15.3: Las ecuaciones SIR

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Todo el proceso representado en la Figura 15.2.1 es equivalente al siguiente conjunto de ecuaciones.

\(\frac{dS}{dt}\,=\,b(S+I+R)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I+R}\,-\delta\,S\)

\(\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I\frac{S}{S+I+R}\,-\gamma\,I\,-\alpha\,I\)

\(\frac{dR}{dt}\,=\gamma\,I\,-\delta\,R\)

A la izquierda en cada ecuación se encuentra la tasa neta de cambio de cada caja, teniendo en cuenta todas las flechas que transfieran individuos de una caja y hacia otra. Nuevamente,\(S\) es la densidad de individuos susceptibles,\(I\) la densidad de individuos infectados y\(R\) la densidad de individuos recuperados. Obsérvese que los términos están equilibrados— el término\(\gamma\,I\), por ejemplo, que representa a los individuos que ingresan a la casilla recuperada en la última ecuación, se equilibra con el término complementario\(-\gamma\,I\), dejando la caja infectada en la ecuación media.

El modelo SIR es otro “modelo macroscale”. Con los cambios recientes en la computación, los “modelos a microescala”, que procesan decenas o cientos de millones de hosts individuales, son cada vez más utilizados. Pueden llevarlo de manera confiable más allá de lo que pueden hacer las formulaciones puramente matemáticas. Más sobre ellos en capítulos posteriores.