2.1: Naïvely

¿Qué es lo que diferencia a las matemáticas de otras materias académicas? ¿Qué es lo que distingue a un matemático de un poeta, un lingüista, un biólogo o un ingeniero civil? Estamos seguros de que tienes muchas respuestas a esas preguntas, ¡no todas las cuales son complementarias a los autores de este trabajo o a los instructores de matemáticas que has conocido!

Nos gustaría sugerir que una de las cosas que distingue a las matemáticas es la insistencia en la prueba. Las afirmaciones matemáticas no son aceptadas como verdaderas hasta que no hayan sido verificadas de una manera muy particular. Este proceso de verificación es central en el tema y sirve para definir nuestro campo de estudio en la mente de muchos. Permítanos citar una famosa historia de Brief Lives de John Aubrey:

[Thomas Hobbes] tenía 40 años antes de que mirara a Geometría; lo que ocurrió accidentalmente. Al estar en una biblioteca de caballeros, los Elementos de Euclides se abrieron y 'twas the 47 El. libri 1 [el Teorema de Pitágoras]. Leyó la Proposición. Por G—, dice él (de vez en cuando sudaría un juramento enfático a modo de énfasis) ¡esto es imposible! Por lo que lee la Demostración de la misma, que lo remitió de nuevo a tal Proposición; qué proposición leyó. Et sic deinceps [y así sucesivamente] que por fin estaba demostrativamente convencido de esa verdad. Esto lo enamoró de la Geometría.

¿Esto no concuerda bastante bien con tu imagen de una prueba matemática? Para probar una proposición, se parte de algunos primeros principios, se derivan algunos resultados de esos axiomas, luego, usando esos axiomas y resultados, se empuja para probar otros resultados. Esta es una técnica que has visto en cursos de geometría, cursos universitarios de matemáticas, y en el primer capítulo de este libro.

Nuestro objetivo en este capítulo será definir, precisamente, algo llamado deducción. Probablemente no hayas visto una deducción antes, y no vas a ver muchas de ellas después de que termine este capítulo, pero nuestra idea será que cualquier prueba matemática debería poder traducirse en una deducción (probablemente muy larga). Esto será crucial en nuestra interpretación de los resultados de los Capítulos 3 y 5, donde discutiremos la existencia e inexistencia de pruebas matemáticas.

Si piensas en lo que es una prueba, probablemente se te ocurra una caracterización en la línea de: Una prueba es una secuencia de declaraciones, cada una de las cuales puede justificarse haciendo referencia a declaraciones anteriores. Este es un punto de partida perfectamente razonable, y nos lleva a la principal dificultad que tendremos que abordar a medida que pasamos de una comprensión informal de lo que constituye una prueba a una definición formal de una deducción: ¿Qué quiere decir con la palabra justificada?

Nuestra respuesta a esta pregunta vendrá en tres partes. Comenzaremos especificando un conjunto\(\Lambda\) de\(\mathcal{L}\) -fórmulas, que se llamarán los axiomas lógicos. Los axiomas lógicos se considerarán “justificados” en cualquier deducción. Dependiendo de la situación que nos ocupa, especificaremos entonces un conjunto de axiomas no lógicos,\(\Sigma\). Por último, desarrollaremos algunas reglas de inferencia, que serán pares ordenados\(\left( \Gamma, \phi \right)\), donde\(\Gamma\) es un conjunto finito de fórmulas y\(\phi\) es una fórmula. Entonces, si\(\alpha\) es una fórmula, diremos que una deducción de\(\alpha\) de\(\Sigma\) es una lista finita de fórmulas\(\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n\) tal que\(\phi_n\) es\(\alpha\) y para cada una\(i\),\(\phi_i\) se justifica en virtud de ser ya sea un axioma lógico\(\left( \phi_i \in \Lambda \right)\), un axioma no lógico \(\left( \phi_i \in \Sigma \right)\), o la conclusión de una de nuestras reglas de inferencia,\(\left( \Gamma, \phi_i \right)\), donde\(\Gamma \subseteq \{ \phi_i, \phi_2, \ldots, \phi_{i - 1} \}\).

Las pruebas que has visto en tu carrera matemática han tenido un par de bonitas propiedades. El primero de ellos es que las pruebas son fáciles de seguir. (Bien, no siempre son fáciles de seguir, pero se supone que deben serlo). Esto no significa que sea fácil descubrir una prueba, sino que si alguien te está mostrando una prueba, debería ser fácil seguir los pasos de la prueba y entender por qué la prueba es correcta. La segunda propiedad admirable de las pruebas es que cuando demuestras algo, ¡sabes que es verdad! Nuestra definición de deducción estará diseñada para asegurarnos de que las deducciones, también, sean fácilmente verificables y preservarán la verdad.

Para ello, impondremos las siguientes restricciones a nuestros axiomas lógicos y reglas de inferencia:

1. Habrá un algoritmo (es decir, un procedimiento mecánico) que decidirá, dada una fórmula\(\theta\), si\(\theta\) es o no un axioma lógico.
2. Habrá un algoritmo que decidirá, dado un conjunto finito de fórmulas\(\Gamma\) y una fórmula\(\theta\), si\(\left( \Gamma, \theta \right)\) es o no una regla de inferencia.
3. Para cada regla de inferencia\(\left( \Gamma, \theta \right)\),\(\Gamma\) será un conjunto finito de fórmulas.
4. Cada axioma lógico será válido.
5. Nuestras reglas de inferencia preservarán la verdad. Es decir, para cada regla de inferencia\(\left( \Gamma, \theta \right)\),\(\Gamma \models \theta\).

La idea aquí es que aunque puede requerir sin fin de brillantez y perspicacia para descubrir una deducción de una fórmula\(\alpha\), no debe haber brillantez ni perspicacia requerida para verificar si una supuesta deducción de\(\alpha\) es, de hecho, una deducción de\(\alpha\). Verificar si una deducción es correcta será un procedimiento tan sencillo que podría programarse en una computadora. Además, estaremos seguros de que si\(\Sigma\) se da una deducción\(\alpha\) de de, y si miramos una estructura matemática\(\mathfrak{A}\) tal que\(\mathfrak{A} \models \Sigma\), entonces vamos a estar seguros de que\(\mathfrak{A} \models \alpha\). Esto es a lo que nos referimos cuando decimos que nuestras deducciones preservarán la verdad.