11.1: Riemann integral sobre rectángulos

Riemann integral sobre rectángulos

Nota: Conferencias FIXME1

Al igual que en el capítulo FIXME, definimos la integral de Riemann utilizando las integrales superior e inferior de Darboux. Las ideas de esta sección son muy similares a la integración en una dimensión. La complicación es mayoritariamente notacional.

Rectángulos y particiones

Dejar$(a^1,a^2,\ldots,a^n)$ y$(b^1,b^2,\ldots,b^n)$ ser tal que$a^k \leq b^k$ para todos$k$. Un conjunto de la forma$[a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]$ se llama rectángulo cerrado. Si$a^k < b^k$, entonces un conjunto de la forma$(a^1,b^1) \times (a^2,b^2) \times \cdots \times (a^n,b^n)$ se llama rectángulo abierto.

Para un rectángulo abierto o cerrado$R := [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n] \subset {\mathbb{R}}^n$ o$R := (a^1,b^1) \times (a^2,b^2) \times \cdots \times (a^n,b^n) \subset {\mathbb{R}}^n$, definimos el volumen$n$ -dimensional por $$V(R) := (b^1-a^1) (b^2-a^2) \cdots (b^n-a^n) .$$

Una partición$P$ del rectángulo cerrado$R = [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]$ es un conjunto finito de particiones$P^1,P^2,\ldots,P^n$ de los intervalos$[a^1,b^1], [a^2,b^2],\ldots, [a^n,b^n]$. Es decir, por cada$k$ hay un entero$\ell_k$ y el conjunto finito de números$P^k = \{ x_0^k,x_1^k,x_2^k,\ldots,x_{\ell_k}^k \}$ tal que $$a^k = x_0^k < x_1^k < x_2^k < \cdots < x_{{\ell_k}-1}^k < x_{\ell_k}^k = b^k .$$ Escogiendo un conjunto de$n$ enteros$j_1,j_2,\ldots,j_n$ donde$j_k \in \{ 1,2,\ldots,\ell_k \}$ obtenemos el subrectángulo $$[x_{j_1-1}^1, x_{j_1}^1] \times [x_{j_2-1}^2, x_{j_2}^2] \times \cdots \times [x_{j_n-1}^n, x_{j_n}^n] .$$ Por simplicidad, ordenamos los subrectángulos de alguna manera y decimos $\{R_1,R_2,\ldots,R_N\}$son los subrectángulos correspondientes a la partición$P$ de$R$. En otras palabras, subdividimos el rectángulo original en muchos subrectángulos más pequeños. No es difícil ver que estos subrectángulos cubren nuestro original$R$, y su volumen se suma al de$R$. Eso es $$R= \bigcup_{j=1}^N R_j , \qquad \text{and} \qquad V(R) = \sum_{j=1}^N V(R_j).$$

Cuando $$R_k = [x_{j_1-1}^1, x_{j_1}^1] \times [x_{j_2-1}^2, x_{j_2}^2] \times \cdots \times [x_{j_n-1}^n, x_{j_n}^n]$$ entonces $$V(R_k) = \Delta x_{j_1}^1 \Delta x_{j_2}^2 \cdots \Delta x_{j_n}^n = (x_{j_1}^1-x_{j_1-1}^1) (x_{j_2}^2-x_{j_2-1}^2) \cdots (x_{j_n}^n-x_{j_n-1}^n) .$$

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y dejar$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ ser una función acotada. Dejar$P$ ser una partición de$[a,b]$. Dejar$R_i$ ser un subrectángulo correspondiente a$P$ que tenga$N$ subrectángulos. Definir $$\begin{aligned} & m_i := \inf \{ f(x) : x \in R_i \} , \\ & M_i := \sup \{ f(x) : x \in R_i \} , \\ & L(P,f) := \sum_{i=1}^N m_i V(R_i) , \\ & U(P,f) := \sum_{i=1}^N M_i V(R_i) .\end{aligned}$$ Llamamos a$L(P,f)$ la suma inferior de Darboux y$U(P,f)$ a la suma superior de Darboux.

Comenzamos a probar hechos sobre las sumas de Darboux análogas a los resultados de una variable.

