11.1: Riemann integral sobre rectángulos

Riemann integral sobre rectángulos

Nota: Conferencias FIXME1

Al igual que en el capítulo FIXME, definimos la integral de Riemann utilizando las integrales superior e inferior de Darboux. Las ideas de esta sección son muy similares a la integración en una dimensión. La complicación es mayoritariamente notacional.

Rectángulos y particiones

Dejar\((a^1,a^2,\ldots,a^n)\) y\((b^1,b^2,\ldots,b^n)\) ser tal que\(a^k \leq b^k\) para todos\(k\). Un conjunto de la forma\([a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]\) se llama rectángulo cerrado. Si\(a^k < b^k\), entonces un conjunto de la forma\((a^1,b^1) \times (a^2,b^2) \times \cdots \times (a^n,b^n)\) se llama rectángulo abierto.

Para un rectángulo abierto o cerrado\(R := [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n] \subset {\mathbb{R}}^n\) o\(R := (a^1,b^1) \times (a^2,b^2) \times \cdots \times (a^n,b^n) \subset {\mathbb{R}}^n\), definimos el volumen\(n\) -dimensional por\[V(R) := (b^1-a^1) (b^2-a^2) \cdots (b^n-a^n) .\]

Una partición\(P\) del rectángulo cerrado\(R = [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]\) es un conjunto finito de particiones\(P^1,P^2,\ldots,P^n\) de los intervalos\([a^1,b^1], [a^2,b^2],\ldots, [a^n,b^n]\). Es decir, por cada\(k\) hay un entero\(\ell_k\) y el conjunto finito de números\(P^k = \{ x_0^k,x_1^k,x_2^k,\ldots,x_{\ell_k}^k \}\) tal que\[a^k = x_0^k < x_1^k < x_2^k < \cdots < x_{{\ell_k}-1}^k < x_{\ell_k}^k = b^k .\] Escogiendo un conjunto de\(n\) enteros\(j_1,j_2,\ldots,j_n\) donde\(j_k \in \{ 1,2,\ldots,\ell_k \}\) obtenemos el subrectángulo\[[x_{j_1-1}^1, x_{j_1}^1] \times [x_{j_2-1}^2, x_{j_2}^2] \times \cdots \times [x_{j_n-1}^n, x_{j_n}^n] .\] Por simplicidad, ordenamos los subrectángulos de alguna manera y decimos \(\{R_1,R_2,\ldots,R_N\}\)son los subrectángulos correspondientes a la partición\(P\) de\(R\). En otras palabras, subdividimos el rectángulo original en muchos subrectángulos más pequeños. No es difícil ver que estos subrectángulos cubren nuestro original\(R\), y su volumen se suma al de\(R\). Eso es\[R= \bigcup_{j=1}^N R_j , \qquad \text{and} \qquad V(R) = \sum_{j=1}^N V(R_j).\]

Cuando\[R_k = [x_{j_1-1}^1, x_{j_1}^1] \times [x_{j_2-1}^2, x_{j_2}^2] \times \cdots \times [x_{j_n-1}^n, x_{j_n}^n]\] entonces\[V(R_k) = \Delta x_{j_1}^1 \Delta x_{j_2}^2 \cdots \Delta x_{j_n}^n = (x_{j_1}^1-x_{j_1-1}^1) (x_{j_2}^2-x_{j_2-1}^2) \cdots (x_{j_n}^n-x_{j_n-1}^n) .\]

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y dejar\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) ser una función acotada. Dejar\(P\) ser una partición de\([a,b]\). Dejar\(R_i\) ser un subrectángulo correspondiente a\(P\) que tenga\(N\) subrectángulos. Definir\[\begin{aligned} & m_i := \inf \{ f(x) : x \in R_i \} , \\ & M_i := \sup \{ f(x) : x \in R_i \} , \\ & L(P,f) := \sum_{i=1}^N m_i V(R_i) , \\ & U(P,f) := \sum_{i=1}^N M_i V(R_i) .\end{aligned}\] Llamamos a\(L(P,f)\) la suma inferior de Darboux y\(U(P,f)\) a la suma superior de Darboux.

