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8.4: Las funciones del logaritmo
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_Una_cartilla_de_an%C3%A1lisis_real_(Sloughter)/08%3A_M%C3%A1s_funciones/8.04%3A_Las_funciones_del_logaritmo
Elige un número racional $\beta$ tal que $0<\beta<\alpha .$ Ahora para cualquiera $t>1$ , $\frac{1}{t}<\frac{1}{t} t^{\beta}=\frac{1}{t^{1-\beta}}.$ De ahí \[\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t<...Elige un número racional $\beta$ tal que $0<\beta<\alpha .$ Ahora para cualquiera $t>1$ , $\frac{1}{t}<\frac{1}{t} t^{\beta}=\frac{1}{t^{1-\beta}}.$ De ahí $\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t<\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{1-\beta}} d t=\frac{x^{\beta}-1}{\beta}<\frac{x^{\beta}}{\beta}$ siempre que $x>1 .$ así $0<\frac{\log (x)}{x^{\alpha}}<\frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}$ para $x>1 .$ Pero $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}=0,$ por lo \[\lim _{x \rightarro…

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