1.R: Funciones (Revisión)

1.1: Funciones y notación de funciones

Para los ejercicios 1-4, determinar si la relación es una función.

1)$\{(a,b),(c,d),(e,d)\}$

Contestar

función

2)$\{(5,2),(6,1),(6,2),(4,8)\}$

3)$y^2+4=x$, para$x$ la variable independiente y$y$ la variable dependiente

Contestar

no es una función

4) ¿La gráfica de la siguiente figura es una función?

Para los ejercicios 5-6, evalúe la función a los valores indicados:$f(-3); f(2); f(-a); -f(a); f(a+h)$

5)$f(x)=-2x^2+3x$

Contestar

$f(-3)=-27; f(2)=-2;f(-a)=-2a^2-3a;-f(a)=2a^2-3a;f(a+h)=-2a^2+3a-4ah+3h-2h^2$

6)$f(x)=2|3x-1|$

Para los ejercicios 7-8, determinar si las funciones son uno-a-uno.

7)$f(x)=-3 x+5$

Contestar

uno a uno

8)$f(x)=|x-3|$

Para los ejercicios 9-11, utilice la prueba de línea vertical para determinar si la relación cuya gráfica se proporciona es una función.

9)

Contestar

función

10)

11)

Contestar

función

Para los ejercicios 12-13, grafica las funciones.

12)$f(x)=|x+1|$

13)$f(x)=x^{2}-2$

Contestar

Para los ejercicios 14-17, utilice la Figura a continuación para aproximar los valores.

14)$f(2)$

15)$f(-2)$

Contestar

$2$

16) Si$f(x)=-2$, entonces resolver para$x$

17) Si$f(x)=1$, entonces resolver para$x$

Contestar

$x=-1.8$o$x=1.8$

Para los ejercicios 18-19, usa la función$h(t)=-16 t^{2}+80t$ para encontrar los valores.

18)$\dfrac{h(2)-h(1)}{2-1}$

19)$\dfrac{h(a)-h(1)}{a-1}$

Contestar

$\dfrac{-64+80 a-16 a^{2}}{-1+a}=-16 a+64$

1.2: Dominio y Rango

Para los ejercicios 1-4, encuentra el dominio de cada función, expresando respuestas usando notación de intervalos.

1)$f(x)=\dfrac{2}{3 x+2}$

2)$f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-4 x-12}$

Contestar

$(-\infty,-2) \cup(-2,6) \cup(6, \infty)$

3)

4) Grafique esta función por partes:$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x+1} & {x<-2} \\ {-2 x-3} & {x \geq-2}\end{array}\right.$

Contestar

1.3: Tasas de Cambio y Comportamiento de las Gráficas

Para los ejercicios 1-3, encuentra la tasa promedio de cambio de las funciones de$x=1$ a$x=2$

1)$f(x)=4 x-3$

2)$f(x)=10 x^{2}+x$

Contestar

$31$

3)$f(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}$

Para los ejercicios 4-6, utilice las gráficas para determinar los intervalos en los que las funciones están aumentando, disminuyendo o constantes.

4)

Contestar

creciente$(2, \infty)$; decreciente$(-\infty, 2)$

5)

6)

Contestar

creciente$(-3,1)$; constante$(-\infty,-3) \cup(1, \infty)$

7) Encuentra el mínimo local de la función graficada en el Ejercicio 4.

8) Encuentra los extrema locales para la función graficada en el Ejercicio 5.

Contestar

mínimo local$(-2,-3)$; máximo local$(1,3)$

9) Para la gráfica de la Figura en el Ejercicio 10, el dominio de la función es$[-3,3]$. El rango es$[-10,10]$. Encuentra el mínimo absoluto de la función en este intervalo.

10) Encuentra el máximo absoluto de la función graficada en la Figura a continuación.

Contestar

$(-1.8,10)$

1.4: Composición de las funciones

Para los ejercicios 1-5, encuentra$(f \circ g)(x)$ y$(g \circ f)(x)$ para cada par de funciones.

1)$f(x)=4-x, g(x)=-4x$

2)$f(x)=3 x+2, g(x)=5-6x$

Contestar

$(f \circ g)(x)=17-18 x ;(g \circ f)(x)=-7-18x$

3)$f(x)=x^{2}+2 x, g(x)=5 x+1$

4)$f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=\dfrac{1}{x}$

Contestar

$(f \circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}+2} ;(g \circ f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$

5)$f(x)=\dfrac{x+3}{2}, g(x)=\sqrt{1-x}$

Para los ejercicios 6-9, find$(f \circ g)$ y el dominio$(f \circ g)(x)$ para cada par de funciones.