Comenzamos a probar hechos sobre las sumas de Darboux análogas a los resultados de una variable.

[mv:sumulbound:prop] Supongamos que\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) es un rectángulo cerrado y\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) es una función acotada. Seamos tales\(m, M \in {\mathbb{R}}\) que por todo\(x \in R\) lo que tenemos\(m \leq f(x) \leq M\). Para cualquier partición\(P\) de\(R\) tenemos\[\label{mv:sumulbound:eq} m V(R) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M\, V(R) .\]

Dejar\(P\) ser una partición. Entonces tenga en cuenta que\(m \leq m_i\) para todos\(i\) y\(M_i \leq M\) para todos\(i\). También\(m_i \leq M_i\) para todos\(i\). Por último\(\sum_{i=1}^N V(R_i) = V(R)\). Por lo tanto,\[\begin{gathered} m V(R) = m \left( \sum_{i=1}^N V(R_i) \right) = \sum_{i=1}^N m V(R_i) \leq \sum_{i=1}^N m_i V(R_i) \leq \\ \leq \sum_{i=1}^N M_i V(R_i) \leq \sum_{i=1}^N M \,V(R_i) = M \left( \sum_{i=1}^N V(R_i) \right) = M \,V(R) . \qedhere\end{gathered}\]

Integrales superiores e inferiores

Por el conjunto de superior e inferior Darboux las sumas son conjuntos acotados y podemos tomar su infima y suprema. Como antes, ahora hacemos la siguiente definición.

Si\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) es una función delimitada en un rectángulo cerrado\(R \subset {\mathbb{R}}^n\). Definir\[\underline{\int_R} f := \sup \{ L(P,f) : P \text{ a partition of $R$} \} , \qquad \overline{\int_R} f := \inf \{ U(P,f) : P \text{ a partition of $R$} \} .\]\(\underline{\int}\) Llamamos integral de Darboux inferior y integral\(\overline{\int}\) de Darboux superior.

Al igual que en una dimensión tenemos refinamientos de particiones.

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y dejar\(P = \{ P^1, P^2, \ldots, P^n \}\) y\(\tilde{P} = \{ \tilde{P}^1, \tilde{P}^2, \ldots, \tilde{P}^n \}\) ser particiones de\(R\). Decimos\(\tilde{P}\) un refinamiento de\(P\) si como conjuntos\(P^k \subset \tilde{P}^k\) para todos\(k = 1,2,\ldots,n\).

No es difícil ver que si\(\tilde{P}\) es un refinamiento de\(P\), entonces subrectángulos de\(P\) son uniones de subrectángulos de\(\tilde{P}\). En pocas palabras, en un refinamiento tomamos los subrectángulos de\(P\) y los cortamos en subrectángulos más pequeños.

[mv:prop:refinement] Supongamos que\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) es un rectángulo cerrado,\(P\) es una partición de\(R\) y\(\tilde{P}\) es un refinamiento de\(P\). Si es\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) una función acotada, entonces\[L(P,f) \leq L(\tilde{P},f) \qquad \text{and} \qquad U(\tilde{P},f) \leq U(P,f) .\]

\(R_1,R_2,\ldots,R_N\)Dejen ser los subrectángulos de\(P\) y\(\tilde{R}_1,\tilde{R}_2,\ldots,\tilde{R}_M\) ser los subrectángulos de\(\tilde{R}\). \(I_k\)Dejen ser el conjunto de índices\(j\) tales que\(\tilde{R}_j \subset R_k\). Nos damos cuenta de que\[R_k = \bigcup_{j \in I_k} \tilde{R}_j, \qquad V(R_k) = \sum_{j \in I_k} V(\tilde{R}_j).\]

Vamos\(m_j := \inf \{ f(x) : x \in R_j \}\), y\(\tilde{m}_j := \inf \{ f(x) : \in \tilde{R}_j \}\) como de costumbre. Observe también que si\(j \in I_k\), entonces\(m_k \leq \tilde{m}_j\). Entonces\[L(P,f) = \sum_{k=1}^N m_k V(R_k) = \sum_{k=1}^N \sum_{j\in I_k} m_k V(\tilde{R}_j) \leq \sum_{k=1}^N \sum_{j\in I_k} \tilde{m}_j V(\tilde{R}_j) = \sum_{j=1}^M \tilde{m}_j V(\tilde{R}_j) = L(\tilde{P},f) . \qedhere\]

El punto clave de esta proposición siguiente es que la integral inferior de Darboux es menor o igual que la integral superior de Darboux.

