5.5.1: Resolver ecuaciones con números racionales

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Lección

Resolvamos ecuaciones que incluyan valores negativos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Opposites and Reciprocals

Las variables\(a\) a través de\(h\) todas representan diferentes números. Encuentra mentalmente números que hagan que cada ecuación sea verdadera.

\(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=a\)

\(7\cdot b=1\)

\(c\cdot d=1\)

\(-6+6=e\)

\(11+f=0\)

\(g+h=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Match Solutions

Haga coincidir cada ecuación con un valor que la haga verdadera arrastrando la respuesta a la ecuación correspondiente. Esté preparado para explicar su razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Trip to the Mountains

El Club de Senderismo está en un viaje para subir una montaña.

Los integrantes incrementaron su elevación 290 pies durante su caminata de esta mañana. Ahora se encuentran a una elevación de 450 pies.
1. Explicar cómo encontrar su elevación antes de la caminata.
2. Han dice que la ecuación\(e+290=450\) describe la situación. ¿Qué\(e\) representa la variable?
3. Han dice que puede reescribir su ecuación como\(e=450+-290\) para resolver para\(e\). Compara la estrategia de Han con tu estrategia para encontrar la elevación inicial.
La temperatura bajó 4 grados en la última hora. Ahora son 21 grados. Escribe y resuelve una ecuación para encontrar la temperatura que era hace 1 hora.
Hay 3 veces más estudiantes participando en el viaje de senderismo este año que el año pasado. Hay 42 estudiantes en el viaje de este año.
1. Explique cómo encontrar el número de estudiantes que acudieron en el viaje de senderismo el año pasado.
2. Mai dice que la ecuación\(3s=42\) describe la situación. ¿Qué\(s\) representa la variable?
3. Mai dice que puede reescribir su ecuación como\(s=\frac{1}{3}\cdot 42\) para resolver\(s\). Compara la estrategia de Mai con tu estrategia para encontrar el número de estudiantes en el viaje del año pasado.
El costo del viaje de senderismo este año es\(\frac{2}{3}\) del costo del viaje del año pasado. El viaje de este año costó 32 dólares. Escribe y resuelve una ecuación para encontrar el costo del viaje del año pasado.

¿Estás listo para más?

A continuación se muestra una línea numérica. Los números 0 y 1 están marcados en la línea, al igual que otros dos números racionales\(a\) y\(b\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Una línea numérica con 4 marcas de verificación. Se indica el número 0. El número racional a está a la derecha de 0 y 1 es ligeramente superior a la mitad entre 0 y a. el número racional b está al extremo izquierdo de 0, donde b es una distancia mayor de 0 que a es de 0.

Decidir cuáles de los siguientes números son positivos y cuáles son negativos.

\(a-1\qquad a-2\qquad -b\qquad a+b\qquad a-b\qquad ab+1\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Card Sort: Matching Inverses

Tu profesor te dará un juego de tarjetas con números en ellas.

Haga coincidir los números con sus inversos aditivos.
A continuación, empareja los números con sus inversos multiplicativos.
¿Qué notas sobre los números y sus inversos?

Resumen

Para resolver la ecuación\(x+8=-5\), podemos agregar lo contrario de 8, o -8, a cada lado:

\(\begin{aligned}x+8&=-5 \\ (x+8)+-8&=(-5)+-8\\x&=-13\end{aligned}\)

Debido a que sumar lo contrario de un número es lo mismo que restar ese número, también podemos pensar en ello como restar 8 de cada lado.

Podemos usar el mismo enfoque para esta ecuación:

\(\begin{aligned} -12&=t+-\frac{2}{9} \\(-12)+\frac{2}{9}&=\left( t+-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{9} \\-11\frac{7}{9}&=t\end{aligned}\)

Para resolver la ecuación\(8x=-5\), podemos multiplicar cada lado por el recíproco de 8, o\(\frac{1}{8}\):

\(\begin{aligned} 8x&=-5\\ \frac{1}{8}(8x)&=\frac{1}{8}(-5)\\x&=-\frac{5}{8}\end{aligned}\)

Porque multiplicar por el recíproco de un número es lo mismo que dividir por ese número, también podemos pensar en él como dividiendo por 8.

Podemos usar el mismo enfoque para esta ecuación:

\(\begin{aligned}-12&=-\frac{2}{9}t \\-\frac{9}{2}(-12)&=-\frac{9}{2}\left(-\frac{2}{9}t\right) \\ 54&=t\end{aligned}\)

Entradas en el glosario

Definición: Variable

Una variable es una letra que representa un número. Se pueden elegir diferentes números para el valor de la variable.

Por ejemplo, en la expresión\(10-x\), la variable es\(x\). Si el valor de\(x\) es 3, entonces\(10-x=7\), porque\(10-3=7\). Si el valor de\(x\) es 6, entonces\(10-x=4\), porque\(10-6=4\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resolver:

\(\frac{2}{5}t=6\)
\(-4.5=a-8\)
\(\frac{1}{2}+p=-3\)
\(12=x\cdot 3\)
\(-12=-3y\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Haga coincidir cada ecuación con un paso que ayude a resolver la ecuación.

\(5x=0.4\)
\(\frac{x}{5}=8\)
\(3=\frac{-x}{5}\)
\(7=-5x\)

Multiplica cada lado por\(5\).
Multiplica cada lado por\(-5\).
Multiplica cada lado por\(\frac{1}{5}\).
Multiplica cada lado por\(\frac{-1}{5}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evalúe cada expresión si\(x\)\(y\) es\(\frac{2}{5}\)\(-4\), es y\(z\) es -0.2.

\(x+y\)
\(2x-z\)
\(x+y+z\)
\(y\cdot x\)

(De la Unidad 5.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Escriba una ecuación donde se agregue un número a una variable, y una solución sea -8.
Escribe una ecuación donde un número se multiplica por una variable, y una solución es\(\frac{-4}{5}\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Las marcas en la línea numérica están espaciadas uniformemente. Etiquete las otras marcas en la línea numérica.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una línea numérica en blanco con 9 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Comenzando por la izquierda, la primera marca de verificación se etiqueta negativa 2 punto 5, la cuarta marca de verificación se etiqueta negativa 1, y la sexta marca de verificación está etiquetada como 0.

(De la Unidad 5.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

En 2012, James Cameron descendió al fondo de Challenger Deep in the Marianas Trench; el punto más profundo del océano. El buque en el que viajó se llamaba DeepSea Challenger.

Challenger Deep mide 35,814 pies de profundidad en su punto más bajo

El descenso del DeepSea Challenger fue un cambio en profundidad de\((-4)\) pies por segundo. Podemos usar la ecuación\(y=-4x\) para modelar esta relación, donde\(y\) está la profundidad y\(x\) es el tiempo en segundos que han pasado. ¿Cuántos segundos sugiere este modelo que le llevaría a DeepSea Challenger llegar al fondo?
Para terminar la misión DeepSea Challenger realizó un ascenso de una hora a la superficie. ¿Cuántos segundos es esto?
El ascenso puede ser modelado por una relación proporcional diferente\(y=kx\). ¿Cuál es el valor de k en este caso?

(De la Unidad 5.3.5)