6)$f(x)=\frac{x+1}{x+4}, g(x)=\frac{1}{x}$

Contestar

$(f \circ g)(x)=\dfrac{1+x}{1+4 x}, x \neq 0, x \neq-\dfrac{1}{4}$

7)$f(x)=\dfrac{1}{x+3}, g(x)=\dfrac{1}{x-9}$

8)$f(x)=\dfrac{1}{x}, g(x)=\sqrt{x}$

Contestar

$(f \circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, x>0$

9)$f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{x+1}$

Para los ejercicios 10-11, expresar cada función$H$ como una composición de dos funciones$f$ y$g$ donde$H(x)=(f \circ g)(x)$

10)$H(x)=\sqrt{\frac{2 x-1}{3 x+4}}$

Contestar

muestra:$g(x)=\dfrac{2 x-1}{3 x+4}; f(x)=\sqrt{x}$

11)$H(x)=\dfrac{1}{\left(3 x^{2}-4\right)^{-3}}$

1.5: Transformación de funciones

Para los ejercicios 1-8, bosquejar una gráfica de la función dada.

1)$f(x)=(x-3)^{2}$

Contestar

2)$f(x)=(x+4)^{3}$

3)$f(x)=\sqrt{x}+5$

Contestar

4)$f(x)=-x^{3}$

5)$f(x)=\sqrt[3]{-x}$

Contestar

6)$f(x)=5 \sqrt{-x}-4$

7)$f(x)=4[|x-2|-6]$

Contestar

8)$f(x)=-(x+2)^{2}-1$

Para los ejercicios 9-10, bosquejar la gráfica de la función$g$ si la gráfica de la función$f$ se muestra en la Figura a continuación.

9)$g(x)=f(x-1)$

Contestar

10)$g(x)=3 f(x)$

Para los ejercicios 11-12, escriba la ecuación para la función estándar representada por cada una de las gráficas a continuación.

11)

Contestar

$f(x)=|x-3|$

12)

Para los ejercicios 13-15, determine si cada función a continuación es par, impar, o ninguna.

13)$f(x)=3 x^{4}$

Contestar

incluso

14)$g(x)=\sqrt{x}$

15)$h(x)=\frac{1}{x}+3 x$

Contestar

impar

Para los ejercicios 16-18, analice la gráfica y determine si la función gráfica es par, impar o ninguna.

16)

17)

Contestar

incluso

18)

1.6: Funciones de Valor Absoluto

Para los ejercicios 1-3, escribir una ecuación para la transformación de$f(x)=|x|$.

1)

Contestar

$f(x)=\dfrac{1}{2}|x+2|+1$

2)

3)

Contestar

$f(x)=-3|x-3|+3$

Para los ejercicios 4-6, grafica la función de valor absoluto.

4)$f(x)=|x-5|$

5)$f(x)=-|x-3|$

Contestar

6)$f(x)=|2 x-4|$

Para los ejercicios 7-8, resolver la ecuación del valor absoluto.

7)$|x+4|=18$

Contestar

$x=-22, x=14$

8)$\left|\dfrac{1}{3} x+5\right|=\left|\dfrac{3}{4} x-2\right|$

Para los ejercicios 9-10, resolver la desigualdad y expresar la solución usando notación de intervalos.

9)$|3 x-2|<7$

Contestar

$\left(-\dfrac{5}{3}, 3\right)$

10)$\left|\dfrac{1}{3} x-2\right| \leq 7$

1.7: Funciones inversas

Para los ejercicios 1-2, encuentra$f^{-1}(x)$ para cada función.

1)$f(x)=9+10 x$

2)$f(x)=\dfrac{x}{x+2}$

Contestar

$f^{-1}(x)=\dfrac{-2 x}{x-1}$

3) Para el siguiente ejercicio, encontrar un dominio en el que la función$f$ sea uno-a-uno y no decreciente. Escribe el dominio en notación de intervalos. Entonces encuentra el inverso de$f$ restringido a ese dominio. $$f(x)=x^{2}+1$$

4) Dado$f(x)=x^{3}-5$ y$g(x)=\sqrt[3]{x+5}$:

1. Encontrar$f(g(x))$ y$g(f(x))$.
2. ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre$f(x)$ y$g(x) ?$

Contestar

1. $f(g(x))=x$y$g(f(x))=x$
2. Esto nos dice que$f$ y$g$ son funciones inversas

Para los ejercicios 5-8, utilice una utilidad gráfica para determinar si cada función es uno a uno.