[mv:intulbound:prop] Let\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) una función acotada. Seamos tales\(m, M \in {\mathbb{R}}\) que por todo\(x \in R\) lo que tenemos\(m \leq f(x) \leq M\). Entonces\[\label{mv:intulbound:eq} m V(R) \leq \underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f \leq M \, V(R).\]

Para cualquier partición\(P\), vía\[mV(R) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M\,V(R).\] Al tomar suprema de\(L(P,f)\) e infima de\(U(P,f)\) sobre todo\(P\) obtenemos la primera y la última desigualdad.

La clave por supuesto es la desigualdad media en [mv:intulbound:eq]. Dejar\(P_1 = \{ P_1^1,P_1^2,\ldots,P_1^n \}\) y\(P_2 = \{ P_2^1,P_2^2,\ldots,P_2^n \}\) ser particiones de\(R\). Definir\(\tilde{P} = \{ \tilde{P}^1,\tilde{P}^2,\ldots,\tilde{P}^n \}\) dejando\(\tilde{P}^k = P_1^k \cup P_2^k\). Entonces\(\tilde{P}\) es una partición de\(R\) como se puede verificar fácilmente, y\(\tilde{P}\) es un refinamiento de\(P_1\) y un refinamiento de\(P_2\). Por,\(L(P_1,f) \leq L(\tilde{P},f)\) y\(U(\tilde{P},f) \leq U(P_2,f)\). Por lo tanto,\[L(P_1,f) \leq L(\tilde{P},f) \leq U(\tilde{P},f) \leq U(P_2,f) .\] en otras palabras, para dos particiones arbitrarias\(P_1\) y\(P_2\) tenemos\(L(P_1,f) \leq U(P_2,f)\). Vía obtenemos\[\sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $R$} \} \leq \inf \{ U(P,f) : \text{$P$ a partition of $R$} \} .\] En otras palabras\(\underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f\).

La integral de Riemann

Ahora tenemos todo lo que necesitamos para definir la integral de Riemann en\(n\) dimensiones sobre rectángulos. Nuevamente, la integral de Riemann solo se define en una cierta clase de funciones, llamadas funciones integrables de Riemann.

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado. Que\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) sea una función acotada tal que\[\underline{\int_a^b} f(x)~dx = \overline{\int_a^b} f(x)~dx .\] Entonces\(f\) se dice que es Riemann integrable. El conjunto de funciones integrables de Riemann en\(R\) se denota por\({\mathcal{R}}(R)\). Cuando\(f \in {\mathcal{R}}(R)\) definimos la integral de Riemann\[\int_R f := \underline{\int_R} f = \overline{\int_R} f .\]

Cuando la variable\(x \in {\mathbb{R}}^n\) necesita ser enfatizada escribimos\[\int_R f(x)~dx, %\qquad %\int_R f(x^1,\ldots,x^n)~dx^1 \cdots dx^n, \qquad \text{or} \qquad \int_R f(x)~dV .\]

implica inmediatamente la siguiente proposición.

[mv:intbound:prop] Let\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) Ser una función integrable de Riemann en un rectángulo cerrado\(R \subset {\mathbb{R}}^n\). Seamos\(m, M \in {\mathbb{R}}\) tal que\(m \leq f(x) \leq M\) para todos\(x \in R\). Entonces\[m V(R) \leq \int_a^b f \leq M \, V(R) .\]

Una función constante es Riemann integrable. Supongamos\(f(x) = c\) para todos\(x\) en\(R\). Entonces\[c V(R) \leq \underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f \leq cV(R) .\] Así\(f\) es integrable, y además\(\int_R f = cV(R)\).

Las pruebas de linealidad y monotonicidad son casi completamente idénticas a las pruebas de una variable. Por lo tanto, lo dejamos como un ejercicio para probar las dos proposiciones siguientes. (FIXME añadir el ejercicio).

