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4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2)

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    Resolver ecuaciones con un coeficiente de fracción

    Cuando tenemos una ecuación con un coeficiente de fracción podemos usar la Propiedad de Multiplicación de Igualdad para hacer que el coeficiente sea igual a\(1\). Por ejemplo, en la ecuación:

    \[\dfrac{3}{4}x = 24 \nonumber \]

    El coeficiente de\(x\) es\(\dfrac{3}{4}\). Para resolver\(x\), necesitamos que su coeficiente sea\(1\). Dado que el producto de un número y su recíproco es\(1\), nuestra estrategia aquí será aislar\(x\) multiplicando por el recíproco de\(\dfrac{3}{4}\). Esto lo haremos en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): solve

    Resolver:\(\dfrac{3}{4}x = 24\).

    Solución

    Multiplique ambos lados por el recíproco del coeficiente. \(\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \cdot \dfrac{3}{4} x = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \cdot 24 \)
    Simplificar. \(1x = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{24}{1} \)
    Multiplicar. \(x = 32 \)

    Comprobar:

    Sustituto x = 32. \(\dfrac{3}{4} \cdot 32 \stackrel{?}{=} 24 \)
    Reescribir 32 como una fracción. \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{32}{1} \stackrel{?}{=} 24 \)
    Multiplicar. La ecuación es verdadera. \(24 = 24 \; \checkmark\)

    Observe que en la ecuación\(\dfrac{3}{4} x = 24\), podríamos haber dividido ambos lados por\(\dfrac{3}{4}\) para obtener\(x\) por sí mismo. Dividir es lo mismo que multiplicar por lo recíproco, por lo que obtendríamos el mismo resultado. Pero la mayoría de la gente coincide en que multiplicar por lo recíproco es más fácil.

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Resolver:\(\dfrac{2}{5}n = 14\).

    Contestar

    \(35\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Resolver:\(\dfrac{5}{6}y = 15\).

    Contestar

    \(18\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): solve

    Resolver:\(− \dfrac{3}{8}w = 72\).

    Solución

    El coeficiente es una fracción negativa. Recuerde que un número y su recíproco tienen el mismo signo, por lo que el recíproco del coeficiente también debe ser negativo.

    Multiplicar ambos lados por el recíproco de\(− \dfrac{3}{8}\). \(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{3}} \left(- \dfrac{3}{8} w \right) = \left(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{3}}\right) 72 \)
    Simplificar; los recíprocos se multiplican a uno. \(1w = - \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{72}{1} \)
    Multiplicar. \(w = -192\)

    Comprobar:

    Dejar w = −192. \(- \dfrac{3}{8} (-192) \stackrel{?}{=} 72 \)
    Multiplicar. Comproba. \(72 = 72 \; \checkmark \)
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Resolver:\(− \dfrac{4}{7}a = 52\).

    Contestar

    \(-91\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Resolver:\(− \dfrac{7}{9}w = 84\).

    Contestar

    \(-108\)

    Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

    Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de igualdad: resta, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos juntos aquí para una fácil referencia.

    Mesa\(\PageIndex{2}\)
    Propiedad de resta de igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a − c = b − c. Adición Propiedad de Igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a + c = b + c.
    División Propiedad de Igualdad: Para cualquier número a, b y c, donde c ≠ 0 si a = b, entonces\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\). Propiedad de multiplicación de igualdad: Para cualquier número real a, b y c si a = b, entonces ac = bc.

    Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad. En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Podría ser útil revisar la tabla de traducción en Evaluar, simplificar y traducir expresiones.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\): solve

    Traducir y resolver:\(n\) dividido por\(6\) es\(−24\).

    Solución

    Traducir.
    Multiplica ambos lados por 6. \(\textcolor{red}{6} \cdot \dfrac{n}{6} = \textcolor{red}{6} (-24)\)
    Simplificar. \(n = -144 \)
    Comprobar: ¿−144 dividido por 6 es igual a −24?
    Traducir. \(\dfrac{-144}{6} \stackrel{?}{=} -24\)
    Simplificar. Comproba. \(-24 = -24 \; \checkmark \)
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Traducir y resolver:\(n\) dividido por\(7\) es igual a\(−21\).

