4.3: La hoja de ruta hacia la incompletitud

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Al final del día, vamos a querer estar viendo esta\(\mathfrak{N}\)\(\Pi\) fórmula verdadera\(\sigma\) que hemos construido y poder decirle: “No hay deducción de ti”. La construcción de la fórmula\(\sigma\) implicará un análisis bastante detallado de los cobros de deducciones, por lo que será conveniente, si inicialmente desordenado, tener una manera de traducir las deducciones en números naturales. Así por ejemplo, más que decir “Esta larga secuencia de fórmulas es una deducción de la fórmula\(0 = 1\) “, podríamos decir “El número 42 es un código para una deducción de”\(0 = 1\).

La otra ventaja de tener esta codificación es que nos permitirá codificar declaraciones sobre números que codifican declaraciones. Por ejemplo, podría darse el caso de que el número 24601 sea un código para la declaración “El número 42 es un código para una deducción de”\(0 = 1\). O incluso (y esta es la idea clave) 24601 podría ser el código para la declaración “No hay número que sea un código para una deducción de la fórmula para la que yo soy el código”. Los detalles bastante desordenados de esto serán cubiertos en el Capítulo 6.

Todo esto depende de los hechos de que es fácil codificar declaraciones como números y decodificar números para ver qué declaraciones codifican. Además, es fácil verificar si una deducción potencial es, de hecho, una deducción. Recordemos que una deducción no es más que una secuencia finita de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o se sigue de fórmulas anteriores en la secuencia a través de una regla de inferencia. Así, una vez que decidamos una forma de codificar fórmulas y codificar secuencias de fórmulas, no será problema examinar un número y decidir si ese número codifica una deducción o no. Así nuestro camino a seguir será fijar nuestro esquema de codificación, probar que la codificación es agradable, usar el esquema de codificación para construir la fórmula\(\sigma\), y luego probar que\(\sigma\) es cierto y no demostrable. Esta ruta hacia el Teorema de Incompletitud se sigue en los Capítulos 5 y 6.