5.13: Resumiendo, Mirando hacia el futuro

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Bueno, con toda probabilidad estás agotado en este punto. Este capítulo ha estado lleno de densos argumentos técnicos con una definición imponente amontonada sobre la imposición de definición. Hemos establecido nuestros axiomas, discutido conjuntos representables y hablado de\(\Delta\) -definiciones. Acabas de terminar de vadear un flujo interminable de\(\Delta\) definiciones que culminó con la fórmula\(Deduction \left( c, f \right)\) que contiene si y solo si\(c\) es un código para una deducción de la fórmula con número de Gödel\(f\). Hemos logrado codificar nuestra teoría deductiva dentro de la teoría de números.

Reiteremos esto. Si nos fijamos en esa fórmula\(Deduction\), lo que parece es una disyunción de muchas ecuaciones y desigualdades. Todo está escrito en el idioma\(\mathcal{L}_{NT}\), así que todo en esa fórmula es de la forma\(SSS0 < SS0 + x\) (con, hay que admitirlo, más bien más\(S\) de lo que se muestra aquí). Si bien hemos dado nombres a estas fórmulas que sugieren que se trata de fórmulas y términos y tautologías y deducciones, las fórmulas son fórmulas de teoría elemental de números, por lo que las fórmulas no saben que se trata de algo más allá de si este número es mayor que ese número, no importa cuánto quieres antropomorfizarlos. Nosotros imponemos a esos números la interpretación de los números como que representan fórmulas a través del esquema de numeración de Gödel.

El siguiente capítulo nos lleva al enunciado y a la prueba del Teorema de la Incompletitud de Gödel. Para darte una idea de las cosas por venir, fíjate que si definimos el enunciado

\(Thm_N \left( f \right) =\)

\[\left( \exists c \right) \left( Deduction \left( c, f \right) \right),\]

entonces\(Thm_N \left( f \right)\) debería mantener si y sólo si\(f\) es el número de Gödel de una fórmula que es un teorema de\(N\). Estamos seguros de que nota que no\(Thm_N\) es una\(\Delta\) -fórmula, y no hay manera de arreglarlo- no podemos limitar la duración de una deducción de una fórmula. Pero\(Thm_N\) es una\(\Sigma\) -fórmula, y la Proposición 5.3.13 nos dice que las\(\Sigma\) frases verdaderas son demostrables. Esa será una de las claves de la prueba de Gödel.

Bueno, si\(90\%\) del iceberg está bajo el agua, eso lo hemos cubierto. Ahora es el momento de examinar esa gloriosa\(10\%\) que queda.