15.5: La Ecuación I

Simplificaremos el modelo SI más allá de un modelo “I”, la formulación epidemiológica más básica. Esto se puede hacer considerando una población constante, con nacimientos siempre coincidentes con las defunciones. Para lograrlo, el término de nacimiento\(b(S +I)\),, puede hacerse igual al término de muerte,\(\delta\,(S + I)\), dando

\[ \begin{align*} \frac{dS}{dt}\, &=\delta\,(S+I)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\delta\,S \\[4pt] \frac{dI}{dt}\, &=\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\alpha\,I \end{align*}\]

Sin embargo, dado que la población total —llamarla\(N\) — es constante, no\(S\) se necesita en absoluto en las ecuaciones. Siempre es igual a la población total\(N\) menos el número de infectados:\(S\,=\,N\,−\,I\). Puedes olvidarte de la\(S\) ecuación y sustituirla\(S\,=\,N\,−\,I\) en la\(I\) ecuación. Esto da

\[ \begin{align} \frac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-1}{(N-1)+I}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-I}{N}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{1}{I}\frac{dI}{dt} &=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha \end{align}\]

Este es el comienzo del modelo I. Necesita un poco más de trabajo antes de continuar con su análisis, pero primero algo de terminología adicional:

• Infección: Término aplicado tan pronto como un patógeno se ha afianzado en un hospedador.
• Enfermedad: Término que se aplica a menudo cuando una infección comienza a producir síntomas en un huésped.
• Incidencia: Número de nuevas infecciones o casos de enfermedad que aparecen en una población por unidad de tiempo. A menudo se expresa como una fracción de la población total.
• Prevalencia: El número total de infecciones o casos de enfermedad existentes en una población. A menudo se expresa como una fracción de la población total.

Con esta terminología en mente, pongamos el modelo I en la forma de prevalencia, como fracción de toda la población. En este caso, la prevalencia es solo p = I/N. Comienza donde lo dejamos, con

\[\frac{1}{I}\frac{dI}{dt}\,=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\]

multiplicar por\(I\),

\[\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I\]

dividir a través de\(N\),

\[\frac{d \frac{I}{N}}{dt} = \beta I(1-\frac{I}{N}) -\alpha I\]

prevalencia sustituta

\[\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\,p\]

y, por último, dividirlo por\(p\),

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\]

Ahora piensa en el\((1−p)\) término. Este “uno menos la prevalencia” representa la fracción de la población que es susceptible a la enfermedad. Pero alguna fracción de la población puede tener inmunidad natural a la enfermedad, y otra puede haber sido vacunada con éxito contra la enfermedad. Llamemos a esta fracción v y la restemos también de la fracción que es susceptible, finalmente dando

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

Vaya, ese es el modelo final I, ¡el punto de partida para el análisis!

Verás en un próximo capítulo que la Ecuación\ ref {15.5.12} es idéntica a un modelo de destrucción de hábitat en el que las plantas son isomórficas a las “infecciones” del paisaje, y que la destrucción del hábitat, que “protege” al paisaje de la infección por las plantas, es isomórfica a la vacunación.

Aquí está la ecuación con explicaciones término por término:

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

\(\frac{dp}{dt}\Rightarrow\,\,\)Crecimiento relativo de la prevalencia bajo condiciones imperantes en el momento\(t\)

\(\beta\Rightarrow\,\,\)Número de nuevas infecciones inducidas por cada individuo infectado en cada unidad de tiempo en una población completamente no infectada.

\(v\Rightarrow\,\,\)Probabilidad de encontrarse con un individuo que no puede ser infectado.

\(p\Rightarrow\,\,\)Probabilidad de encontrarse con un individuo infectado.

\(\alpha\Rightarrow\,\,\)Fracción de individuos infectados perdidos por unidad de tiempo.

Hay que tener en cuenta que se trata de una aproximación constante-poblacional. Siempre que un individuo muere por la enfermedad, un nuevo individuo susceptible ingresa a la población.