4.7: Resumiendo, Mirando hacia el futuro

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 113515

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Los grandes conceptos que hemos introducido en este capítulo son tres. Primero está la codificación, tanto la idea detrás de ella como el mecanismo que usaremos para lograrlo. En segundo lugar, hemos definido lo que significa hablar de la complejidad de una fórmula, e introducido las colecciones de\(\Sigma\) -,\(\Pi\) -, y\(\Delta\) -fórmulas. Entonces, reintrodujimos la colección de axiomas\(N\), y mencionamos (pero no probamos) que\(N\) es\(\Sigma\) -completa;\(N\) es lo suficientemente fuerte como para probar todas\(\Sigma\) -frases que son verdaderas en\(\mathfrak{N}\).

Antes de usar tenemos el camino hacia el Teorema de Incompletitud de Gödel. Pero deberíamos decir “caminos” más que camino. Tú, el lector, puedes elegir qué pasa después. Si desea ver un desarrollo de incompletitud que se base en fórmulas en\(\mathcal{L}_{NT}\), entonces continúe en el Capítulo 5. Si, por otro lado, te interesa más un argumento que se centre en cálculos que en fórmulas, omita los Capítulos 5 y 6 por ahora y pasa al Capítulo 7. Por supuesto, en una segunda lectura deberías repasar (al menos brevemente) el material que omitiste; ¡hay ideas y sutilezas que hay que apreciar en cada enfoque! Reuniremos las cosas en el Capítulo 8 y le señalaremos hacia una mayor lectura en la Lógica Matemática que le presentará más resultados y otras áreas de estudio en este fascinante campo. Pero primero, ¡a la Incompletitud!