14.3: Conexión a Laplace
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Para\(\text{Re}(z) > 1\) y\(\text{Re} (s) >0\),\(\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z}\).
- Prueba
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Por definición\(\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-st} \ dt\). Es claro que si\(\text{Re} (z) > 1\), entonces la integral converge absolutamente para\(\text{Re} (s) > 0\).
Empecemos asumiendo que eso\(s > 0\) es real. Utilizar el cambio de variable\(\tau = st\). La integral de Laplace se convierte
\[\int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-st} \ dt = \int_{0}^{\infty} (\dfrac{\tau}{s})^{z- 1} e^{-\tau} \dfrac{d \tau}{s} = \dfrac{1}{s^z} \int_{0}^{\infty} \tau ^{z - 1} e^{-\tau} = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z} \ d\tau.\]
Esto demuestra que\(\mathcal{L} (t^{z -1}; s) = \dfrac{\Gamma (z)}{s^z})\) de\(s\) verdad y positivo. Dado que ambos lados de esta ecuación son analíticos\(\text{Re} (s) > 0\), la extensión al Teorema 14.2.1 garantiza que son los mismos.
\(\Gamma (z) = \mathcal{L} (t^{z - 1}; 1)\). (Por supuesto, esto también queda claro directamente a partir de la definición de\(\Gamma (z)\) en la Ecuación 14.3.1.