Processing math: 100%
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

4.4: Multiplicar y dividir fracciones (Parte 2)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Buscar Reciprocales

Las fracciones23 y32 están relacionadas entre sí de una manera especial. Así son107 y710. ¿Ves cómo? Además de parecer versiones al revés unas de otras, si tuviéramos que multiplicar estos pares de fracciones, el producto sería 1.

2332=1and107(710)=1

Tales pares de números se llaman recíprocos.

Definición: Recíproco

El recíproco de la fracciónab esba, dóndea0 yb0.

Un número y su recíproco tienen un producto de1.

abba=1

Para encontrar el recíproco de una fracción, invertimos la fracción. Esto significa que colocamos el numerador en el denominador y el denominador en el numerador.

Para obtener un resultado positivo al multiplicar dos números, los números deben tener el mismo signo. Por lo que los recíprocos deben tener el mismo signo.

“a” sobre “b” multiplicado por “b” sobre “a” equivale a uno positivo.

Para encontrar el recíproco, mantener el mismo signo e invertir la fracción. El número cero no tiene un recíproco. ¿Por qué? Un número y su recíproco se multiplican a1. ¿Hay algún númeror así0r=1? No. Entonces, el número0 no tiene un recíproco.

Ejemplo4.4.11: reciprocal

Encuentra el recíproco de cada número. Después comprobar que el producto de cada número y su recíproco es1.

  1. 49
  2. 16
  3. 145
  4. 7

Solución

Para encontrar los recíprocos, mantenemos el signo e invertimos las fracciones.

Encuentra el recíproco de49. El recíproco de49 es94.

Comprobar:

Multiplicar el número y su recíproco. 4994
Multiplicar numeradores y denominadores. 3636
Simplificar. 1
Encuentra el recíproco de16. El recíproco de16 es61.
Simplificar. 6
Cheque. 16(6)=1
Encuentra el recíproco de145. 514
Cheque. 145(514)=7070=1
Encuentra el recíproco de 7.  
Escribe 7 como una fracción. 71
Escribir el recíproco de71. 17
Cheque. 7(17)=1
Ejercicio4.4.21

Encuentra el recíproco:

  1. 57
  2. 18
  3. 114
  4. 14
Contestar a

75

Respuesta b

8

Respuesta c

411

Respuesta d

114

Ejercicio4.4.22

Encuentra el recíproco:

  1. 37
  2. 112
  3. 149
  4. 21
Contestar a

73

Respuesta b

12

Respuesta c

914

Respuesta d

121

En un capítulo anterior, trabajamos con opuestos y valores absolutos. Tabla4.4.1 compara opuestos, valores absolutos y recíprocos.

Mesa4.4.1
Opuesto Valor Absoluto recíproco
tiene signo opuesto nunca es negativo tiene el mismo signo, fracción invierte
Ejemplo4.4.12: fractions

Rellene el gráfico para cada fracción en la columna de la izquierda:

Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
38      
12      
95      
5      

Solución

Para encontrar lo contrario, cambie el signo. Para encontrar el valor absoluto, deje los números positivos iguales, pero tome lo contrario de los números negativos. Para encontrar lo recíproco, mantenga el signo igual e invierta la fracción.

Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
38 38 38 83
12 12 12 2
95 95 95 59
5 5 5 15
Ejercicio4.4.23

Rellena la tabla para cada número dado:

Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
58      
14      
83      
8      
Contestar
Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
58 58 58 85
14 14 14 4
83 83 83 38
8 8 8 18
Ejercicio4.4.24

Rellena la tabla para cada número dado:

Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
47      
18      
94      
1      
Contestar
Número Opuesto Valor Absoluto recíproco
47 47 47 74
18 18 18 8
94 94 94 49
1 1 1 11

Dividir fracciones

¿Por qué es12÷3=4? Anteriormente modelamos esto con contadores. ¿Cuántos grupos de3 contadores se pueden hacer a partir de un grupo de12 contadores?

Se muestran cuatro óvalos rojos. Dentro de cada óvalo hay tres círculos grises.

Figura4.4.2

Hay4 grupos de3 mostradores. En otras palabras, hay cuatro3 s en12. Entonces,12÷3=4.

¿Qué pasa con dividir fracciones? Supongamos que queremos encontrar el cociente:12÷16. Tenemos que averiguar en cuántos16 s hay12. Podemos usar mosaicos de fracción para modelar esta división. Comenzamos alineando las baldosas de media y sexta fracción como se muestra en la Figura4.4.3. Observe, hay tres16 mosaicos en12, entonces12÷16=3.

Se muestra un rectángulo, etiquetado como la mitad. Debajo hay un rectángulo idéntico dividido en tres piezas iguales, cada una etiquetada como una sexta parte.

Figura4.4.3

Ejemplo4.4.13: model

Modelo:14÷18.

