Dejar\(g_1 H\) y\(g_2 H\) ser dos cosets de\(H\) en\(G\text{.}\) Debemos demostrar que\(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) o bien\(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Supongamos que\(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\)...Dejar\(g_1 H\) y\(g_2 H\) ser dos cosets de\(H\) en\(G\text{.}\) Debemos demostrar que\(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) o bien\(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Supongamos que\(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) y\(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Entonces por la definición de un coset izquierdo,\(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) para algunos elementos\(h_1\) y\(h_2\) en\(H\text{.}\) Por lo tanto,\(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) o \(g_1 \in g_2 H\text{.}\)Por Lemma 6.3,\(g_1 H = g_2 H\text{.}\)
