5.1: Introducción

Hay un poco de trabajo preliminar que cubrir antes de llegar al Teorema de Incompletitud, y gran parte de esa base es bastante técnica. Aquí hay un boceto en miniatura de nuestro plan para llegar al teorema: La prueba del primer teorema de incompletitud consiste esencialmente en construir una determinada oración\(\theta\) y darse cuenta de que\(\theta\) es, por su propia naturaleza, una verdadera declaración en\(\mathfrak{N}\) y una afirmación que es improbable a partir de nuestros axiomas. Entonces el trabajo preliminar consiste en asegurarse de que esto aún por construir\(\theta\) exista y haga lo que se supone que debe hacer. En este capítulo especificaremos nuestro lenguaje y reintroduciremos\(N\), un conjunto de axiomas no lógicos. Los axiomas de\(N\) serán verdaderas oraciones en\(\mathfrak{N}\). Demostraremos que\(N\), aunque muy débil, es lo suficientemente fuerte como para demostrar algunos resultados cruciales. Luego mostraremos que nuestro lenguaje es lo suficientemente rico como para expresar varias ideas que serán cruciales en la construcción de\(\theta\).

En el Capítulo 6 probaremos el Lema de Auto-Referencia de Gödel y usaremos ese lema para construir la oración\(\theta\). Entonces declararemos y probaremos el Teorema del Primer Incompletitud, que no puede haber un conjunto decidible, consistente, completo de axiomas para\(\mathfrak{N}\). Terminaremos el capítulo con una discusión del Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel, que demuestra que ningún conjunto razonablemente fuerte de axiomas puede esperar probar su propia consistencia.