiply

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:14152021.

Solución

  14152021
Determinar el signo del producto; multiplicar. 14152021
¿Hay algún factor común en el numerador y en el denominador? Sabemos que 7 es un factor de 14 y 21, y 5 es un factor de 20 y 15.  
Reescritura mostrando factores comunes. 27453537
Eliminar los factores comunes. 2433
Multiplicar los factores restantes. 89
Ejercicio4.3.17

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:1028815.

Contestar

421

Ejercicio4.3.18

Multiplicar, y escribir la respuesta en forma simplificada:920512.

Contestar

316

Al multiplicar una fracción por un entero, puede ser útil escribir el entero como una fracción. Cualquier entero, a, puede escribirse comoa1. Entonces3=31, por ejemplo.

Ejemplo4.3.10:

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

  1. 1756
  2. 125(20x)

Solución

  1756
Escribe 56 como una fracción. 17561
Determinar el signo del producto; multiplicar. 567
Simplificar. 8
  125(20x)
Escribe −20x como una fracción. 125(20x1)
Determinar el signo del producto; multiplicar. 1220x51
Mostrar factores comunes y luego eliminarlos. 1245x51
Multiplicar los factores restantes; simplificar. 48x
Ejercicio4.3.19

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

  1. 1872
  2. 113(9a)
Contestar a

9

Respuesta b

33a

Ejercicio4.3.20

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

  1. 3864
  2. 16x1112
Contestar a

24

Respuesta b

44x3

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