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    1. Los casos problemáticos son principalmente aquellos en los que el número de partículas es demasiado pequeño para las aproximaciones realizadas en el enfoque estadístico. ↩

    2. Como las distribuciones son vectores y todas las combinaciones tienen que ser consideradas, se debe tomar un producto externo. ↩

    3. La solución de la segunda tarea se puede encontrar en. ↩

    4. Aquí, cada giro individual se considera como un sistema y los\(N\) giros como un conjunto de sistemas idénticos ↩

    5. Gracias a Takuya Segawa por señalar un error en esta expresión en ↩

    6. Si los números aleatorios individuales no están distribuidos de manera idéntica, el teorema seguirá aplicándose, si se cumple la condición de Lyapunov o la condición de Lindeberg. Consulte el artículo muy útil y detallado de Wikipedia sobre el teorema del límite central para obtener más información y pruebas. ↩

    7. Este one-liner puede causar problemas de eficiencia si el esfuerzo computacional por prueba además de la generación de números aleatorios es pequeño. ↩

    8. Es más complicado argumentar que sólo se desvanecerá si\(\rho\) es uniforme. Sin embargo, como las partículas individuales siguen trayectorias de espacio de fase aleatorias, es difícil imaginar que el lado derecho pueda ser cero estacionario a menos que\(\rho\) sea uniforme. ↩

    9. Dónde\(g_e\) está el\(g\) valor del electrón libre y\(\mu_\mathrm{B}\) el magnetón Bohr. ↩

    10. La dependencia\(N\) y\(V\) surge, porque estos parámetros influyen en los niveles de energía ↩

    11. La condición de una contribución cuadrática surge de una suposición que se realiza al integrarse sobre la coordenada correspondiente. ↩

    12. Boltzmann estaba pensando en términos de teoría de probabilidad discreta. Como queremos usar la teoría de probabilidad continua aquí, hemos hecho la transición de la probabilidad a la densidad de probabilidad. ↩

    13. El teorema se basa en una distribución uniforme en este volumen en algún momento, pero se aplica aquí, como hemos visto antes que dicha distribución uniforme en una capa de energía es una característica del estado de equilibrio de un sistema aislado. ↩

    14. Los puristas de la termodinámica estadística se estremecerán, ya que ahora nos basamos en la definición de entropía de la termodinámica fenomenológica. Ocultamos el hecho de que somos incapaces de una estricta derivación general y solo relacionamos los nuevos conceptos de termodinámica estadística con los conceptos de termodinámica fenomenológica. En efecto, mostramos cómo deben calcularse las funciones estatales de la termodinámica fenomenológica si se aplican las definiciones de entropía tanto de Boltzmann como de Clausius. ↩

    15. Este experimento de pensamiento me lo sugirió Roland Riek. ↩

    16. Se puede especular sobre las interpretaciones filosóficas. La irreversibilidad podría ser consecuencia de dividir el universo en observador y todo lo demás, noción que resuena con las intuiciones de algunos pensadores místicos a través de diferentes tradiciones religiosas. Si bien la idea es atractiva, no se puede probar racionalmente. El pensamiento racional ya implica que existe un observador. ↩

    17. Esto es más una cuestión de gusto que de sustancia. Siempre y cuando\(B e^{\epsilon_i/k_\mathrm{N}T} \gg 1\), podemos aproximar cualquier tipo de estadística cuántica por las estadísticas de Maxwell-Boltzmann antes de resolver para\(B\). Por lo tanto, se nos permite mezclar libremente las estadísticas de Maxwell-Boltzmann con ecuaciones cuánticas-mecánicas de movimiento. ↩

    18. El cambio no influye en el denominador, ya que simplemente elimina el primer factor en el lado derecho de la Ecuación\ ref {EQ:Z_VIB_Series}) . ↩

    19. Descuidamos el acoplamiento cuadrupolo nuclear, que promedia en gases. ↩

    20. La energía vibratoria de punto cero es una excepción de este principio con respecto a la energía interna, pero no a la capacidad calorífica. ↩

    21. Hay un error de impresión en ↩

    22. Esta separación de los términos es matemáticamente algo incómoda, ya que en los dos últimos términos el argumento del logaritmo tiene una unidad. Sin embargo, si los dos términos se combinan el logaritmo de la unidad se cancela. ↩

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