15.4: Las ecuaciones del SI

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SIR es también un modelo “dependiente de la frecuencia”, en un extremo de un espectro que tiene modelos “dependientes de la densidad” en el otro extremo. La dependencia de frecuencia se aproxima a situaciones en las que los propágulos de infección son limitados, mientras que la dependencia de la densidad se aproxima a situaciones en las

Pero no se preocupen por el modelo SIR completo por ahora. Lo simplificaremos aquí para revelar sus propiedades básicas. Primero, supongamos que no hay recuperación— se trata de una enfermedad incurable que, una vez contraída, permanece con su víctima para siempre. Muchas enfermedades virales se aproximan a esta situación—el herpes y el VIH, por ejemplo. En gris a continuación están todos los términos que abandonarán si no hay recuperación.

\[\frac{dS}{dt}\,=\,b(S+I\color{grey}{+R}\color{black}\,)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I\color{grey}{+R}}\,-\delta\,S\]

\[\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I\frac{S}{S+I\color{grey}{+R}}\,\color{grey}{-\gamma\,I}\color{black}{\,-\alpha\,I}\]

\[\color{grey}{\frac{dR}{dt}\,=\gamma\,I\,-\delta\,R}\]

Al eliminar esos términos se obtiene un modelo “SI”.

\[\frac{dS}{dt}\,=\,b(S+I)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\delta\,S\]

\[\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\alpha\,I\]

Pero no vamos a preocuparnos por este modelo en este momento.