3: Serie
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Objetivos del Capítulo
- Aprende a obtener expansiones Maclaurin y Taylor de diferentes funciones.
- Aprende a expresar sumas infinitas usando el operador de suma (\( \displaystyle \Sigma\))
- Entender cómo se puede utilizar una expansión en serie en las ciencias físicas para obtener una aproximación que sea válida en un régimen particular (por ejemplo, baja concentración de soluto, baja presión de un gas, pequeñas oscilaciones de un péndulo, etc.).
- Entender cómo se puede utilizar una expansión en serie para probar una relación matemática.
- 3.1: Serie Maclaurin
- Una función f (x) se puede expresar como una serie en potencias de x siempre que f (x) y todas sus derivadas sean finitas en x=0.
- 3.2: Aproximaciones lineales
- Siempre podemos aproximar una función como una línea siempre que x sea pequeña. Cuando decimos 'cualquier función', por supuesto, implicamos que la función y todas sus derivadas necesitan ser finitas en x=0.
- 3.3: Serie Taylor
- Antes de discutir más aplicaciones de la serie Maclaurin, ampliemos nuestra discusión al caso más general donde expandimos una función alrededor de valores diferentes a cero. Digamos que queremos expandir una función alrededor del número h. si h=0, llamamos a la serie una serie Maclaurin, y si h≠ 0 llamamos a la serie una serie Taylor. Debido a que las series Maclaurin son un caso especial del caso más general, podemos llamar a todas las series series Taylor y omitir la distinción.
Miniaturas: La gráfica muestra la función\(\displaystyle y=sinx\) y los polinomios Maclaurin\(\displaystyle p_1,p_3\) y\(\displaystyle p_5\). Imagen utilizada con permiso (CC BY-SA 3.0; OpenStax).