5)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Contestar

La función es uno a uno.

6)$f(x)=-3 x^{2}+x$

Contestar

La función no es uno a uno.

7) Si$f(5)=2,$ encuentra$f^{-1}(2)$

Contestar

$5$

8) Si$f(1)=4,$ encuentra$f^{-1}(4)$

Prueba de práctica

Para los ejercicios 1-2, determinar si cada una de las siguientes relaciones es una función.

1)$y=2 x+8$

Contestar

La relación es una función.

2)$\{(2,1),(3,2),(-1,1),(0,-2)\}$

Para los ejercicios 3-4, evalúe la función$f(x)=-3 x^{2}+2 x$ en la entrada dada.

3)$f(-2)$

Contestar

$-16$

4)$f(a)$

5) Demostrar que la función no$f(x)=-2(x-1)^{2}+3$ es uno a uno.

Contestar

La gráfica es una parábola y la gráfica falla en la prueba de línea horizontal.

6) Escribir el dominio de la función$f(x)=\sqrt{3-x}$ en notación de intervalos.

7) Dado$f(x)=2 x^{2}-5 x,$ hallazgo$f(a+1)-f(1)$

Contestar

$2 a^{2}-a$

8) Graficar la función$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x+1} & {\text { if }} & {-2<x<3} \\ {-x} & {\text { if }} & {x \geq 3}\end{array}\right.$

9) Encuentra la tasa promedio de cambio de la función$f(x)=3-2 x^{2}+x$ encontrando$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Contestar

$-2(a+b)+1$

Para los ejercicios 10-11, utilice las funciones$f(x)=3-2 x^{2}+x$ y$g(x)=\sqrt{x}$ para encontrar las funciones compuestas.

10)$(g \circ f)(x)$

11)$(g \circ f)(1)$

Contestar

$\sqrt{2}$

12) Expresar$H(x)=\sqrt[3]{5 x^{2}-3 x}$ una composición de dos funciones,$f$ y$g,$ donde$(f \circ g)(x)=H(x)$

Para los ejercicios 13-14, grafica las funciones traduciendo, estirando y/o comprimiendo una función de kit de herramientas.

13)$f(x)=\sqrt{x+6}-1$

Contestar

14)$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-1$

Para los ejercicios 15-17, determinar si las funciones son pares, impares, o ninguna.

15)$f(x)=-\dfrac{5}{x^{2}}+9 x^{6}$

Contestar

incluso

16)$f(x)=-\dfrac{5}{x^{3}}+9 x^{5}$

17)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Contestar

impar

18) Graficar la función de valor absoluto$f(x)=-2|x-1|+3$.

19) Resolver$|2 x-3|=17$.

Contestar

$x=-7$y$x=10$

20) Resolver$-\left|\dfrac{1}{3} x-3\right| \geq 17$. Exprese la solución en notación de intervalos.

Para los ejercicios 21-22, encuentra la inversa de la función.

21)$f(x)=3 x-5$

Contestar

$f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}$

22)$f(x)=\dfrac{4}{x+7}$

Para los ejercicios 23-26, utilice la gráfica de que$g$ se muestra en la Figura a continuación.

23) ¿En qué intervalos aumenta la función?

Contestar

$(-\infty,-1.1)$y$(1.1, \infty)$

24) ¿En qué intervalos disminuye la función?

25) Aproximar el mínimo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado.

Contestar

$(1.1,-0.9)$

26) Aproximar el máximo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado.

Para los ejercicios 27-29, utilice la gráfica de la función por tramos que se muestra en la Figura a continuación.

27) Encontrar$f(2)$.

Contestar

$f(2)=2$

28) Encontrar$f(-2)$.

29) Escribir una ecuación para la función por partes.

Contestar

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}{|x|} & {\text { if } x \leq 2} \\ {3} & {\text { if } x>2}\end{array}\right.$

Para los ejercicios 30-35, utilice los valores enumerados en la Tabla siguiente.

$x$	$F(x)$
0	1
1	3
2	5
3	7
4	9
5	11
6	13
7	15
8	17

30) Encontrar$F(6)$.

31) Resolver la ecuación$F(x)=5$

Contestar

$x=2$

32) ¿La gráfica está aumentando o disminuyendo en su dominio?

33) ¿La función está representada por la gráfica uno a uno?

Contestar

si

34) Encontrar$F^{-1}(15)$.

35) Dado$f(x)=-2 x+11,$ hallazgo$f^{-1}(x)$.

Contestar

$f^{-1}(x)=-\dfrac{x-11}{2}$

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