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4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2)

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Resolver ecuaciones con un coeficiente de fracción

Cuando tenemos una ecuación con un coeficiente de fracción podemos usar la Propiedad de Multiplicación de Igualdad para hacer que el coeficiente sea igual a1. Por ejemplo, en la ecuación:

34x=24

El coeficiente dex es34. Para resolverx, necesitamos que su coeficiente sea1. Dado que el producto de un número y su recíproco es1, nuestra estrategia aquí será aislarx multiplicando por el recíproco de34. Esto lo haremos en Ejemplo4.13.1.

Ejemplo4.13.8: solve

Resolver:34x=24.

Solución

Multiplique ambos lados por el recíproco del coeficiente. 4334x=4324
Simplificar. 1x=43241
Multiplicar. x=32

Comprobar:

Sustituto x = 32. 3432?=24
Reescribir 32 como una fracción. 34321?=24
Multiplicar. La ecuación es verdadera. 24=24

Observe que en la ecuación34x=24, podríamos haber dividido ambos lados por34 para obtenerx por sí mismo. Dividir es lo mismo que multiplicar por lo recíproco, por lo que obtendríamos el mismo resultado. Pero la mayoría de la gente coincide en que multiplicar por lo recíproco es más fácil.

Ejercicio4.13.15

Resolver:25n=14.

Contestar

35

Ejercicio4.13.16

Resolver:56y=15.

Contestar

18

Ejemplo4.13.9: solve

Resolver:38w=72.

Solución

El coeficiente es una fracción negativa. Recuerde que un número y su recíproco tienen el mismo signo, por lo que el recíproco del coeficiente también debe ser negativo.

Multiplicar ambos lados por el recíproco de38. 83(38w)=(83)72
Simplificar; los recíprocos se multiplican a uno. 1w=83721
Multiplicar. w=192

Comprobar:

Dejar w = −192. 38(192)?=72
Multiplicar. Comproba. 72=72
Ejercicio4.13.17

Resolver:47a=52.

Contestar

91

Ejercicio4.13.18

Resolver:79w=84.

Contestar

108

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de igualdad: resta, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos juntos aquí para una fácil referencia.

Mesa4.13.2
Propiedad de resta de igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a − c = b − c. Adición Propiedad de Igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a + c = b + c.
División Propiedad de Igualdad: Para cualquier número a, b y c, donde c ≠ 0 si a = b, entoncesac=bc. Propiedad de multiplicación de igualdad: Para cualquier número real a, b y c si a = b, entonces ac = bc.

Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad. En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Podría ser útil revisar la tabla de traducción en Evaluar, simplificar y traducir expresiones.

Ejemplo4.13.10: solve

Traducir y resolver:n dividido por6 es24.

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por 6. 6n6=6(24)
Simplificar. n=144
Comprobar: ¿−144 dividido por 6 es igual a −24?
Traducir. 1446?=24
Simplificar. Comproba. 24=24
Ejercicio4.13.19

Traducir y resolver:n dividido por7 es igual a21.

Contestar

n7=21;n=147

Ejercicio4.13.20

Traducir y resolver:n dividido por8 es igual a56.

Contestar

n8=56;n=448

Ejemplo4.13.11: solve

Traducir y resolver: El cociente deq y5 es70.

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por −5. 5(q5)=5(70)
Simplificar. q=350
Comprobar: ¿El cociente de −350 y −5 es igual a 70?
Traducir. 3505?=70
Simplificar. Comproba. 70=70
Ejercicio4.13.21

Traducir y resolver: El cociente deq y8 es72.

Contestar

q8=72;q=576

Ejercicio4.13.22

Traducir y resolver: El cociente dep y9 es81.

Contestar

p9=81;p=729

Ejemplo4.13.12: solve

Traducir y resolver: Dos tercios def es18.

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por32. 3223f=3218
Simplificar. f=27
Comprobar: ¿Dos tercios de 27 son iguales a 18?
Traducir. 23(27)?=18
Simplificar. Comproba. 18=18
Ejercicio4.13.23

Traducir y resolver: Dos quintas partes def es16.

Contestar

25f=16;f=40

Ejercicio4.13.24

Traducir y resolver: Tres cuartas partes def es21.

Contestar

34f=21;f=28

Ejemplo4.13.13: solve

Traducir y resolver: El cociente dem y56 es34.

Solución

Traducir. m56=34
Multiplique ambos lados porfrac56 para aislar m. 56(m56)=56(34)
Simplificar. m=5364
Eliminar factores comunes y multiplicar. m=58

Comprobar:

¿Es el cociente de58 e56 igual a34? 5856?=34
Reescribir como división. 58÷56?=34
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 5865?=34
Simplificar. 34=34

Nuestra solución comprueba.

Ejercicio4.13.25

Traducir y resolver. El cociente den y23 es512.

