2: La Ecuación de Onda Clásica
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El objetivo de esta sección es hacer una revisión bastante breve de las ondas en diversos medios elásticos conformados, comenzando con una cuerda tensa, luego pasando a una lámina elástica, una cabeza de tambor, primero de forma rectangular y luego circular, y finalmente considerando ondas elásticas sobre una superficie esférica, como un globo. La razón por la que miramos este material aquí es que se trata de “ondas reales”, ojalá no sean demasiado difíciles de pensar, y sin embargo matemáticamente son las soluciones de la misma ecuación de onda que la función de onda Schrödinger obedece en diversos contextos, por lo que debería ser útil para visualizar soluciones a esa ecuación, en particular para el átomo de hidrógeno.
- 2.1: La ecuación de onda unidimensional
- La descripción matemática de las ondas unidimensionales se puede expresar como soluciones a la “ecuación de onda”. Puede que no sea sorprendente que no todas las olas posibles satisfagan la ecuación de onda para un sistema específico, ya que las soluciones de ondas deben satisfacer tanto las condiciones iniciales como las condiciones límite. Esto da como resultado un subconjunto de posibles soluciones. En el mundo cuántico, esto significa que las condiciones límite son responsables de alguna manera de los fenómenos de cuantificación en el Capítulo 1.
- 2.2: El Método de Separación de Variables
- El método de separación de variables es una de las técnicas más utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales y se basa en el supuesto de que la solución de la ecuación es separable, es decir, la solución final puede representarse como un producto de varias funciones, cada una de las cuales solo depende de una sola variable independiente. Si esta suposición es incorrecta, entonces claras violaciones de los principios matemáticos serán obvias a partir del análisis.
- 2.3: Soluciones Oscilatorias a Ecuaciones Diferenciales
- Caracterizar los componentes espaciales y temporales de una onda requiere resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Esto da como resultado soluciones oscilatorias (en espacio y tiempo). Estas soluciones resueltas a través de condiciones específicas de contorno son ondas estacionarias.
- 2.4: La solución general es una superposición de modos normales
- Dado que la ecuación de onda es una ecuación diferencial lineal, se mantiene el Principio de Superposición y la combinación de dos soluciones también es una solución.
- 2.5: Una membrana vibratoria
- Es agradable encontrar que estas ondas en dimensiones superiores satisfacen ecuaciones de onda que son una extensión muy natural de la que encontramos para una cuerda, y —muy importante— también satisfacen el Principio de Superposición, es decir, si las olas se encuentran, solo agregas la contribución de cada ola. En los dos párrafos siguientes, entramos en más detalle, pero este Principio de Superposición es la lección crucial.
- 2.E: La Ecuación de Onda Clásica (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar el Capítulo 2 de McQuarrie y Simon's “Physical Chemistry: A Molecular Approach” Textmap.