[mv:sumulbound:prop] Supongamos que$R \subset {\mathbb{R}}^n$ es un rectángulo cerrado y$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ es una función acotada. Seamos tales$m, M \in {\mathbb{R}}$ que por todo$x \in R$ lo que tenemos$m \leq f(x) \leq M$. Para cualquier partición$P$ de$R$ tenemos $$\label{mv:sumulbound:eq} m V(R) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M\, V(R) .$$

Dejar$P$ ser una partición. Entonces tenga en cuenta que$m \leq m_i$ para todos$i$ y$M_i \leq M$ para todos$i$. También$m_i \leq M_i$ para todos$i$. Por último$\sum_{i=1}^N V(R_i) = V(R)$. Por lo tanto, $$\begin{gathered} m V(R) = m \left( \sum_{i=1}^N V(R_i) \right) = \sum_{i=1}^N m V(R_i) \leq \sum_{i=1}^N m_i V(R_i) \leq \\ \leq \sum_{i=1}^N M_i V(R_i) \leq \sum_{i=1}^N M \,V(R_i) = M \left( \sum_{i=1}^N V(R_i) \right) = M \,V(R) . \qedhere\end{gathered}$$

Integrales superiores e inferiores

Por el conjunto de superior e inferior Darboux las sumas son conjuntos acotados y podemos tomar su infima y suprema. Como antes, ahora hacemos la siguiente definición.

Si$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ es una función delimitada en un rectángulo cerrado$R \subset {\mathbb{R}}^n$. Definir $$\underline{\int_R} f := \sup \{ L(P,f) : P \text{ a partition of $R$} \} , \qquad \overline{\int_R} f := \inf \{ U(P,f) : P \text{ a partition of $R$} \} .$$ $\underline{\int}$ Llamamos integral de Darboux inferior y integral$\overline{\int}$ de Darboux superior.

Al igual que en una dimensión tenemos refinamientos de particiones.

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y dejar$P = \{ P^1, P^2, \ldots, P^n \}$ y$\tilde{P} = \{ \tilde{P}^1, \tilde{P}^2, \ldots, \tilde{P}^n \}$ ser particiones de$R$. Decimos$\tilde{P}$ un refinamiento de$P$ si como conjuntos$P^k \subset \tilde{P}^k$ para todos$k = 1,2,\ldots,n$.

No es difícil ver que si$\tilde{P}$ es un refinamiento de$P$, entonces subrectángulos de$P$ son uniones de subrectángulos de$\tilde{P}$. En pocas palabras, en un refinamiento tomamos los subrectángulos de$P$ y los cortamos en subrectángulos más pequeños.

[mv:prop:refinement] Supongamos que$R \subset {\mathbb{R}}^n$ es un rectángulo cerrado,$P$ es una partición de$R$ y$\tilde{P}$ es un refinamiento de$P$. Si es$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ una función acotada, entonces $$L(P,f) \leq L(\tilde{P},f) \qquad \text{and} \qquad U(\tilde{P},f) \leq U(P,f) .$$

$R_1,R_2,\ldots,R_N$Dejen ser los subrectángulos de$P$ y$\tilde{R}_1,\tilde{R}_2,\ldots,\tilde{R}_M$ ser los subrectángulos de$\tilde{R}$. $I_k$Dejen ser el conjunto de índices$j$ tales que$\tilde{R}_j \subset R_k$. Nos damos cuenta de que $$R_k = \bigcup_{j \in I_k} \tilde{R}_j, \qquad V(R_k) = \sum_{j \in I_k} V(\tilde{R}_j).$$

Vamos$m_j := \inf \{ f(x) : x \in R_j \}$, y$\tilde{m}_j := \inf \{ f(x) : \in \tilde{R}_j \}$ como de costumbre. Observe también que si$j \in I_k$, entonces$m_k \leq \tilde{m}_j$. Entonces $$L(P,f) = \sum_{k=1}^N m_k V(R_k) = \sum_{k=1}^N \sum_{j\in I_k} m_k V(\tilde{R}_j) \leq \sum_{k=1}^N \sum_{j\in I_k} \tilde{m}_j V(\tilde{R}_j) = \sum_{j=1}^M \tilde{m}_j V(\tilde{R}_j) = L(\tilde{P},f) . \qedhere$$

El punto clave de esta proposición siguiente es que la integral inferior de Darboux es menor o igual que la integral superior de Darboux.