Contestar

n23=512;n=518

Ejercicio4.13.26

Traducir y resolver. El cociente dec y38 es49.

Contestar

c38=49;c=16

Ejemplo4.13.14: solve

Traducir y resolver: La suma de tres octavos yx es tres y medio.

Solución

Traducir.
Usa la Propiedad de Sustracción de Igualdad para restar38 de ambos lados. 38+x38=31238
Combina términos similares en el lado izquierdo. x=31238
Convertir número mixto a fracción impropia. x=31238
Convierte a fracciones equivalentes con LCD de 8. x=7238
Restar. x=258
Escribir como un número mixto. x=318

Escribimos la respuesta como un número mixto porque el problema original usaba un número mixto. Cheque: ¿Es la suma de tres octavos e318 igual a tres y medio?

Agregar. 348?=312
Simplificar. 312=312

La solución comprueba.

Ejercicio4.13.27

Traducir y resolver: La suma de cinco octavos yx es un cuarto.

Contestar

58+x=14;x=38

Ejercicio4.13.28

Traducir y resolver: La diferencia de uno y tres cuartos yx es de cinco sextos.

Contestar

134x=56;x=1112

La práctica hace la perfección

Determinar si una fracción es una solución de una ecuación

En los siguientes ejercicios, determinar si cada número es una solución de la ecuación dada.

  1. x −25 =110:
    1. x = 1
    2. x =12
    3. x =12
  2. y −12 =512:
    1. y = 1
    2. y =34
    3. y =34
  3. h +34 =25:
    1. h = 1
    2. h =720
    3. h =720
  4. k +25 =56:
    1. k = 1
    2. k =1330
    3. k =1330

Resolver ecuaciones con fracciones usando las propiedades de suma, resta y división de igualdad

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. y +13 =43
  2. m +38 =78
  3. f +910 =25
  4. h +56 =16
  5. a −58 =78
  6. c −14 =54
  7. x −(320) =1120
  8. z −(512) =712
  9. n −16 =34
  10. p −310 =58
  11. s +(12) =89
  12. k +(13) =45
  13. 5j = 17
  14. 7k = 18
  15. −4w = 26
  16. −9v = 33

Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de multiplicación de igualdad

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. f4= −20
  2. b3= −9
  3. y7= −21
  4. x8= −32
  5. p5= −40
  6. q4= −40
  7. r12= −6
  8. s15= −3
  9. −x = 23
  10. −y = 42
  11. −h =512
  12. −k =1720
  13. 45n = 20
  14. 310p = 30
  15. 38q = −48
  16. 52m = −40
  17. 29a = 16
  18. 37b = 9
  19. 611u = −24
  20. 512v = −15

Práctica Mixta

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. 3x = 0
  2. 8 años = 0
  3. 4f =45
  4. 7g =79
  5. p +23 =112
  6. q +56 =112
  7. 78m =110
  8. 14n =710
  9. 25= x +34
  10. 23= y +38
  11. 1120= −f
  12. 815= −d

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

En los siguientes ejercicios, traducir a una ecuación algebraica y resolver.

  1. n dividido por ocho es −16.
  2. n dividido por seis es −24.
  3. m dividido por −9 es −7.
  4. m dividido por −7 es −8.
  5. El cociente de f y −3 es −18.
  6. El cociente de f y −4 es −20.
  7. El cociente de g y doce es 8.
  8. El cociente de g y nueve es 14.
  9. Tres cuartas partes de q es 12.
  10. Dos quintas partes de q es 20.
  11. Siete décimas de p es −63.
  12. Cuatro novenos de p es −28.
  13. m dividido por 4 es igual a negativo 6.
  14. El cociente de h y 2 es 43.
  15. Tres cuartas partes de z es lo mismo que 15.
  16. El cociente de a y23 es34.
  17. La suma de cinco sextos y x es12.
  18. La suma de tres cuartas partes y x es18.
  19. La diferencia de y y un cuarto es18.
  20. La diferencia de y y un tercio es16.

Matemáticas cotidianas

  1. Shopping Teresa compró un par de zapatos a la venta por 48 dólares. El precio de venta era23 del precio regular. Encuentra el precio regular de los zapatos resolviendo la ecuación23 p = 48
  2. Playhouse La mesa en la casa de juegos para niños es35 de una mesa de tamaño adulto. La mesa de juegos tiene 18 pulgadas de alto. Encuentra la altura de una tabla de tamaño adulto resolviendo la ecuación35 h = 18.

Ejercicios de escritura

  1. El Ejemplo 4.100 describe tres métodos para resolver la ecuación −y = 15. ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?
  2. Richard piensa que la solución a la ecuación34 x = 24 es 16. Explique por qué Richard se equivoca.

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

Colaboradores y Atribuciones


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