    Contestar

    \(\dfrac{n}{7} = -21\);\(n=-147\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Traducir y resolver:\(n\) dividido por\(8\) es igual a\(−56\).

    Contestar

    \(\dfrac{n}{8} = -56\);\(n=-448\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\): solve

    Traducir y resolver: El cociente de\(q\) y\(−5\) es\(70\).

    Solución

    Traducir.
    Multiplica ambos lados por −5. \(\textcolor{red}{-5} \left(\dfrac{q}{-5}\right) = \textcolor{red}{-5} (70) \)
    Simplificar. \(q = -350\)
    Comprobar: ¿El cociente de −350 y −5 es igual a 70?
    Traducir. \(\dfrac{-350}{-5} \stackrel{?}{=} 70 \)
    Simplificar. Comproba. \(70 = 70 \; \checkmark \)
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Traducir y resolver: El cociente de\(q\) y\(−8\) es\(72\).

    Contestar

    \(\dfrac{q}{-8} = 72\);\(q=-576\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Traducir y resolver: El cociente de\(p\) y\(−9\) es\(81\).

    Contestar

    \(\dfrac{p}{-9} = 81\);\(p=-729\)

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\): solve

    Traducir y resolver: Dos tercios de\(f\) es\(18\).

    Solución

    Traducir.
    Multiplica ambos lados por\(\dfrac{3}{2}\). \(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{2}{3} f = \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \cdot 18 \)
    Simplificar. \(f = 27 \)
    Comprobar: ¿Dos tercios de 27 son iguales a 18?
    Traducir. \(\dfrac{2}{3} (27) \stackrel{?}{=} 18\)
    Simplificar. Comproba. \(18 = 18 \; \checkmark \)
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Traducir y resolver: Dos quintas partes de\(f\) es\(16\).

    Contestar

    \(\dfrac{2}{5}f = 16\);\(f=40\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Traducir y resolver: Tres cuartas partes de\(f\) es\(21\).

    Contestar

    \(\dfrac{3}{4}f = 21\);\(f=28\)

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\): solve

    Traducir y resolver: El cociente de\(m\) y\(\dfrac{5}{6}\) es\(\dfrac{3}{4}\).

    Solución

    Traducir. \(\dfrac{m}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{3}{4} \)
    Multiplique ambos lados por\(frac{5}{6}\) para aislar m. \(\dfrac{5}{6} \left(\dfrac{m}{\dfrac{5}{6}}\right) = \dfrac{5}{6} \left(\dfrac{3}{4}\right) \)
    Simplificar. \(m = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 4}\)
    Eliminar factores comunes y multiplicar. \(m = \dfrac{5}{8} \)

    Comprobar:

    ¿Es el cociente de\(\dfrac{5}{8}\) e\(\dfrac{5}{6}\) igual a\(\dfrac{3}{4}\)? \(\dfrac{\dfrac{5}{8}}{\dfrac{5}{6}} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \)
    Reescribir como división. \(\dfrac{5}{8} \div \dfrac{5}{6} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{6}{5} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \)
    Simplificar. \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \; \checkmark \)

    Nuestra solución comprueba.

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Traducir y resolver. El cociente de\(n\) y\(\dfrac{2}{3}\) es\(\dfrac{5}{12}\).

    Contestar

    \(\dfrac{n}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{5}{12}\);\(n = \dfrac{5}{18}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Traducir y resolver. El cociente de\(c\) y\(\dfrac{3}{8}\) es\(\dfrac{4}{9}\).

    Contestar

    \(\dfrac{c}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{4}{9}\);\(c = \dfrac{1}{6}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\): solve

    Traducir y resolver: La suma de tres octavos y\(x\) es tres y medio.

