2.9: Resumiendo, Mirando hacia el futuro

En estos dos primeros capítulos hemos desarrollado un vocabulario para hablar de estructuras matemáticas, lenguajes matemáticos y deducciones. El capítulo 2 se ha centrado en las deducciones, que se supone que son los equivalentes formales de las pruebas matemáticas que has visto desde hace muchos años. Hemos visto algunos resultados, como el Teorema de Deducción, que indican que las deducciones se comportan como se comportan las pruebas. El Teorema de la Solidez muestra que las deducciones preservan la verdad, lo que nos da cierto consuelo al tratar de justificar en nuestra mente por qué las pruebas preservan la verdad.

Al mirar el enunciado del Teorema de la Solidez, se puede ver que se trata explícitamente de relacionar la noción sintáctica de deducibilidad\(\left( \vdash \right)\) con la noción semántica de implicación lógica\(\left( \models \right)\). El primer resultado importante del Capítulo 3, el Teorema de la Completitud, también relacionará estas dos nociones y de hecho demostrará que son equivalentes. Entonces se utilizará el Teorema de Compactación (que en realidad es una consecuencia bastante trivial del Teorema de la Completitud) para construir algunos modelos matemáticos con algunas propiedades muy interesantes.