[mv:intulbound:prop] Let$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ una función acotada. Seamos tales$m, M \in {\mathbb{R}}$ que por todo$x \in R$ lo que tenemos$m \leq f(x) \leq M$. Entonces $$\label{mv:intulbound:eq} m V(R) \leq \underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f \leq M \, V(R).$$

Para cualquier partición$P$, vía $$mV(R) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M\,V(R).$$ Al tomar suprema de$L(P,f)$ e infima de$U(P,f)$ sobre todo$P$ obtenemos la primera y la última desigualdad.

La clave por supuesto es la desigualdad media en [mv:intulbound:eq]. Dejar$P_1 = \{ P_1^1,P_1^2,\ldots,P_1^n \}$ y$P_2 = \{ P_2^1,P_2^2,\ldots,P_2^n \}$ ser particiones de$R$. Definir$\tilde{P} = \{ \tilde{P}^1,\tilde{P}^2,\ldots,\tilde{P}^n \}$ dejando$\tilde{P}^k = P_1^k \cup P_2^k$. Entonces$\tilde{P}$ es una partición de$R$ como se puede verificar fácilmente, y$\tilde{P}$ es un refinamiento de$P_1$ y un refinamiento de$P_2$. Por,$L(P_1,f) \leq L(\tilde{P},f)$ y$U(\tilde{P},f) \leq U(P_2,f)$. Por lo tanto, $$L(P_1,f) \leq L(\tilde{P},f) \leq U(\tilde{P},f) \leq U(P_2,f) .$$ en otras palabras, para dos particiones arbitrarias$P_1$ y$P_2$ tenemos$L(P_1,f) \leq U(P_2,f)$. Vía obtenemos $$\sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $R$} \} \leq \inf \{ U(P,f) : \text{$P$ a partition of $R$} \} .$$ En otras palabras$\underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f$.

La integral de Riemann

Ahora tenemos todo lo que necesitamos para definir la integral de Riemann en$n$ dimensiones sobre rectángulos. Nuevamente, la integral de Riemann solo se define en una cierta clase de funciones, llamadas funciones integrables de Riemann.

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado. Que$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ sea una función acotada tal que $$\underline{\int_a^b} f(x)~dx = \overline{\int_a^b} f(x)~dx .$$ Entonces$f$ se dice que es Riemann integrable. El conjunto de funciones integrables de Riemann en$R$ se denota por${\mathcal{R}}(R)$. Cuando$f \in {\mathcal{R}}(R)$ definimos la integral de Riemann $$\int_R f := \underline{\int_R} f = \overline{\int_R} f .$$

Cuando la variable$x \in {\mathbb{R}}^n$ necesita ser enfatizada escribimos $$\int_R f(x)~dx, %\qquad %\int_R f(x^1,\ldots,x^n)~dx^1 \cdots dx^n, \qquad \text{or} \qquad \int_R f(x)~dV .$$

implica inmediatamente la siguiente proposición.

[mv:intbound:prop] Let$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ Ser una función integrable de Riemann en un rectángulo cerrado$R \subset {\mathbb{R}}^n$. Seamos$m, M \in {\mathbb{R}}$ tal que$m \leq f(x) \leq M$ para todos$x \in R$. Entonces $$m V(R) \leq \int_a^b f \leq M \, V(R) .$$

Una función constante es Riemann integrable. Supongamos$f(x) = c$ para todos$x$ en$R$. Entonces $$c V(R) \leq \underline{\int_R} f \leq \overline{\int_R} f \leq cV(R) .$$ Así$f$ es integrable, y además$\int_R f = cV(R)$.

Las pruebas de linealidad y monotonicidad son casi completamente idénticas a las pruebas de una variable. Por lo tanto, lo dejamos como un ejercicio para probar las dos proposiciones siguientes. (FIXME añadir el ejercicio).