    Solución

    Traducir.
    Usa la Propiedad de Sustracción de Igualdad para restar\(\dfrac{3}{8}\) de ambos lados. \(\dfrac{3}{8} + x - \dfrac{3}{8} = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \)
    Combina términos similares en el lado izquierdo. \(x = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \)
    Convertir número mixto a fracción impropia. \(x = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \)
    Convierte a fracciones equivalentes con LCD de 8. \(x = \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{8} \)
    Restar. \(x = \dfrac{25}{8} \)
    Escribir como un número mixto. \(x = 3 \dfrac{1}{8} \)

    Escribimos la respuesta como un número mixto porque el problema original usaba un número mixto. Cheque: ¿Es la suma de tres octavos e\(3 \dfrac{1}{8}\) igual a tres y medio?

    Agregar. \(3 \dfrac{4}{8} \stackrel{?}{=} 3 \dfrac{1}{2} \)
    Simplificar. \(3 \dfrac{1}{2} = 3 \dfrac{1}{2} \)

    La solución comprueba.

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Traducir y resolver: La suma de cinco octavos y\(x\) es un cuarto.

    Contestar

    \(\dfrac{5}{8}+x = \dfrac{1}{4}\);\(x = -\dfrac{3}{8}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Traducir y resolver: La diferencia de uno y tres cuartos y\(x\) es de cinco sextos.

    Contestar

    \(1\dfrac{3}{4} - x = \dfrac{5}{6}\);\(x = \dfrac{11}{12}\)

    La práctica hace la perfección

    Determinar si una fracción es una solución de una ecuación

    En los siguientes ejercicios, determinar si cada número es una solución de la ecuación dada.

    1. x −\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{1}{10}\):
      1. x = 1
      2. x =\(\dfrac{1}{2}\)
      3. x =\(− \dfrac{1}{2}\)
    2. y −\(\dfrac{1}{2}\) =\(\dfrac{5}{12}\):
      1. y = 1
      2. y =\(\dfrac{3}{4}\)
      3. y =\(- \dfrac{3}{4}\)
    3. h +\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{2}{5}\):
      1. h = 1
      2. h =\(\dfrac{7}{20}\)
      3. h =\(- \dfrac{7}{20}\)
    4. k +\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{5}{6}\):
      1. k = 1
      2. k =\(\dfrac{13}{30}\)
      3. k =\(- \dfrac{13}{30}\)

    Resolver ecuaciones con fracciones usando las propiedades de suma, resta y división de igualdad

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    1. y +\(\dfrac{1}{3}\) =\(\dfrac{4}{3}\)
    2. m +\(\dfrac{3}{8}\) =\(\dfrac{7}{8}\)
    3. f +\(\dfrac{9}{10}\) =\(\dfrac{2}{5}\)
    4. h +\(\dfrac{5}{6}\) =\(\dfrac{1}{6}\)
    5. a −\(\dfrac{5}{8}\) =\(- \dfrac{7}{8}\)
    6. c −\(\dfrac{1}{4}\) =\(- \dfrac{5}{4}\)
    7. x −\(\left(- \dfrac{3}{20} \right)\) =\(- \dfrac{11}{20}\)
    8. z −\(\left(- \dfrac{5}{12} \right)\) =\(- \dfrac{7}{12}\)
    9. n −\(\dfrac{1}{6}\) =\(\dfrac{3}{4}\)
    10. p −\(\dfrac{3}{10}\) =\(\dfrac{5}{8}\)
    11. s +\(\left(- \dfrac{1}{2} \right)\) =\(- \dfrac{8}{9}\)
    12. k +\(\left(- \dfrac{1}{3} \right)\) =\(- \dfrac{4}{5}\)
    13. 5j = 17
    14. 7k = 18
    15. −4w = 26
    16. −9v = 33

    Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de multiplicación de igualdad

