4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2)
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Resolver ecuaciones con un coeficiente de fracción
Cuando tenemos una ecuación con un coeficiente de fracción podemos usar la Propiedad de Multiplicación de Igualdad para hacer que el coeficiente sea igual a1. Por ejemplo, en la ecuación:
34x=24
El coeficiente dex es34. Para resolverx, necesitamos que su coeficiente sea1. Dado que el producto de un número y su recíproco es1, nuestra estrategia aquí será aislarx multiplicando por el recíproco de34. Esto lo haremos en Ejemplo4.13.1.
Resolver:34x=24.
Solución
Multiplique ambos lados por el recíproco del coeficiente. | 43⋅34x=43⋅24 |
Simplificar. | 1x=43⋅241 |
Multiplicar. | x=32 |
Comprobar:
Sustituto x = 32. | 34⋅32?=24 |
Reescribir 32 como una fracción. | 34⋅321?=24 |
Multiplicar. La ecuación es verdadera. | 24=24✓ |
Observe que en la ecuación34x=24, podríamos haber dividido ambos lados por34 para obtenerx por sí mismo. Dividir es lo mismo que multiplicar por lo recíproco, por lo que obtendríamos el mismo resultado. Pero la mayoría de la gente coincide en que multiplicar por lo recíproco es más fácil.
Resolver:25n=14.
- Contestar
-
35
Resolver:56y=15.
- Contestar
-
18
Resolver:−38w=72.
Solución
El coeficiente es una fracción negativa. Recuerde que un número y su recíproco tienen el mismo signo, por lo que el recíproco del coeficiente también debe ser negativo.
Multiplicar ambos lados por el recíproco de−38. | −83(−38w)=(−83)72 |
Simplificar; los recíprocos se multiplican a uno. | 1w=−83⋅721 |
Multiplicar. | w=−192 |
Comprobar:
Dejar w = −192. | −38(−192)?=72 |
Multiplicar. Comproba. | 72=72✓ |
Resolver:−47a=52.
- Contestar
-
−91
Resolver:−79w=84.
- Contestar
-
−108
Traducir oraciones a ecuaciones y resolver
Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de igualdad: resta, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos juntos aquí para una fácil referencia.
Propiedad de resta de igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a − c = b − c. | Adición Propiedad de Igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a + c = b + c. |
División Propiedad de Igualdad: Para cualquier número a, b y c, donde c ≠ 0 si a = b, entoncesac=bc. | Propiedad de multiplicación de igualdad: Para cualquier número real a, b y c si a = b, entonces ac = bc. |
Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad. En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Podría ser útil revisar la tabla de traducción en Evaluar, simplificar y traducir expresiones.
Traducir y resolver:n dividido por6 es−24.
Solución
Traducir. | ![]() |
Multiplica ambos lados por 6. | 6⋅n6=6(−24) |
Simplificar. | n=−144 |
Comprobar: | ¿−144 dividido por 6 es igual a −24? |
Traducir. | −1446?=−24 |
Simplificar. Comproba. | −24=−24✓ |
Traducir y resolver:n dividido por7 es igual a−21.
- Contestar
-
n7=−21;n=−147
Traducir y resolver:n dividido por8 es igual a−56.
- Contestar
-
n8=−56;n=−448
Traducir y resolver: El cociente deq y−5 es70.
Solución
Traducir. | ![]() |
Multiplica ambos lados por −5. | −5(q−5)=−5(70) |
Simplificar. | q=−350 |
Comprobar: | ¿El cociente de −350 y −5 es igual a 70? |
Traducir. | −350−5?=70 |
Simplificar. Comproba. | 70=70✓ |
Traducir y resolver: El cociente deq y−8 es72.
- Contestar
-
q−8=72;q=−576
Traducir y resolver: El cociente dep y−9 es81.
- Contestar
-
p−9=81;p=−729
Traducir y resolver: Dos tercios def es18.
Solución
Traducir. | ![]() |
Multiplica ambos lados por32. | 32⋅23f=32⋅18 |
Simplificar. | f=27 |
Comprobar: | ¿Dos tercios de 27 son iguales a 18? |
Traducir. | 23(27)?=18 |
Simplificar. Comproba. | 18=18✓ |
Traducir y resolver: Dos quintas partes def es16.
- Contestar
-
25f=16;f=40
Traducir y resolver: Tres cuartas partes def es21.
- Contestar
-
34f=21;f=28
Traducir y resolver: El cociente dem y56 es34.