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y dejar$f$ y$g$ estar dentro${\mathcal{R}}(R)$ y$\alpha \in {\mathbb{R}}$.

1. $\alpha f$está en${\mathcal{R}}(R)$ y $$\int_R \alpha f = \alpha \int_R f$$
2. $f+g$está en${\mathcal{R}}(R)$ y $$\int_R (f+g) = \int_R f + \int_R g .$$

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y dejar$f$ y$g$ estar dentro${\mathcal{R}}(R)$ y dejar$f(x) \leq g(x)$ para todos$x \in R$. Entonces $$\int_R f \leq \int_R g .$$

De nuevo por simplicidad si$f \colon S \to {\mathbb{R}}$ es una función y$R \subset S$ es un rectángulo cerrado, entonces si la restricción$f|_R$ es integrable decimos que$f$ es integrable en$R$, o$f \in {\mathcal{R}}(R)$ y escribimos $$\int_R f := \int_R f|_R .$$

Para un rectángulo cerrado$S \subset {\mathbb{R}}^n$, si$f \colon S \to {\mathbb{R}}$ es integrable y$R \subset S$ es un rectángulo cerrado, entonces$f$ es integrable sobre$R$.

Dado$\epsilon > 0$, nos encontramos con una partición$P$ tal que$U(P,f)-L(P,f) < \epsilon$. Al hacer un refinamiento de$P$ podemos suponer que los puntos finales de$R$ están en$P$, o en otras palabras,$R$ es una unión de subrectángulos de$P$. Entonces los subrectángulos de se$P$ dividen en dos colecciones, unas que son subconjuntos de$R$ y otras cuya intersección con el interior de$R$ está vacía. Supongamos que$R_1,R_2\ldots,R_K$ sean los subrectángulos que son subconjuntos de$R$ y$R_{K+1},\ldots, R_N$ sean el resto. Dejar$\tilde{P}$ ser la partición de$R$ compuesta de esos subrectángulos de$P$ contenidos en$R$. Después usando la misma notación que antes. $$\begin{split} \epsilon & > U(P,f)-L(P,f) = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & \geq \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) = U(\tilde{P},f|_R)-L(\tilde{P},f|_R) \end{split}$$ Por lo tanto$f|_R$ es integrable.

Integrales de funciones continuas

FIXME: Más adelante demostraremos un resultado mucho más general, pero es útil comenzar solo con funciones continuas. Antes de llegar a las funciones continuas, expongamos la siguiente proposición, la cual tiene una prueba muy fácil, pero es útil enfatizar como técnica.

Dejar$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ una función acotada. Si por cada$\epsilon > 0$, existe una partición$P$ de$R$ tal que $$U(P,f) - L(P,f) < \epsilon ,$$ entonces$f \in {\mathcal{R}}(R)$.

Dado un$\epsilon > 0$ hallazgo$P$ como en la hipótesis. Entonces $$\overline{\int_R} f - \underline{\int_R} f \leq U(P,f) - L(P,f) < \epsilon .$$ Como$\overline{\int_R} f \geq \underline{\int_R} f$ y lo anterior sostiene para cada$\epsilon > 0$, concluimos$\overline{\int_R} f = \underline{\int_R} f$ y$f \in {\mathcal{R}}(R)$.

Decimos que un rectángulo$R = [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n]$ tiene el lado más largo como mucho$\alpha$ si es$b^k-a^k \leq \alpha$ para todos$k$.

Si un rectángulo$R \subset {\mathbb{R}}^n$ tiene el lado más largo como máximo$\alpha$. Entonces para cualquier$x,y \in R$, $$\lVert {x-y} \rVert \leq \sqrt{n} \, \alpha .$$

$$\begin{split} \lVert {x-y} \rVert & = \sqrt{ {(x^1-y^1)}^2 + {(x^2-y^2)}^2 + \cdots + {(x^n-y^n)}^2 } \\ & \leq \sqrt{ {(b^1-a^1)}^2 + {(b^2-a^2)}^2 + \cdots + {(b^n-a^n)}^2 } \\ & \leq \sqrt{ {\alpha}^2 + {\alpha}^2 + \cdots + {\alpha}^2 } = \sqrt{n} \, \alpha . \qedhere \end{split}$$

[mv:thm:contintrect] Let$R \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un rectángulo cerrado y$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ una función continua, entonces$f \in {\mathcal{R}}(R)$.