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    1. \(\dfrac{f}{4}\)= −20
    2. \(\dfrac{b}{3}\)= −9
    3. \(\dfrac{y}{7}\)= −21
    4. \(\dfrac{x}{8}\)= −32
    5. \(\dfrac{p}{-5}\)= −40
    6. \(\dfrac{q}{-4}\)= −40
    7. \(\dfrac{r}{-12}\)= −6
    8. \(\dfrac{s}{-15}\)= −3
    9. −x = 23
    10. −y = 42
    11. −h =\(− \dfrac{5}{12}\)
    12. −k =\(− \dfrac{17}{20}\)
    13. \(\dfrac{4}{5}\)n = 20
    14. \(\dfrac{3}{10}\)p = 30
    15. \(\dfrac{3}{8}\)q = −48
    16. \(\dfrac{5}{2}\)m = −40
    17. \(- \dfrac{2}{9}\)a = 16
    18. \(- \dfrac{3}{7}\)b = 9
    19. \(- \dfrac{6}{11}\)u = −24
    20. \(- \dfrac{5}{12}\)v = −15

    Práctica Mixta

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    1. 3x = 0
    2. 8 años = 0
    3. 4f =\(\dfrac{4}{5}\)
    4. 7g =\(\dfrac{7}{9}\)
    5. p +\(\dfrac{2}{3}\) =\(\dfrac{1}{12}\)
    6. q +\(\dfrac{5}{6}\) =\(\dfrac{1}{12}\)
    7. \(\dfrac{7}{8}\)m =\(\dfrac{1}{10}\)
    8. \(\dfrac{1}{4}\)n =\(\dfrac{7}{10}\)
    9. \(- \dfrac{2}{5}\)= x +\(\dfrac{3}{4}\)
    10. \(- \dfrac{2}{3}\)= y +\(\dfrac{3}{8}\)
    11. \(\dfrac{11}{20}\)= −f
    12. \(\dfrac{8}{15}\)= −d

    Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

    En los siguientes ejercicios, traducir a una ecuación algebraica y resolver.

    1. n dividido por ocho es −16.
    2. n dividido por seis es −24.
    3. m dividido por −9 es −7.
    4. m dividido por −7 es −8.
    5. El cociente de f y −3 es −18.
    6. El cociente de f y −4 es −20.
    7. El cociente de g y doce es 8.
    8. El cociente de g y nueve es 14.
    9. Tres cuartas partes de q es 12.
    10. Dos quintas partes de q es 20.
    11. Siete décimas de p es −63.
    12. Cuatro novenos de p es −28.
    13. m dividido por 4 es igual a negativo 6.
    14. El cociente de h y 2 es 43.
    15. Tres cuartas partes de z es lo mismo que 15.
    16. El cociente de a y\(\dfrac{2}{3}\) es\(\dfrac{3}{4}\).
    17. La suma de cinco sextos y x es\(\dfrac{1}{2}\).
    18. La suma de tres cuartas partes y x es\(\dfrac{1}{8}\).
    19. La diferencia de y y un cuarto es\(- \dfrac{1}{8}\).
    20. La diferencia de y y un tercio es\(- \dfrac{1}{6}\).

    Matemáticas cotidianas

    1. Shopping Teresa compró un par de zapatos a la venta por 48 dólares. El precio de venta era\(\dfrac{2}{3}\) del precio regular. Encuentra el precio regular de los zapatos resolviendo la ecuación\(\dfrac{2}{3}\) p = 48
    2. Playhouse La mesa en la casa de juegos para niños es\(\dfrac{3}{5}\) de una mesa de tamaño adulto. La mesa de juegos tiene 18 pulgadas de alto. Encuentra la altura de una tabla de tamaño adulto resolviendo la ecuación\(\dfrac{3}{5}\) h = 18.

    Ejercicios de escritura

    1. El Ejemplo 4.100 describe tres métodos para resolver la ecuación −y = 15. ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?
    2. Richard piensa que la solución a la ecuación\(\dfrac{3}{4}\) x = 24 es 16. Explique por qué Richard se equivoca.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

    Colaboradores y Atribuciones

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