3.5: Problemas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 70033

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Problema\(\PageIndex{1}\)

Expandir las siguientes funciones alrededor del valor de\(x\) indicado en cada caso.

En cada caso, anote al menos cuatro términos de la serie, y anote el resultado como una suma infinita.

\(\sin{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) es una constante
\(\cos{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) es una constante
\(e^{ax}\),\(x=0\),\(a\) es una verdadera constante
\(e^{-ax}\),\(x=0\),\(a\) es una verdadera constante
\(\ln{(ax)}\),\(x=1\),\(a\) es una verdadera constante

Problema\(\PageIndex{2}\)

Utilice los resultados del problema anterior para probar la relación de Euler:

\[e^{ix}=\cos x + i \sin x \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{3}\)

La presión osmótica (\(\pi\)) de una solución viene dada por

\[-RT \ln x_A=\pi V_m \nonumber\]

donde\(V_m\) es el volumen molar del disolvente puro, y\(x_a\) es la fracción molar del disolvente.

Demostrar que en el caso de una solución diluida

\[RT x_B \approx \pi V_m \nonumber\]

donde\(x_B\) está la fracción molar del soluto. Recuerda que las fracciones molares del soluto y el disolvente necesitan sumar hasta 1.

Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).

Problema\(\PageIndex{4}\)

La siguiente expresión se conoce como la ecuación de Butler-Volmer, y se utiliza en electroquímica para describir la cinética de una reacción electroquímica controlada únicamente por la velocidad del proceso de transferencia de carga electroquímica.

\[j=j_0({e^{(1-\alpha)f\eta}-e^{-\alpha f \eta}}), ~ 0<\alpha<1 \text{ and } f>0, \eta>0 \nonumber\]

\(j \approx j_0 f \eta\)Demuéstralo cuando\(f \eta <<1\).

Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).

Problema\(\PageIndex{5}\)

La densidad de energía de la radiación de cuerpo negro (\(\rho\)) a temperatura T viene dada por la fórmula de Plank:

\[\rho(\lambda)=\frac{8\pi h c}{\lambda^5}[e^{hc/\lambda k T}-1]^{-1} \nonumber\]

donde\(\lambda\) está la longitud de onda,\(h\) es la constante de Plank, y\(c\) es la velocidad de la luz. Demostrar que la fórmula se reduce a la ley clásica de Rayleigh-Jeans\(\rho = 8\pi kT/\lambda^4\) para longitudes de onda largas (\(\lambda \rightarrow \infty\)).

Sugerencia: Definir una variable\(\nu = \lambda^{-1}\) y resolver el problema para\(\nu \rightarrow 0\).

Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).

Problema\(\PageIndex{6}\)

Usar series para demostrarlo\(\sum \limits _{k=0} ^\infty{\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}=1\),\(\lambda\) es una constante real positiva.

Problema\(\PageIndex{7}\)

Anote la ecuación de una línea recta que proporcione una buena aproximación de la función\(e^x\) en valores cercanos a\(x = 2\).

Problema\(\PageIndex{8}\)

Usa una expansión de Taylor\(a\) para demostrar que\(\ln{x} = \ln{a}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n a^n}(x-a)^n\)