Solución
Traducir. | m56=34 |
Multiplique ambos lados porfrac56 para aislar m. | 56(m56)=56(34) |
Simplificar. | m=5⋅36⋅4 |
Eliminar factores comunes y multiplicar. | m=58 |
Comprobar:
¿Es el cociente de58 e56 igual a34? | 5856?=34 |
Reescribir como división. | 58÷56?=34 |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | 58⋅65?=34 |
Simplificar. | 34=34✓ |
Nuestra solución comprueba.
Traducir y resolver. El cociente den y23 es512.
- Contestar
-
n23=512;n=518
Traducir y resolver. El cociente dec y38 es49.
- Contestar
-
c38=49;c=16
Traducir y resolver: La suma de tres octavos yx es tres y medio.
Solución
Traducir. | ![]() |
Usa la Propiedad de Sustracción de Igualdad para restar38 de ambos lados. | 38+x−38=312−38 |
Combina términos similares en el lado izquierdo. | x=312−38 |
Convertir número mixto a fracción impropia. | x=312−38 |
Convierte a fracciones equivalentes con LCD de 8. | x=72−38 |
Restar. | x=258 |
Escribir como un número mixto. | x=318 |
Escribimos la respuesta como un número mixto porque el problema original usaba un número mixto. Cheque: ¿Es la suma de tres octavos e318 igual a tres y medio?
Agregar. | 348?=312 |
Simplificar. | 312=312 |
La solución comprueba.
Traducir y resolver: La suma de cinco octavos yx es un cuarto.
- Contestar
-
58+x=14;x=−38
Traducir y resolver: La diferencia de uno y tres cuartos yx es de cinco sextos.
- Contestar
-
134−x=56;x=1112
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La práctica hace la perfección
Determinar si una fracción es una solución de una ecuación
En los siguientes ejercicios, determinar si cada número es una solución de la ecuación dada.
- x −25 =110:
- x = 1
- x =12
- x =−12
- y −12 =512:
- y = 1
- y =34
- y =−34
- h +34 =25:
- h = 1
- h =720
- h =−720
- k +25 =56:
- k = 1
- k =1330
- k =−1330
Resolver ecuaciones con fracciones usando las propiedades de suma, resta y división de igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- y +13 =43
- m +38 =78
- f +910 =25
- h +56 =16
- a −58 =−78
- c −14 =−54
- x −(−320) =−1120
- z −(−512) =−712
- n −16 =34
- p −310 =58
- s +(−12) =−89
- k +(−13) =−45
- 5j = 17
- 7k = 18
- −4w = 26
- −9v = 33
Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de multiplicación de igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- f4= −20
- b3= −9
- y7= −21
- x8= −32
- p−5= −40
- q−4= −40
- r−12= −6
- s−15= −3
- −x = 23
- −y = 42
- −h =−512
- −k =−1720
- 45n = 20
- 310p = 30
- 38q = −48
- 52m = −40
- −29a = 16
- −37b = 9
- −611u = −24
- −512v = −15
Práctica Mixta
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- 3x = 0
- 8 años = 0
- 4f =45
- 7g =79
- p +23 =112
- q +56 =112
- 78m =110
- 14n =710
- −25= x +34
- −23= y +38
- 1120= −f
- 815= −d
Traducir oraciones a ecuaciones y resolver
En los siguientes ejercicios, traducir a una ecuación algebraica y resolver.
- n dividido por ocho es −16.
- n dividido por seis es −24.
- m dividido por −9 es −7.
- m dividido por −7 es −8.
- El cociente de f y −3 es −18.
- El cociente de f y −4 es −20.
- El cociente de g y doce es 8.
- El cociente de g y nueve es 14.
- Tres cuartas partes de q es 12.
- Dos quintas partes de q es 20.
- Siete décimas de p es −63.
- Cuatro novenos de p es −28.
- m dividido por 4 es igual a negativo 6.
- El cociente de h y 2 es 43.
- Tres cuartas partes de z es lo mismo que 15.
- El cociente de a y23 es34.
- La suma de cinco sextos y x es12.
- La suma de tres cuartas partes y x es18.
- La diferencia de y y un cuarto es−18.
- La diferencia de y y un tercio es−16.
Matemáticas cotidianas
- Shopping Teresa compró un par de zapatos a la venta por 48 dólares. El precio de venta era23 del precio regular. Encuentra el precio regular de los zapatos resolviendo la ecuación23 p = 48
- Playhouse La mesa en la casa de juegos para niños es35 de una mesa de tamaño adulto. La mesa de juegos tiene 18 pulgadas de alto. Encuentra la altura de una tabla de tamaño adulto resolviendo la ecuación35 h = 18.
Ejercicios de escritura
- El Ejemplo 4.100 describe tres métodos para resolver la ecuación −y = 15. ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?
- Richard piensa que la solución a la ecuación34 x = 24 es 16. Explique por qué Richard se equivoca.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?