20.8: Cálculos de Energía Libre y\(K_\text{eq}\)
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La formación de estalactitas (apuntando hacia abajo) y estalagmitas (apuntando hacia arriba) es un proceso complejo. Soluciones de minerales gotean y absorben dióxido de carbono a medida que el agua fluye a través de la cueva. El carbonato de calcio se disuelve en este líquido y se vuelve a depositar en la roca a medida que el dióxido de carbono se disipa en el ambiente.
Constante de Equilibrio y\(\Delta G\)
En equilibrio, el\(\Delta G\) para una reacción reversible es igual a cero. \(K_\text{eq}\)relaciona las concentraciones de todas las sustancias en la reacción en equilibrio. A través de un tratamiento más avanzado de la termodinámica, podemos escribir la siguiente ecuación:
\[\Delta G^\text{o} = -RT \: \text{ln} \: K_\text{eq}\nonumber \]
La variable\(R\) es la constante de gas ideal\(\left( 8.314 \: \text{J/K} \cdot \text{mol} \right)\),\(T\) es la temperatura Kelvin, y\(\text{ln} \: K_\text{eq}\) es el logaritmo natural de la constante de equilibrio.
Cuando\(K_\text{eq}\) es grande, se favorecen los productos de la reacción y el signo negativo en la ecuación significa que el\(\Delta G^\text{o}\) es negativo. Cuando\(K_\text{eq}\) es pequeño, se favorecen los reactivos de la reacción. El logaritmo natural de un número menor a uno es negativo, por lo que el signo de\(\Delta G^\text{o}\) es positivo. La siguiente tabla resume la relación de\(\Delta G^\text{o}\) a\(K_\text{eq}\):
| Tabla\(\PageIndex{1}\): Relación de\(\Delta G^\text{o}\) y\(K_\text{eq}\) | |||
|---|---|---|---|
| \ (\ PageIndex {1}\): Relación de\(\Delta G^\text{o}\) y\(K_\text{eq}\) "style="vertical-align:middle;" > \(K_\text{eq}\) | \(\text{ln} \: K_\text{eq}\) | \(\Delta G^\text{o}\) | Descripción |
| \ (\ PageIndex {1}\): Relación de\(\Delta G^\text{o}\) y\(K_\text{eq}\) "style="vertical-align:middle;" >>1 | positivo | negativo | Los productos son favorecidos en equilibrio. |
| \ (\ PageIndex {1}\): Relación de\(\Delta G^\text{o}\) y\(K_\text{eq}\) "style="vertical-align:middle;" >1 | 0 | 0 | Los reactivos y productos son igualmente favorecidos. |
| \ (\ PageIndex {1}\): Relación de\(\Delta G^\text{o}\) y\(K_\text{eq}\) "style="vertical-align:middle;" ><1 | negativo | positivo | Los reactivos son favorecidos en el equilibrio. |
El conocimiento del cambio estándar de energía libre o de la constante de equilibrio para una reacción permite el cálculo de la otra. Los siguientes dos problemas de muestra ilustran cada caso.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
La formación de monóxido de nitrógeno a partir de gases de nitrógeno y oxígeno es una reacción que favorece fuertemente a los reactivos en\(25^\text{o} \text{C}\).
\[\ce{N_2} \left( g \right) + \ce{O_2} \left( g \right) \rightleftharpoons 2 \ce{NO} \left( g \right)\nonumber \]
Las concentraciones reales de cada gas serían difíciles de medir, y así el\(K_\text{eq}\) para la reacción se puede calcular más fácilmente a partir de la\(\Delta G^\text{o}\), que es igual a\(173.4 \: \text{kJ/mol}\). Encuentra el\(K_\text{eq}\).
Solución:
Paso 1: Enumere las cantidades conocidas y planifique el problema.
Conocido
- \(\Delta G^\text{o} = +173.4 \: \text{kJ/mol}\)
- \(R = 8.314 \: \text{J/K} \cdot \text{mol}\)
- \(T = 25^\text{o} \text{C} = 298 \: \text{K}\)
Desconocido
Para que las unidades estén de acuerdo,\(\Delta G^\text{o}\) será necesario convertir el valor de a\(\text{J/mol}\)\(\left( 173,400 \: \text{J/mol} \right)\). Para resolver para\(K_\text{eq}\), se utilizará la inversa del logaritmo natural\(e^x\),,.
Paso 2: Resolver.
\[\begin{align*} \Delta G^\text{o} &= -RT \: \text{ln} \: K_\text{eq} \\ \text{ln} \: K_\text{eq} &= \frac{-\Delta G^\text{o}}{RT} \\ K_\text{eq} &= e^{\frac{-\Delta G^\text{o}}{RT}} = e^{\frac{-173,400 \: \text{J/mol}}{8.314 \: \text{J/K} \cdot \text{mol} \left( 298 \: \text{K} \right)}} = 4.0 \times 10^{-31} \end{align*}\nonumber \]
Paso 3: Piensa en tu resultado.
El gran cambio positivo de energía libre conduce a una\(K_\text{eq}\) que es extremadamente pequeña. Ambos llevan a la conclusión de que los reactivos son altamente favorecidos y muy pocas moléculas de producto están presentes en equilibrio.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
La constante del producto de solubilidad\(\left( K_\text{sp} \right)\) del yoduro de plomo (II) está\(1.4 \times 10^{-8}\) en\(25^\text{o} \text{C}\). Calcular\(\Delta G^\text{o}\) para la disociación de yoduro de plomo (II) en agua.
\[\ce{PbI_2} \left( s \right) \rightleftharpoons \ce{Pb^{2+}} \left( aq \right) + 2 \ce{I^-} \left( aq \right)\nonumber \]
Solución:
Paso 1: Enumere los valores conocidos y planifique el problema.
Conocido
- \(K_\text{eq} = K_\text{sp} = 1.4 \times 10^{-8}\)
- \(R = 8.314 \: \text{J/K} \cdot \text{mol}\)
- \(T = 25^\text{o} \text{C} = 298 \: \text{K}\)
Desconocido
La ecuación relativa\(\Delta G^\text{o}\) a\(K_\text{eq}\) puede resolverse directamente.
Paso 2: Resolver.
\[\begin{align*} \Delta G^\text{o} &= -RT \: \text{ln} \: K_\text{eq} \\ &= -8.314 \: \text{J/K} \cdot \text{mol} \left( 298 \: \text{K} \right) \: \text{ln} \left( 1.4 \times 10^{-8} \right) \\ &= 45,000 \: \text{J/mol} \\ &= 45 \: \text{kJ/mol} \end{align*}\nonumber \]
Paso 3: Piensa en tu resultado.
El positivo grande\(\Delta G^\text{o}\) indica que el yoduro de plomo sólido (II) es casi insoluble y por lo tanto muy poco del sólido se disocia en equilibrio.
Resumen
- Se describe la relación entre\(\Delta G\) y\(K_\text{eq}\).
- Se muestran los cálculos que involucran estos dos parámetros.