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y dejar\(f\) y\(g\) estar dentro\({\mathcal{R}}(R)\) y\(\alpha \in {\mathbb{R}}\).

1. \(\alpha f\)está en\({\mathcal{R}}(R)\) y\[\int_R \alpha f = \alpha \int_R f\]
2. \(f+g\)está en\({\mathcal{R}}(R)\) y\[\int_R (f+g) = \int_R f + \int_R g .\]

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y dejar\(f\) y\(g\) estar dentro\({\mathcal{R}}(R)\) y dejar\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x \in R\). Entonces\[\int_R f \leq \int_R g .\]

De nuevo por simplicidad si\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\) es una función y\(R \subset S\) es un rectángulo cerrado, entonces si la restricción\(f|_R\) es integrable decimos que\(f\) es integrable en\(R\), o\(f \in {\mathcal{R}}(R)\) y escribimos\[\int_R f := \int_R f|_R .\]

Para un rectángulo cerrado\(S \subset {\mathbb{R}}^n\), si\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\) es integrable y\(R \subset S\) es un rectángulo cerrado, entonces\(f\) es integrable sobre\(R\).

Dado\(\epsilon > 0\), nos encontramos con una partición\(P\) tal que\(U(P,f)-L(P,f) < \epsilon\). Al hacer un refinamiento de\(P\) podemos suponer que los puntos finales de\(R\) están en\(P\), o en otras palabras,\(R\) es una unión de subrectángulos de\(P\). Entonces los subrectángulos de se\(P\) dividen en dos colecciones, unas que son subconjuntos de\(R\) y otras cuya intersección con el interior de\(R\) está vacía. Supongamos que\(R_1,R_2\ldots,R_K\) sean los subrectángulos que son subconjuntos de\(R\) y\(R_{K+1},\ldots, R_N\) sean el resto. Dejar\(\tilde{P}\) ser la partición de\(R\) compuesta de esos subrectángulos de\(P\) contenidos en\(R\). Después usando la misma notación que antes. \[\begin{split} \epsilon & > U(P,f)-L(P,f) = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & \geq \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) = U(\tilde{P},f|_R)-L(\tilde{P},f|_R) \end{split}\]Por lo tanto\(f|_R\) es integrable.

Integrales de funciones continuas

FIXME: Más adelante demostraremos un resultado mucho más general, pero es útil comenzar solo con funciones continuas. Antes de llegar a las funciones continuas, expongamos la siguiente proposición, la cual tiene una prueba muy fácil, pero es útil enfatizar como técnica.

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) una función acotada. Si por cada\(\epsilon > 0\), existe una partición\(P\) de\(R\) tal que\[U(P,f) - L(P,f) < \epsilon ,\] entonces\(f \in {\mathcal{R}}(R)\).

Dado un\(\epsilon > 0\) hallazgo\(P\) como en la hipótesis. Entonces\[\overline{\int_R} f - \underline{\int_R} f \leq U(P,f) - L(P,f) < \epsilon .\] Como\(\overline{\int_R} f \geq \underline{\int_R} f\) y lo anterior sostiene para cada\(\epsilon > 0\), concluimos\(\overline{\int_R} f = \underline{\int_R} f\) y\(f \in {\mathcal{R}}(R)\).

Decimos que un rectángulo\(R = [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]\) tiene el lado más largo como mucho\(\alpha\) si es\(b^k-a^k \leq \alpha\) para todos\(k\).

Si un rectángulo\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) tiene el lado más largo como máximo\(\alpha\). Entonces para cualquier\(x,y \in R\),\[\lVert {x-y} \rVert \leq \sqrt{n} \, \alpha .\]

\[\begin{split} \lVert {x-y} \rVert & = \sqrt{ {(x^1-y^1)}^2 + {(x^2-y^2)}^2 + \cdots + {(x^n-y^n)}^2 } \\ & \leq \sqrt{ {(b^1-a^1)}^2 + {(b^2-a^2)}^2 + \cdots + {(b^n-a^n)}^2 } \\ & \leq \sqrt{ {\alpha}^2 + {\alpha}^2 + \cdots + {\alpha}^2 } = \sqrt{n} \, \alpha . \qedhere \end{split}\]

[mv:thm:contintrect] Let\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) una función continua, entonces\(f \in {\mathcal{R}}(R)\).

