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14.3: Conexión a Laplace
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Variables_complejas_con_aplicaciones_(Orloff)/14%3A_Continuaci%C3%B3n_anal%C3%ADtica_y_la_funci%C3%B3n_gamma/14.03%3A_Conexi%C3%B3n_a_Laplace
Para $\text{Re}(z) > 1$ y $\text{Re} (s) >0$ , $\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z}$ . \[\int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-st} \ dt = \int_{0}^{\infty} (\dfrac{\tau}{s})^{z- 1} e^{-\tau...Para $\text{Re}(z) > 1$ y $\text{Re} (s) >0$ , $\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z}$ . $\int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-st} \ dt = \int_{0}^{\infty} (\dfrac{\tau}{s})^{z- 1} e^{-\tau} \dfrac{d \tau}{s} = \dfrac{1}{s^z} \int_{0}^{\infty} \tau ^{z - 1} e^{-\tau} = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z} \ d\tau.$ Esto demuestra que $\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z})$ de $s$ verdad y positivo.

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