Por lo tanto en la notación utilizada anteriormente tenemos\[\begin{split} U(P,f|_S)-L(P,f|_S) & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) ...Por lo tanto en la notación utilizada anteriormente tenemos\[\begin{split} U(P,f|_S)-L(P,f|_S) & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (0) V(R_k) \\ & = U(\tilde{P},f|_{\tilde{R}})- L(\tilde{P},f|_{\tilde{R}}) < \epsilon . \end{split}\] Del mismo modo tenemos eso\(L(P,f|_S) = L(\tilde{P},f_{\tilde{R}})\) y por lo tanto\[\int_S f = \int_{\tilde{R}} f.\] ya que también\(\tilde{R} \subset R\) obtenemos\(\int_R f = \i…