La prueba es análoga a la prueba de una variable con algunas complicaciones. El conjunto\(R\) es cerrado y acotado y por lo tanto compacto. Así que no sólo\(f\) es continuo sino de hecho uniformemente continuo por. Dejemos\(\epsilon > 0\) que se den. Encontrar un\(\delta > 0\) tal que\(\lVert {x-y} \rVert < \delta\) implique\(\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{V(R)}\).

Dejar\(P\) ser una partición de\(R\) tal manera que el lado más largo de cualquier subrectángulo es estrictamente menor que\(\frac{\delta}{\sqrt{n}}\). Entonces para todos\(x, y \in R_k\) para un subrectángulo\(R_k\) de\(P\) tenemos, por la proposición anterior,\(\lVert {x-y} \rVert < \sqrt{n} \frac{\delta}{\sqrt{n}} = \delta\). Por lo tanto\[f(x)-f(y) \leq \left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{V(R)} .\] As\(f\) es continuo en\(R_k\), alcanza un máximo y un mínimo en este intervalo. Dejar\(x\) ser un punto\(f\) donde alcance el máximo y\(y\) ser un punto\(f\) donde alcance el mínimo. Entonces\(f(x) = M_k\) y\(f(y) = m_k\) en la notación a partir de la definición de la integral. Por lo tanto,\[M_i-m_i = f(x)-f(y) < \frac{\epsilon}{V(R)} .\] Y así\[\begin{split} U(P,f) - L(P,f) & = \left( \sum_{k=1}^N M_k V(R_k) \right) - \left( \sum_{k=1}^N m_k V(R_k) \right) \\ & = \sum_{k=1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & < \frac{\epsilon}{V(R)} \sum_{k=1}^N V(R_k) = \epsilon. \end{split}\] As\(\epsilon > 0\) fue arbitrario,\[\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f ,\] y\(f\) es Riemann integrable en\(R\).

Integración de funciones con soporte compacto

Dejar\(U \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un conjunto abierto y\(f \colon U \to {\mathbb{R}}\) ser una función. Decimos el soporte de\(f\) ser el conjunto Es\[\operatorname{supp} (f) := \overline{ \{ x \in U : f(x) \not= 0 \} } .\] decir, el soporte es el cierre del conjunto de puntos donde la función es distinta de cero. Entonces por un punto no en el apoyo que tenemos que\(f\) es constantemente cero en todo un barrio.

\(f\)Se dice que una función tiene soporte compacto si\(\operatorname{supp}(f)\) es un conjunto compacto. Consideraremos principalmente el caso cuando\(U={\mathbb{R}}^n\). A la luz del siguiente ejercicio, no se trata de una simplificación en exceso.

Supongamos que\(U \subset {\mathbb{R}}^n\)\(f \colon U \to {\mathbb{R}}\) es abierto y es continuo y de soporte compacto. Demostrar que la función\(\tilde{f} \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}\)\[\tilde{f}(x) := \begin{cases} f(x) & \text{ if $x \in U$} \\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}\] es continua.

[mv:prop:rectanglessupp] Supongamos\(f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}\) que es una función con soporte compacto. Si\(R\) es un rectángulo cerrado tal que\(\operatorname{supp}(f) \subset R^o\) donde\(R^o\) es el interior de\(R\), y\(f\) es integrable sobre\(R\), entonces para cualquier otro rectángulo cerrado\(S\) con\(\operatorname{supp}(f) \subset S^o\), la función\(f\) es integrable sobre\(S\) y\[\int_S f = \int_R f .\]

