26.7: Apéndice D. Algunas Integrales Definitivas Importantes
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Frecuentemente necesitamos los valores de las integrales definidas a continuación. Estos valores están disponibles en tablas estándar. Tenga en cuenta que los integrandos que involucran potencias pares del argumento son funciones pares; los integrandos que involucran potencias impares son funciones impares. (Una función,\(f(x)\), es par si\(f(x) = f(-x)\); es impar si\(f(x) = -f(-x)\).) Las integrales se dan a lo largo del intervalo\(0 < x < \infty\). Para los integrands que son funciones pares, las integrales a lo largo del intervalo\(- \infty < x < \infty\) son el doble de las integrales en el intervalo\(0 < x < \infty\). Para los integrands que son funciones impares, las integrales sobre el intervalo\(- \infty < x < \infty\) son cero.
\[ \begin{array}{l} \int_0^{\infty} \text{exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{a}} \\ \int_0^{ \infty} x \text{ exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{1}{2a} \\ \int_0^{ \infty} x^2 \text{ exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \\ \int_0^{\infty} x^3 \text{ exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{1}{2a^2} \\ \int_0^{ \infty} x^4 \text{ exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{3}{8} \sqrt{ \frac{\pi}{a^5}} \\ \int_0^{ \infty} x^6 \text{ exp} \left( -ax^2 \right) dx = \frac{15}{16} \sqrt{ \frac{\pi}{a^7}} \end{array} \nonumber\]