4.12: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 1)
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- Resolver ecuaciones con fracciones usando las Propiedades de Suma, Resta y División de Igualdad
- Resolver ecuaciones usando la Propiedad de Multiplicación de Igualdad
- Traducir frases a ecuaciones y resolver
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación. Si pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.
- Evalúa\(x + 4\) cuándo\(x = −3\) Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 3.2.10.
- Resolver:\(2y − 3 = 9\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.5.2.
- Resolver:\(y − 3 = −9\) Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.2.10.
Determinar si una fracción es una solución de una ecuación
Como vimos en Resolver ecuaciones con las propiedades de resta y suma de igualdad y resolver ecuaciones usando números enteros; La propiedad de división de igualdad, una solución de una ecuación es un valor que hace una declaración verdadera cuando se sustituye por la variable en la ecuación. En esas secciones, encontramos soluciones de números enteros y enteros a ecuaciones. Ahora que hemos trabajado con fracciones, estamos listos para encontrar soluciones de fracciones a ecuaciones.
Los pasos que tomamos para determinar si un número es una solución a una ecuación son los mismos si la solución es un número entero, un número entero o una fracción.
Paso 1. Sustituir el número por la variable en la ecuación.
Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
Paso 3. Determinar si la ecuación resultante es verdadera. Si es cierto, el número es una solución. Si no es cierto, el número no es una solución.
Determinar si cada uno de los siguientes es una solución de\(x − \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{2}\).
- \(x = 1\)
- \(x = \dfrac{4}{5}\)
- \(x = − \dfrac{4}{5}\)
Solución
| Sustituto\(\textcolor{red}{1}\) por x. | \(\textcolor{red}{1} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| Cambiar a fracciones con una LCD de 10. | \(\textcolor{red}{\dfrac{10}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) |
| Restar. | \(\dfrac{7}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) |
Dado que\(x = 1\) no da como resultado una ecuación verdadera, no\(1\) es una solución a la ecuación.
| Sustituto\(\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}\) por x. | \(\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| \(\textcolor{red}{\dfrac{8}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) | |
| Restar. | \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{5}{10} \; \checkmark\) |
Dado que\(x = \dfrac{4}{5}\) da como resultado una ecuación verdadera,\(\dfrac{4}{5}\) es una solución a la ecuación\(x − \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{2}\).
| Sustituto\(\textcolor{red}{- \dfrac{4}{5}}\) por x. | \(\textcolor{red}{- \dfrac{4}{5}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| \(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) | |
| Restar. | \(\dfrac{11}{10} \neq \dfrac{5}{10}\) |
Dado que\(x = − \dfrac{4}{5}\) no da como resultado una ecuación verdadera, no\(− \dfrac{4}{5}\) es una solución a la ecuación.
Determinar si cada número es una solución de la ecuación dada. \(x − \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\)
- \(x = 1\)
- \(x = \dfrac{5}{6}\)
- \(x = − \dfrac{5}{6}\)
- Contestar a
-
no
- Respuesta b
-
si
- Respuesta c
-
no
Determinar si cada número es una solución de la ecuación dada. \(y − \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}\)
- \(y = 1\)
- \(y = - \dfrac{5}{8}\)
- \(y = \dfrac{5}{8}\)
- Contestar a
-
no
- Respuesta b
-
no
- Respuesta c
-
si
Resolver ecuaciones con fracciones usando las propiedades de suma, resta y división de igualdad
En Resolver ecuaciones con las propiedades de resta y suma de igualdad y resolver ecuaciones usando enteros; La propiedad de división de igualdad, resolvimos ecuaciones usando las propiedades de suma, resta y división de igualdad. Utilizaremos estas mismas propiedades para resolver ecuaciones con fracciones.
Para cualquier número\(a\),\(b\), y\(c\),
| si\(a = b\), entonces\(a + c = b + c\). | Adición Propiedad de Igualdad |
| si\(a = b\), entonces\(a − c = b − c\). | Resta Propiedad de Igualdad |
| si\(a = b\), entonces\(a c = b c \),\(c ≠ 0\). | División Propiedad de Igualdad |
En otras palabras, cuando sumas o restas la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, o divides ambos lados por la misma cantidad, sigues teniendo igualdad.