La prueba es análoga a la prueba de una variable con algunas complicaciones. El conjunto$R$ es cerrado y acotado y por lo tanto compacto. Así que no sólo$f$ es continuo sino de hecho uniformemente continuo por. Dejemos$\epsilon > 0$ que se den. Encontrar un$\delta > 0$ tal que$\lVert {x-y} \rVert < \delta$ implique$\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{V(R)}$.

Dejar$P$ ser una partición de$R$ tal manera que el lado más largo de cualquier subrectángulo es estrictamente menor que$\frac{\delta}{\sqrt{n}}$. Entonces para todos$x, y \in R_k$ para un subrectángulo$R_k$ de$P$ tenemos, por la proposición anterior,$\lVert {x-y} \rVert < \sqrt{n} \frac{\delta}{\sqrt{n}} = \delta$. Por lo tanto $$f(x)-f(y) \leq \left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{V(R)} .$$ As$f$ es continuo en$R_k$, alcanza un máximo y un mínimo en este intervalo. Dejar$x$ ser un punto$f$ donde alcance el máximo y$y$ ser un punto$f$ donde alcance el mínimo. Entonces$f(x) = M_k$ y$f(y) = m_k$ en la notación a partir de la definición de la integral. Por lo tanto, $$M_i-m_i = f(x)-f(y) < \frac{\epsilon}{V(R)} .$$ Y así $$\begin{split} U(P,f) - L(P,f) & = \left( \sum_{k=1}^N M_k V(R_k) \right) - \left( \sum_{k=1}^N m_k V(R_k) \right) \\ & = \sum_{k=1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & < \frac{\epsilon}{V(R)} \sum_{k=1}^N V(R_k) = \epsilon. \end{split}$$ As$\epsilon > 0$ fue arbitrario, $$\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f ,$$ y$f$ es Riemann integrable en$R$.

Integración de funciones con soporte compacto

Dejar$U \subset {\mathbb{R}}^n$ ser un conjunto abierto y$f \colon U \to {\mathbb{R}}$ ser una función. Decimos el soporte de$f$ ser el conjunto Es $$\operatorname{supp} (f) := \overline{ \{ x \in U : f(x) \not= 0 \} } .$$ decir, el soporte es el cierre del conjunto de puntos donde la función es distinta de cero. Entonces por un punto no en el apoyo que tenemos que$f$ es constantemente cero en todo un barrio.

$f$Se dice que una función tiene soporte compacto si$\operatorname{supp}(f)$ es un conjunto compacto. Consideraremos principalmente el caso cuando$U={\mathbb{R}}^n$. A la luz del siguiente ejercicio, no se trata de una simplificación en exceso.

Supongamos que$U \subset {\mathbb{R}}^n$$f \colon U \to {\mathbb{R}}$ es abierto y es continuo y de soporte compacto. Demostrar que la función$\tilde{f} \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$ $$\tilde{f}(x) := \begin{cases} f(x) & \text{ if $x \in U$} \\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$$ es continua.

[mv:prop:rectanglessupp] Supongamos$f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$ que es una función con soporte compacto. Si$R$ es un rectángulo cerrado tal que$\operatorname{supp}(f) \subset R^o$ donde$R^o$ es el interior de$R$, y$f$ es integrable sobre$R$, entonces para cualquier otro rectángulo cerrado$S$ con$\operatorname{supp}(f) \subset S^o$, la función$f$ es integrable sobre$S$ y $$\int_S f = \int_R f .$$

