4.2: Proporciones y proporciones

Resolver proporciones y proporciones es similar a los dos ejercicios anteriores. Es simplemente mirar la pregunta un poco diferente. En lugar de mirarlo como números asignaremos UNIDADES (o ítems) a los números, por ejemplo, 3 válvulas a 6 válvulas o 3 horas a 5 horas. Sin embargo, las comparaciones reales de interés se discutirán en la siguiente sección cuando comparemos diferentes UNIDADES entre sí, por ejemplo, 40 horas a 1 semana, o 12 pulgadas a 1 pie.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\[\dfrac{2}{3}=\dfrac{F}{9}\nonumber \]

Puedes leer esto como, 2 es a 3 como F es a 9.

Para resolver la relación o proporción anterior es por multiplicación cruzada.

\[9 \times 2=3 \times F \nonumber \]

Esto equivaldría a

\[18=3 F \nonumber \]

Luego, usando el método como se usó anteriormente en la Sección de Ecuaciones, dividirías ambos lados de la ecuación por 3. Tres entonces cancelarían en el lado derecho de la ecuación aislando la variable y 18 dividido por 3 le daría 6. Por lo tanto, F equivale a 6.

\[\dfrac{18}{3}=\dfrac{3 F}{3} \quad \rightarrow \quad 6=F \nonumber \]

Ejercicio 4.2

1. \(\dfrac{D}{7}=\dfrac{27}{9}\)
2. \(\dfrac{28}{L}=\dfrac{32}{8}\)
3. \(\dfrac{4}{8}=\dfrac{J}{64}\)
4. \(\dfrac{H}{5}=\dfrac{28}{70}\)
5. \(\dfrac{K}{100}=\dfrac{1}{3}\)
6. \(\dfrac{L}{12}=\dfrac{12}{3}\)
7. \(\dfrac{9}{4}=\dfrac{K}{12}\)
8. \(\dfrac{7}{F}=\dfrac{5}{15}\)
9. \(\dfrac{H}{3}=\dfrac{20}{6}\)
10. \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{Q}{35}\)
11. \(\dfrac{13}{F}=\dfrac{32}{64}\)
12. \(\dfrac{1}{7}=\dfrac{11}{J}\)

No todos los problemas proporcionales son exactamente como parecen. Los problemas anteriores fueron directamente proporcionales y pueden resolverse con relativa facilidad. Sin embargo, a veces te encontrarás indirectamente proporcional o más adecuadamente denominado “inversamente” proporcional.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Se necesitan 3 empleados para enrasar 8 hidrantes en 6 horas. ¿Cuánto tardarían 5 empleados en hacer el mismo trabajo?

Solución

Si intentas resolver este problema como si fuera directamente proporcional se vería así.

\[\dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{W} \quad \rightarrow \quad W=\dfrac{30}{3} \quad \rightarrow \quad W=10 \nonumber \]

Por este resultado tomaría 5 empleados 4 horas más para hacer el mismo trabajo.

Los problemas inversamente proporcionales deben resolverse de la siguiente manera. Es producto de los valores no de la relación que necesitas igualar.

3 empleados × 6 horas = 5 empleados x W horas

\ [\ begin {array} {l}
18=5W\
W=\ dfrac {18} {5}\
W=3.6\ texto {horas}
\ end {array}\ nonumber\]

Ejercicio 4.2.1

1. Un catálogo de seguridad vende máscaras antipolvo. Son $4.50 por docena. ¿Cuánto costarían 4 máscaras antipolvo?
2. Un operador realizó un experimento de laboratorio agregando 1.5 libras de cloro a 5 galones de agua para obtener una cierta dosis de cloro. Si el operador quisiera desinfectar 1,200 galones de agua a la misma dosis, ¿cuántas libras de cloro necesitaría?
3. Seis operadores de servicios de agua pudieron ejercer 75 válvulas en una semana laboral. Si se asignaran 9 operadores para hacer la misma tarea, ¿cuánto tiempo les llevaría? (Supongamos que 34 horas equivalen a una semana laboral)

En el problema anterior, terminaste con una fracción (expresada como decimal) de una hora. ¿Cuál sería una mejor manera de expresar esta respuesta?

1. Una empresa de servicios de agua necesita instalar 2,375 pies de tubería de 16” de diámetro. La tubería cuesta 25.80 dólares por pie. ¿Cuánto costará toda la tubería?
2. En el problema anterior, la tubería se fabrica en secciones de 20 pies. ¿Cuántas secciones necesitarían comprarse?
3. Un tanque de almacenamiento de agua necesita ser reacondicionado. Un contratista dio una estimación de que tardarían a 5 de sus empleados un total de 39 horas en completar el trabajo. ¿Qué tan pronto se puede completar el trabajo si 8 empleados fueran a hacer el trabajo?

En problemas de palabra con porcentajes, lo primero es convertir el porcentaje a un decimal. Entonces, ver la palabra “de” como un signo de multiplicación y la palabra “es” como un signo igual. Entonces, resuelve el problema

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

10% de 100 es

10% × 100 =

0.10 × 100 = 10

Ejercicio 4.2.2

Resolver los siguientes problemas porcentuales.

1. ¿30 es 20% de qué número?
2. 10 es 45% de qué número?
3. 12% de es 84.
4. ¿Cuál por ciento de 75 es 225?
5. 56% de es 182.
6. ¿35 es qué porcentaje de 500? _________________
7. El 100% de 2,000 es ______________
8. ¿Qué porcentaje de 40 es 10? ____________

Los problemas de palabras dan a la gente ajustes! No obstante, la mayoría de los problemas que se presentan en situaciones prácticas son de hecho problemas de palabras, simplemente no siempre pensamos en ellos de esa manera. Por ejemplo, si estás comprando algo de la tienda y quieres averiguar cuánto será el impuesto sobre un determinado artículo, probablemente solo multipliques el costo del artículo por el impuesto a las ventas. Aunque puedes ver este problema como un problema de palabras.

Ejercicio 4.2.3

Resuelve los siguientes problemas de palabras.

1. Un ejecutivo de servicios de agua ganó 85,000 dólares el año pasado y recibió un bono de 22%. ¿Cuánto fue su bono?
2. Un trabajador puede pintar una boca de incendios en ½ hora. ¿Cuántos hidrantes puede pintar en 4 horas?
3. Una jarra de 5 galones de agua embotellada está etiquetada como 60% de agua de manantial. ¿Cuántos galones en la jarra hay agua de manantial?
4. En un examen de tratamiento de certificación estatal debes obtener al menos 70% para aprobar. Si hay 65 preguntas en la prueba ¿cuántas debes acertarte para aprobar?