Resolver:\(y + \dfrac{9}{16} = \dfrac{5}{16}\).
Solución
| Restar\(\dfrac{9}{16}\) de cada lado para deshacer la suma. | \(y + \dfrac{9}{16} \textcolor{red}{- \dfrac{9}{16}} = \dfrac{5}{16} \textcolor{red}{- \dfrac{9}{16}}\) |
| Simplificar en cada lado de la ecuación. | \(y + 0 = - \dfrac{4}{16}\) |
| Simplifica la fracción. | \(y = - \dfrac{1}{4}\) |
Comprobar:
| Sustituir y = (−\ dfrac {1} {4}\). | \(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{4}} + \dfrac{9}{16} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{16}\) |
| Reescribe como fracciones con la pantalla LCD. | \ textcolor {rojo} {-\ dfrac {4} {16}} +\ dfrac {9} {16}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {5} {16}\) |
| Agregar. | \(\dfrac{5}{16} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{16} \; \checkmark\) |
Ya\(y = − \dfrac{1}{4}\) que hace\(y + \dfrac{9}{16} = \dfrac{5}{16}\) una verdadera afirmación, sabemos que hemos encontrado la solución a esta ecuación.
Resolver:\(y + \dfrac{11}{12} = \dfrac{5}{12}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{1}{2}\)
Resolver:\(y + \dfrac{8}{15} = \dfrac{4}{15}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{4}{15}\)
Se utilizó la Propiedad de Sustracción de Igualdad en el Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Ahora usaremos la Propiedad de Adición de Igualdad.
Resolver: a −\(\dfrac{5}{9}\) =\(− \dfrac{8}{9}\).
Solución
| Agrega\(\dfrac{5}{9}\) desde cada lado para deshacer la adición. | \(a - \dfrac{5}{9} \textcolor{red}{+ \dfrac{5}{9}} = - \dfrac{8}{9} \textcolor{red}{+ \dfrac{5}{9}}\) |
| Simplificar en cada lado de la ecuación. | \(a + 0 = - \dfrac{3}{9}\) |
| Simplifica la fracción. | \(a = - \dfrac{1}{3}\) |
Comprobar:
| Sustituir a =\(− \dfrac{1}{3}\). | \(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}} - \dfrac{5}{9} \stackrel{?}{=} - \dfrac{8}{9}\) |
| Cambiar al denominador común. | \(\textcolor{red}{- \dfrac{3}{9}} - \dfrac{5}{9} \stackrel{?}{=} - \dfrac{8}{9}\) |
| Restar. | \(- \dfrac{8}{9} = - \dfrac{8}{9} \; \checkmark\) |
Ya\(a = − \dfrac{1}{3}\) que hace que la ecuación sea cierta, sabemos que esa\(a = − \dfrac{1}{3}\) es la solución a la ecuación.
Resolver:\(a − \dfrac{3}{5} = − \dfrac{8}{5}\).
- Contestar
-
\(-1\)
Resolver:\(n − \dfrac{3}{7} = − \dfrac{9}{7}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{6}{7}\)
Puede que el siguiente ejemplo no parezca tener una fracción, pero veamos qué pasa cuando lo resolvemos.
Resolver:\(10q = 44\).
Solución
| Divide ambos lados por 10 para deshacer la multiplicación. | \(\dfrac{10q}{10} = \dfrac{44}{10}\) |
| Simplificar. | \(q =\dfrac{22}{5}\) |
Comprobar:
| Sustituir\(q = \dfrac{22}{5}\) en la ecuación original. | \(10 \left(\dfrac{22}{5}\right) \stackrel{?}{=} 44\) |
| Simplificar. | \(\stackrel{2}{\cancel{10}} \left(\dfrac{22}{\cancel{5}}\right) \stackrel{?}{=} 44\) |
| Multiplicar. | \(44 = 44 \; \checkmark\) |
La solución a la ecuación fue la fracción\(\dfrac{22}{5}\). Lo dejamos como una fracción impropia.
Resolver:\(12u = −76\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{19}{3}\)
Resolver:\(8m = 92\).