La intersección de rectángulos cerrados vuelve a ser un rectángulo cerrado (o vacío). Por lo tanto podemos tomar$\tilde{R} = R \cap S$ ser la intersección de todos los rectángulos que contienen$\operatorname{supp}(f)$. Si$\tilde{R}$ es el conjunto vacío, entonces$\operatorname{supp}(f)$ es el conjunto vacío y$f$ es idénticamente cero y la proposición es trivial. Entonces supongamos que eso no$\tilde{R}$ está vacío. Como$\tilde{R} \subset R$, sabemos que$f$ es integrable sobre$\tilde{R}$. Además$\tilde{R} \subset S$. Dado$\epsilon > 0$, tomar$\tilde{P}$ para ser una partición de$\tilde{R}$ tal que $$U(\tilde{P},f|_{\tilde{R}})- L(\tilde{P},f|_{\tilde{R}}) < \epsilon .$$ Ahora agregue los puntos finales de$S$$\tilde{P}$ a para crear una nueva partición$P$. Tenga en cuenta que los subrectángulos de también$\tilde{P}$ son subrectángulos de$P$. $R_1,R_2,\ldots,R_K$Dejen ser los subrectángulos de$\tilde{P}$ y$R_{K+1},\ldots,R_N$ los nuevos subrectángulos. Tenga en cuenta que desde$\operatorname{supp}(f) \subset \tilde{R}$, entonces para$k=K+1,\ldots,N$ nosotros tenemos$\operatorname{supp}(f) \cap R_k = \emptyset$. En otras palabras$f$ es idénticamente cero encendido$R_k$. Por lo tanto en la notación utilizada anteriormente tenemos $$\begin{split} U(P,f|_S)-L(P,f|_S) & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (M_k-m_k) V(R_k) \\ & = \sum_{k=1}^K (M_k-m_k) V(R_k) + \sum_{k=K+1}^N (0) V(R_k) \\ & = U(\tilde{P},f|_{\tilde{R}})- L(\tilde{P},f|_{\tilde{R}}) < \epsilon . \end{split}$$ Del mismo modo tenemos eso$L(P,f|_S) = L(\tilde{P},f_{\tilde{R}})$ y por lo tanto $$\int_S f = \int_{\tilde{R}} f.$$ ya que también$\tilde{R} \subset R$ obtenemos$\int_R f = \int_{\tilde{R}} f$, o en otras palabras$\int_R f = \int_S f$.

Debido a esta proposición, cuando$f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$ tiene soporte compacto y es integrable sobre un rectángulo$R$ que contiene el soporte escribimos $$\int f := \int_R f \qquad \text{or} \qquad \int_{{\mathbb{R}}^n} f := \int_R f .$$ Por ejemplo si$f$ es continuo y de soporte compacto entonces$\int_{{\mathbb{R}}^n} f$ existe.

Ejercicios

FIXME

FIXME: Mostrar que la integración sobre un rectángulo con un lado de tamaño cero resulta en cero integral.

[mv:exersmallerset] Supongamos$R$ y$R'$ son dos rectángulos cerrados con$R' \subset R$. Supongamos que$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ está en${\mathcal{R}}(R)$. $f \in {\mathcal{R}}(R')$Demuéstralo.

[mv:ceroexterior] Supongamos$R$ y$R'$ son dos rectángulos cerrados con$R' \subset R$. Supongamos que eso$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ está en${\mathcal{R}}(R')$ y$f(x) = 0$ para$x \notin R'$. Mostrar eso$f \in {\mathcal{R}}(R)$ y $$\int_{R'} f = \int_R f .$$ Pista: ver el ejercicio anterior.

Demostrar una versión más fuerte de. Supongamos$f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$ que es una función con soporte compacto. Demostrar que si$R$ es un rectángulo cerrado tal que$\operatorname{supp}(f) \subset R$ y$f$ es integrable sobre$R$, entonces para cualquier otro rectángulo cerrado$S$ con$\operatorname{supp}(f) \subset S$, la función$f$ es integrable sobre$S$ y$\int_S f = \int_R f$. Pista: observe que ahora los nuevos rectángulos que agregue como en la prueba pueden intersectarse$\operatorname{supp}(f)$ en su límite.

Supongamos que$R$ y$S$ son rectángulos cerrados. Dejar$f(x) := 1$ si$x \in R$ y de$f(x) = 0$ otra manera. Demostrar que$f$ es integrable sobre$S$ y computar$\int_S f$.