Solución

Queremos determinar cuántos18 s hay en14. Comience con una14 baldosa. Alinee18 las baldosas debajo de la14 loseta.

Ejercicio4.4.25

Modelo:13÷16.

Contestar

Ex 4.2.25.png

Ejercicio4.4.26

Modelo:12÷14.

Contestar

Ex 4.2.26.png

Ejemplo4.4.14: model

Modelo:2÷14.

Solución

Estamos tratando de determinar cuántos14 s hay en2. Podemos modelar esto como se muestra.

Se muestran dos rectángulos, cada uno etiquetado como 1. Debajo hay dos rectángulos idénticos, cada uno dividido en cuatro piezas. Cada una de las ocho piezas está etiquetada como una cuarta parte.

Porque hay ocho14 s en2,2÷14=8.

Ejercicio4.4.27

Modelo:2÷13

Contestar

Ex 4.2.27.png

Ejercicio4.4.28

Modelo:3÷12

Contestar

Ex 4.2.28.png

Usemos el dinero para modelar2÷14 de otra manera. A menudo leemos14 como un 'trimestre', y sabemos que un trimestre es un cuarto de dólar como se muestra en la Figura4.4.4. Entonces podemos pensar en2÷14 como, “¿Cuántos trimestres hay en dos dólares?” Un dólar son4 trimestres, por lo que los2 dólares serían8 trimestres. Entonces otra vez,2÷14=8.

Se muestra una imagen de un trimestre de Estados Unidos.

Figura:La moneda4.4.4 estadounidense llamada cuarto vale un cuarto de dólar.

Usando baldosas de fracción, lo demostramos12÷16=3. Observe que1261=3 también. ¿Cómo están16 y61 relacionados? Son recíprocos. Esto nos lleva al procedimiento para la división de fracciones.

Definición: División de Fracciones

Sia,b,c, yd son números dondeb0,c0, yd0, entonces

ab÷cd=abdc

Para dividir fracciones, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda.

Tenemos que decirlob0,c0 yd0 para estar seguros no dividimos por cero.

Ejemplo4.4.15: divide

Divide, y escribe la respuesta en forma simplificada:\ (\ dfrac {2} {5}\ div\ left (-\ dfrac {3} {7}\ right).

Solución

Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 25(73)
Multiplicar. El producto es negativo. 1415
Ejercicio4.4.29

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:37÷(23).

Contestar

914

Ejercicio4.4.30

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:23÷(75).

Contestar

1021

Ejemplo4.4.16: divide

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:23÷n5.

Solución

Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 23÷5n
Multiplicar. 103n
Ejercicio4.4.31

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:35÷p7.

Contestar

215p

Ejercicio4.4.32

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:58÷q3.

Contestar

158q

Ejemplo4.4.17: divide

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:34÷(78).

Solución

Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 34(87)
Multiplicar. Recuerda determinar primero el signo. 3847
Reescribir para mostrar factores comunes. 34247
Elimine los factores comunes y simplifique. 67
Ejercicio4.4.33

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:23÷(56).

Contestar

45

Ejercicio4.4.34

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:56÷(23).

Contestar

54

Ejemplo4.4.18: divide

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:718÷1427.

Solución

Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 7182714
Multiplicar. 7271814
Reescritura mostrando factores comunes. 793972
Eliminar factores comunes. 322
Simplificar. 34
Ejercicio4.4.35

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:727÷3536.

Contestar

415

Ejercicio4.4.36

Dividir, y escribir la respuesta en forma simplificada:514÷1528.

Contestar

23

Conceptos clave

  • Propiedad Fracciones Equivalentes
  • Sia,b,c son los números dondeb0,c0, entoncesab=acbc yacbc=ab
  • Simplifica una fracción.
    1. Reescribir el numerador y denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, factive el numerador y el denominador en números primos.
    2. Simplifique, usando la propiedad de fracciones equivalentes, eliminando factores comunes.
    3. Multiplique cualquier factor restante.
  • Multiplicación de Fracciones
    • Sia,b,c, y
  • Reciproca
    • Un número y su recíproco tienen un producto de 1. abba=1
    • Opuesto Valor Absoluto recíproco
      tiene signo opuesto nunca es negativo tiene el mismo signo, fracción invierte
  • División de Fracciones
    • Sia,b,c, yd son números dondeb0,c0, yd0, entoncesab÷cd=abdc
    • Para dividir fracciones, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda.

Glosario

recíproco

El recíproco de la fracciónab esba dóndea0 yb0.

fracción simplificada

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en el numerador y denominador.

La práctica hace la perfección

Simplificar fracciones

En los siguientes ejercicios, simplifique cada fracción. No convierta ninguna fracción impropia en números mixtos.