- Contestar
-
\(\dfrac{23}{2}\)
Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de multiplicación de igualdad
Considera la ecuación\(\dfrac{x}{4} = 3\). Queremos saber qué número dividido por\(4\) da\(3\). Entonces, para “deshacer” la división, tendremos que multiplicar por\(4\). La Multiplicación Propiedad de Igualdad nos permitirá hacer esto. Esta propiedad dice que si empezamos con dos cantidades iguales y multiplicamos ambas por el mismo número, los resultados son iguales.
Para cualquier número\(a\),\(b\), y\(c\), si\(a = b\), entonces\(ac = bc\). Si multiplicas ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, aún tienes igualdad.
Usemos la Propiedad de Multiplicación de Igualdad para resolver la ecuación\(\dfrac{x}{7} = −9\).
Resolver:\(\dfrac{x}{7} = −9\).
Solución
| Usa la Propiedad de Multiplicación de Igualdad para multiplicar ambos lados por 7. Esto aislará la variable. | \(\textcolor{red}{7} \cdot \dfrac{x}{7} = \textcolor{red}{7} (-9)\) |
| Multiplicar. | \(\dfrac{7x}{7} = -63\) |
| Simplificar. | \(x = -63\) |
| Cheque. Sustituye\(\textcolor{red}{-63}\) x en la ecuación original. | \(\dfrac{\textcolor{red}{-63}}{7} \stackrel{?}{=} -9\) |
| La ecuación es verdadera. | \(-9 = -9 ; \checkmark\) |
Resolver:\(\dfrac{f}{5} = −25\).
- Contestar
-
\(-125\)
Resolver:\(\dfrac{h}{9} = −27\).
- Contestar
-
\(-243\)
Resolver:\(\dfrac{p}{−8} = −40\).
Solución
Aquí,\(p\) se divide por\(−8\). Debemos multiplicar por\(−8\) para aislarnos\(p\).
| Multiplica ambos lados por −8. | \(\textcolor{red}{-8} \left(\dfrac{p}{-8}\right) = \textcolor{red}{-8} (-40)\) |
| Multiplicar. | \(\dfrac{-8p}{-8} = 320\) |
| Simplificar. | \(p = 320\) |
Comprobar:
| Sustituto p = 320. | \(\dfrac{\textcolor{red}{320}}{-8} \stackrel{?}{=} -40\) |
| La ecuación es verdadera. | \(-40 = -40 \; \checkmark\) |
Resolver:\(\dfrac{c}{−7} = −35\).
- Contestar
-
\(245\)
Resolver:\(\dfrac{x}{−11} = −12\).
- Contestar
-
\(132\)
Resolver ecuaciones con un coeficiente de\(−1\)
Mira la ecuación\(−y = 15\). ¿Se ve como si y ya estuviera aislado? Pero hay un signo negativo frente a\(y\), por lo que no está aislado.
Hay tres formas diferentes de aislar la variable en este tipo de ecuaciones. Mostraremos las tres formas en Ejemplo\(\PageIndex{7}\).
Resolver:\(−y = 15\).
Solución
Una forma de resolver la ecuación es reescribir\(−y\) como\(−1y\), y luego usar la Propiedad de División de Igualdad para aislar\(y\).
| Reescribe −y como −1y. | \(-1y = 15\) |
| Divide ambos lados por −1. | \(\dfrac{-1y}{\textcolor{red}{-1}} = \dfrac{15}{\textcolor{red}{-1}}\) |
| Simplifica cada lado. | \(y = -15\) |
Otra forma de resolver esta ecuación es multiplicar ambos lados de la ecuación por −1.
| Multiplica ambos lados por −1. | \(\textcolor{red}{-1} (-y) = \textcolor{red}{-1} (15)\) |
| Simplifica cada lado. | \(y = -15\) |
La tercera forma de resolver la ecuación es leer\(−y\) como “lo contrario de”\(y\). ¿Qué número tiene\(15\) como su opuesto? Lo contrario de\(15\) es\(−15\). Entonces\(y = −15\).
Para los tres métodos, aislamos\(y\) se aísla y se resuelve la ecuación.
Comprobar:
| Sustituir y = −15. | \(-(\textcolor{red}{15}) \stackrel{?}{=} (15)\) |
| Simplificar. La ecuación es verdadera. | \(15 = 15 \; \checkmark\) |
Resolver:\(−y = 48\).
- Contestar
-
\(-48\)
Resolver:\(−c = −23\).
- Contestar
-
\(23\)