Saltar al contenido principal

# 15.6: Análisis del modelo I

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Con$$v$$ como prevalencia de vacunación en una población, ¿qué revelará el modelo I sobre la vacunación? En una población no infectada la prevalencia de infección será cero$$(p\,=\,0)$$, por lo que será el número de nuevas infecciones producidas por individuo infectado por unidad de tiempo$$\beta\,(1\,−\,v)$$.

En promedio, una fracción$$\alpha$$ morirá por unidad de tiempo, por lo que la duración promedio de la infección será 1/$$\alpha$$, asumiendo aleatoriedad completa. Si 1/10 mueren al año, por ejemplo, la duración promedio de la infección será de 10 años.

Esto hace$$R_0\,(v)\,=\,\beta\,(1\,−\,v)\,\times\,(1/\alpha)\,=\,(\beta/\alpha)\,(1\,−\,v)$$. Y la enfermedad disminuirá a la extinción si$$R_0\,(v)\,\lt\,1$$ —es decir$$R_0\,(v)\,=\,(\beta/\alpha)\,(1\,−\,v)\,\lt\,1$$, si, que se puede trabajar algebraicamente en unos pocos pasos para$$v\,\gt\,1\,−\,\alpha/\beta$$.

Mira lo que esto significa. Enfermedad que infecta a 4 individuos al año en una población totalmente no infectada$$\beta\,=\,4), and which remains infectious for one year \(1/\alpha\,=\,1), will decline to extinction if \(v\,\gt\,1\,−\,1/4\,=\,3/4$$. Si sólo se vacuna un poco más de 3/4 de la población, esa enfermedad eventualmente desaparecería. ¡Notablemente, una enfermedad puede ser erradicada aunque no se pueda vacunar a toda la población! En gran parte por esto, la sociedad puede desarrollar programas que se esfuercen por la conquista de la enfermedad.

¿Qué revela el$$I$$ modelo sobre la evolución de la enfermedad infecciosa? El patógeno tiene muchas más generaciones y, por lo tanto, puede evolucionar biológicamente más rápidamente que el huésped,$$\alpha$$ y$$\beta$$ puede evolucionar para beneficiar al patógeno.

Debido a que$$\beta$$ entra en la ecuación con un signo más y$$\alpha$$ entra con un signo menos, la enfermedad se$$(1/p)\,(dp/dt)$$ propagará más rápidamente —será mayor— si$$\beta$$ aumenta y$$alpha$$ disminuye.

Esto significa que, si la genética lo permite, una enfermedad exitosa que opere de acuerdo con este o cualquier modelo similar tenderá a volverse más infecciosa (más alta$$\beta$$) y menos virulenta (menor$$alpha$$) con el tiempo. Al límite, casi todo el mundo estará infectado pero el efecto en cualquiera será mínimo. Polio en humanos antes del siglo XX, y SIV en monos, son ejemplos.

En el límite final, una enfermedad podría evolucionar a virulencia negativa, es decir, a ser un mutualismo con el huésped. Bacterias rizobiales en leguminosas puede ser un ejemplo.

Como es habitual, hay refinamientos a esta idea, en parte porque la infectividad y virulencia no son independientes. Las enfermedades que evolucionan para ser más infecciosas pueden tener que utilizar más recursos metabólicos de sus víctimas y, en consecuencia, pueden volverse más virulentas en el proceso. Nuevamente, tales refinamientos pueden abordarse en modelos más específicos.

This page titled 15.6: Análisis del modelo I is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.