  1. 721
  2. 824
  3. 1520
  4. 1218
  5. 4088
  6. 6399
  7. 10863
  8. 10448
  9. 120252
  10. 182294
  11. 168192
  12. 140224
  13. 11x11y
  14. 15a15b
  15. 3x12y
  16. 4x32y
  17. 14x221y
  18. 24a32b2

Multiplicar fracciones

En los siguientes ejercicios, utilice un diagrama para modelar.

  1. 1223
  2. 1258
  3. 1356
  4. 1325

En los siguientes ejercicios, multiplique y escriba la respuesta de forma simplificada.

  1. 2513
  2. 1238
  3. 34910
  4. 4527
  5. 23(38)
  6. 34(49)
  7. 59310
  8. 38415
  9. 712(821)
  10. 512(815)
  11. (1415)(920)
  12. (910)(2533)
  13. (6384)(4490)
  14. (3360)(4088)
  15. 4511
  16. 583
  17. 3721n
  18. 5630m
  19. 28p(14)
  20. 51q(13)
  21. 8(174)
  22. 145(15)
  23. 1(38)
  24. (1)(67)
  25. (23)3
  26. (45)2
  27. (65)4
  28. (47)4

Encuentra Reciprocales En los siguientes ejercicios, encuentra el recíproco.

  1. 34
  2. 23
  3. 517
  4. 619
  5. 118
  6. −13
  7. −19
  8. −1
  9. 1
  10. Rellene la tabla.
    Opuesto Valor Absoluto recíproco
    711      
    45      
    107      
    8      
  11. Rellene la tabla.
    Opuesto Valor Absoluto recíproco
    313      
    914      
    157      
    9      

Dividir fracciones

En los siguientes ejercicios, modele cada división de fracciones.

  1. 12÷14
  2. 12÷18
  3. 2÷15
  4. 3÷14

En los siguientes ejercicios, divida y escriba la respuesta de forma simplificada.

  1. 12÷14
  2. 12÷18
  3. 34÷23
  4. 45÷34
  5. 45÷47
  6. 34÷35
  7. 79÷(79)
  8. 56÷(56)
  9. 34÷x11
  10. 25÷y9
  11. 58÷a10
  12. 56÷c15
  13. 518÷(1524)
  14. 718÷(1427)
  15. 7p12÷21p8
  16. 5q12÷15q8
  17. 8u15÷12v25
  18. 12r25÷18s35
  19. 5÷12
  20. 3÷14
  21. 34÷(12)
  22. 25÷(10)
  23. 18÷(92)
  24. 15÷(53)
  25. 12÷(34)÷78
  26. 112÷78211

Matemáticas cotidianas

  1. Hornear Una receta de galletas con chispas de chocolate requiere 3 4 tazas de azúcar moreno. Imelda quiere duplicar la receta.
    1. ¿Cuánto azúcar moreno necesitará Imelda? Muestra tu cálculo. Escribe tu resultado como una fracción impropia y como un número mixto.
    2. Los vasos medidores generalmente vienen en juegos de18,14,13,12, y 1 taza. Dibuja un diagrama para mostrar dos formas diferentes en las que Imelda podría medir el azúcar moreno necesario para duplicar la receta.
  2. Hornear Nina está haciendo 4 sartenes de dulce de azúcar para servir después de un recital musical. Por cada sartén, necesita 2 3 tazas de leche condensada.
    1. ¿Cuánta leche condensada necesitará Nina? Muestra tu cálculo. Escribe tu resultado como una fracción impropia y como un número mixto.
    2. Los vasos medidores generalmente vienen en juegos de18,14,13,12, y 1 taza. Dibuja un diagrama para mostrar dos formas diferentes en las que Nina podría medir la leche condensada que necesita.
  3. Porciones Don compró un paquete a granel de dulces que pesa 5 libras. Quiere vender los dulces en bolsitas que contienen14 libra. ¿Cuántas bolsitas de dulces puede llenar del paquete a granel?
  4. Porciones Kristen tiene34 yardas de cinta. Ella quiere cortarlo en partes iguales para hacer cintas de pelo para las 6 muñecas de su hija. ¿Cuánto tiempo durará la cinta para el pelo de cada muñeca?

Ejercicios de escritura

  1. Explica cómo encuentras el recíproco de una fracción.
  2. Explica cómo encuentras el recíproco de una fracción negativa.
  3. Rafael quería pedir media pizza mediana en un restaurante. El mesero le dijo que una pizza mediana se podía cortar en 6 u 8 rebanadas. ¿Preferiría 3 de 6 rebanadas o 4 de 8 rebanadas? Rafael respondió que como no tenía mucha hambre, preferiría 3 de cada 6 rebanadas. Explique qué hay de malo en el razonamiento de Rafael.
  4. Dar un ejemplo de la vida cotidiana que demuestre cómo1223 es13.

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para confiar en todos los objetivos?

Colaboradores y Atribuciones


This page titled 4.4: Multiplicar y dividir fracciones (Parte 2) is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax.

Support Center

How can we help?