La intersección de rectángulos cerrados vuelve a ser un rectángulo cerrado (o vacío). Por lo tanto podemos tomar\(\tilde{R} = R \cap S\) ser la intersección de todos los rectángulos que contienen\(\operatorname{supp}(f)\). Si\(\tilde{R}\) es el conjunto vacío, entonces\(\operatorname{supp}(f)\) es el conjunto vacío y\(f\) es idénticamente cero y la proposición es trivial. Entonces supongamos que eso no\(\tilde{R}\) está vacío. Como\(\tilde{R} \subset R\), sabemos que\(f\) es integrable sobre\(\tilde{R}\). Además\(\tilde{R} \subset S\). Dado\(\epsilon > 0\), tomar\(\tilde{P}\) para ser una partición de\(\tilde{R}\) tal que\[U(\tilde{P},f|_{\tilde{R}})- L(\tilde{P},f|_{\tilde{R}}) < \epsilon .\] Ahora agregue los puntos finales de\(S\)\(\tilde{P}\) a para crear una nueva partición\(P\). Tenga en cuenta que los subrectángulos de también\(\tilde{P}\) son subrectángulos de\(P\). \(R_1,R_2,\ldots,R_K\)Dejen ser los subrectángulos de\(\tilde{P}\) y\(R_{K+1},\ldots,R_N\) los nuevos subrectángulos. Tenga en cuenta que desde\(\operatorname{supp}(f) \subset \tilde{R}\), entonces para\(k=K+1,\ldots,N\) nosotros tenemos\(\operatorname{supp}(f) \cap R_k = \emptyset\). En otras palabras\(f\) es idénticamente cero encendido\(R_k\). Por lo tanto en la notación utilizada anteriormente tenemos\[\begin{split} U(P,f|_S)-L(P,f|_S) & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (0) V(R_k) \\ & = U(\tilde{P},f|_{\tilde{R}})- L(\tilde{P},f|_{\tilde{R}}) < \epsilon . \end{split}\] Del mismo modo tenemos eso\(L(P,f|_S) = L(\tilde{P},f_{\tilde{R}})\) y por lo tanto\[\int_S f = \int_{\tilde{R}} f.\] ya que también\(\tilde{R} \subset R\) obtenemos\(\int_R f = \int_{\tilde{R}} f\), o en otras palabras\(\int_R f = \int_S f\).

Debido a esta proposición, cuando\(f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}\) tiene soporte compacto y es integrable sobre un rectángulo\(R\) que contiene el soporte escribimos\[\int f := \int_R f \qquad \text{or} \qquad \int_{{\mathbb{R}}^n} f := \int_R f .\] Por ejemplo si\(f\) es continuo y de soporte compacto entonces\(\int_{{\mathbb{R}}^n} f\) existe.

Ejercicios

FIXME

FIXME: Mostrar que la integración sobre un rectángulo con un lado de tamaño cero resulta en cero integral.

[mv:exersmallerset] Supongamos\(R\) y\(R'\) son dos rectángulos cerrados con\(R' \subset R\). Supongamos que\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) está en\({\mathcal{R}}(R)\). \(f \in {\mathcal{R}}(R')\)Demuéstralo.

[mv:ceroexterior] Supongamos\(R\) y\(R'\) son dos rectángulos cerrados con\(R' \subset R\). Supongamos que eso\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) está en\({\mathcal{R}}(R')\) y\(f(x) = 0\) para\(x \notin R'\). Mostrar eso\(f \in {\mathcal{R}}(R)\) y\[\int_{R'} f = \int_R f .\] Pista: ver el ejercicio anterior.

Demostrar una versión más fuerte de. Supongamos\(f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}\) que es una función con soporte compacto. Demostrar que si\(R\) es un rectángulo cerrado tal que\(\operatorname{supp}(f) \subset R\) y\(f\) es integrable sobre\(R\), entonces para cualquier otro rectángulo cerrado\(S\) con\(\operatorname{supp}(f) \subset S\), la función\(f\) es integrable sobre\(S\) y\(\int_S f = \int_R f\). Pista: observe que ahora los nuevos rectángulos que agregue como en la prueba pueden intersectarse\(\operatorname{supp}(f)\) en su límite.

Supongamos que\(R\) y\(S\) son rectángulos cerrados. Dejar\(f(x) := 1\) si\(x \in R\) y de\(f(x) = 0\) otra manera. Demostrar que\(f\) es integrable sobre\(S\) y computar\(\int_S f\).