8.4: Las funciones del logaritmo
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Dado un número real positivo\(x,\) llamamos
\[\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t\]
el logaritmo de\(x .\)
Tenga en cuenta que\(\log (1)=0, \log (x)<0\) cuándo\(0<x<1,\) y\(\log (x)>0\) cuándo\(x>1 .\)
La función\(f(x)=\log (x)\) es una función creciente y diferenciable con
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\]
para todos\(x>0 .\)
- Prueba
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Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}>0\]
para todos\(x>0,\) de los cuales se desprende el resultado. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquier\(x>0\),
\[\log \left(\frac{1}{x}\right)=-\log (x).\]
- Prueba
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Usando la sustitución\(t=\frac{1}{u},\) que tenemos
\[\log \left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} u\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u=-\int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=-\log (x).\]
Q.E.D.
Para cualquier número real positivo\(x\) y\(y,\)
\[\log (x y)=\log (x)+\log (y).\]
- Prueba
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Usando la sustitución\(t=x u,\) que tenemos
\[\begin{aligned} \log (x y) &=\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{y} \frac{x}{x u} d u \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{1}{u} d u+\int_{1}^{y} \frac{1}{u} d u \\ &=-\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{u} d u+\log (y) \\ &=-\log \left(\frac{1}{x}\right)+\log (y) \\ &=\log (x)+\log (y). \end{aligned}\]
Q.E.D.
Si\(r \in \mathbb{Q}\) y\(x\) es un número real positivo, entonces
\[\log \left(x^{r}\right)=r \log (x).\]
- Prueba
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Usando la sustitución\(t=u^{r},\) que tenemos
\[\log \left(x^{r}\right)=\int_{1}^{x^{r}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} \frac{r u^{r-1}}{u^{r}} d u=r \int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=r \log (x).\]
Q.E.D.
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty\)y\(\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty .\)
- Prueba
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Dado un número real\(M,\) elegir un número entero\(n\) para el cual\(n \log (2)>M\) (existe tal un\(n\) since\(\log (2)>0\)). Entonces para cualquiera\(x>2^{n}\), tenemos
\[\log (x)>\log \left(2^{n}\right)=n \log (2)>M.\]
De ahí\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty\).
Del mismo modo, dado cualquier número real\(M,\) podemos elegir un entero\(n\) para el cual\(-n \log (2)<M .\) Entonces para cualquiera\(0<x<\frac{1}{2^{n}},\) tenemos
\[\log (x)<\log \left(\frac{1}{2^{n}}\right)=-n \log (2)<M.\]
De ahí\(\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty . \quad\) Q.E.D.
Tenga en cuenta que la función logaritmo tiene dominio\((0,+\infty)\) y rango\((-\infty,+\infty)\).
Demostrar que para cualquier número racional\(\alpha>0\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha}=+\infty .\]
Para cualquier número racional\(\alpha>0\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.\]
- Prueba
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Elige un número racional\(\beta\) tal que\(0<\beta<\alpha .\) Ahora para cualquiera\(t>1\),
\[\frac{1}{t}<\frac{1}{t} t^{\beta}=\frac{1}{t^{1-\beta}}.\]
De ahí
\[\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t<\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{1-\beta}} d t=\frac{x^{\beta}-1}{\beta}<\frac{x^{\beta}}{\beta}\]
siempre que\(x>1 .\) así
\[0<\frac{\log (x)}{x^{\alpha}}<\frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}\]
para\(x>1 .\) Pero
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}=0,\]
por lo
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.\]
Q.E.D.
Demostrar que
\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \log (x)=0\]
para cualquier número racional\(\alpha>0\).