3.5: Resumiendo, Mirando hacia el futuro

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Hemos demostrado un par de teoremas difíciles en este capítulo, y al comprender la prueba del Teorema de la Completitud has captado un argumento intrincado con una idea maravillosa en su núcleo. Nuestros resultados se han dirigido a las estructuras: ¿Qué tipo de estructuras existen? ¿Cómo podemos (o no podemos) caracterizarlos? ¿Qué tan grandes pueden ser?

El siguiente capítulo inicia nuestra discusión sobre los famosos teoremas de la incompletitud de Kurt Gödel. En lugar de discutir la fuerza de nuestro sistema deductivo como lo hemos hecho en los dos últimos capítulos, ahora discutiremos la fuerza de los conjuntos de axiomas. En particular, veremos la cuestión de cuán complicado debe ser un conjunto de axiomas para probar todas las verdaderas afirmaciones sobre la estructura estándar\(\mathfrak{N}\).

En el capítulo 4 introduciremos la idea de codificar los enunciados de\(\mathcal{L}_{NT}\) como términos y demostraremos que cierto conjunto de axiomas no lógicos es lo suficientemente fuerte como para probar algunos hechos básicos sobre los números que codifican esas declaraciones. Entonces, en los Capítulos 5 y 6, reuniremos esos hechos para demostrar que el poder expresivo que hemos ganado nos ha permitido expresar verdades que no son demostrables desde nuestro conjunto de axiomas.

Alternativamente, después del Capítulo 4 se puede pasar directamente al Capítulo 7 y abordar el tema de la demostrabilidad desde otra dirección. Pero por ahora, ¡al Capítulo 4!