3.5: Problemas
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Expandir las siguientes funciones alrededor del valor de\(x\) indicado en cada caso.
En cada caso, anote al menos cuatro términos de la serie, y anote el resultado como una suma infinita.
- \(\sin{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) es una constante
- \(\cos{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) es una constante
- \(e^{ax}\),\(x=0\),\(a\) es una verdadera constante
- \(e^{-ax}\),\(x=0\),\(a\) es una verdadera constante
- \(\ln{(ax)}\),\(x=1\),\(a\) es una verdadera constante
Problema\(\PageIndex{2}\)
Utilice los resultados del problema anterior para probar la relación de Euler:
\[e^{ix}=\cos x + i \sin x \nonumber\]
Problema\(\PageIndex{3}\)
La presión osmótica (\(\pi\)) de una solución viene dada por
\[-RT \ln x_A=\pi V_m \nonumber\]
donde\(V_m\) es el volumen molar del disolvente puro, y\(x_a\) es la fracción molar del disolvente.
Demostrar que en el caso de una solución diluida
\[RT x_B \approx \pi V_m \nonumber\]
donde\(x_B\) está la fracción molar del soluto. Recuerda que las fracciones molares del soluto y el disolvente necesitan sumar hasta 1.
Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).
Problema\(\PageIndex{4}\)
La siguiente expresión se conoce como la ecuación de Butler-Volmer, y se utiliza en electroquímica para describir la cinética de una reacción electroquímica controlada únicamente por la velocidad del proceso de transferencia de carga electroquímica.
\[j=j_0({e^{(1-\alpha)f\eta}-e^{-\alpha f \eta}}), ~ 0<\alpha<1 \text{ and } f>0, \eta>0 \nonumber\]
\(j \approx j_0 f \eta\)Demuéstralo cuando\(f \eta <<1\).
Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).
Problema\(\PageIndex{5}\)
La densidad de energía de la radiación de cuerpo negro (\(\rho\)) a temperatura T viene dada por la fórmula de Plank:
\[\rho(\lambda)=\frac{8\pi h c}{\lambda^5}[e^{hc/\lambda k T}-1]^{-1} \nonumber\]
donde\(\lambda\) está la longitud de onda,\(h\) es la constante de Plank, y\(c\) es la velocidad de la luz. Demostrar que la fórmula se reduce a la ley clásica de Rayleigh-Jeans\(\rho = 8\pi kT/\lambda^4\) para longitudes de onda largas (\(\lambda \rightarrow \infty\)).
Sugerencia: Definir una variable\(\nu = \lambda^{-1}\) y resolver el problema para\(\nu \rightarrow 0\).
Nota: puedes usar cualquiera de los resultados que hayas obtenido en Problema\(\PageIndex{1}\).
Problema\(\PageIndex{6}\)
Usar series para demostrarlo\(\sum \limits _{k=0} ^\infty{\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}=1\),\(\lambda\) es una constante real positiva.
Problema\(\PageIndex{7}\)
Anote la ecuación de una línea recta que proporcione una buena aproximación de la función\(e^x\) en valores cercanos a\(x = 2\).
Problema\(\PageIndex{8}\)
Usa una expansión de Taylor\(a\) para demostrar que\(\ln{x} = \ln{a}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n a^n}(x-a)^n\)