7.5: Amortiguación del Caos

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cambiar parameters.JPG — Figura\(\PageIndex{1}\). Bifurcaciones con parámetros cambiantes. En todas las partes s = −r−1. (A) r = 2.84, periodo 3, (B) r = 2.575, cercano periodo 4, (C) r = 2.48, periodo 4, (D) r = 2.26, periodo 2.

alt — Figura\(\PageIndex{2}\). Naturaleza cambiante del equilibrio, periodo 1. En todas las partes s = −r−1. (A) r = 2.00, (B) r = 1.86, (C) r = 1.24, (D) r = 0.60.

Cambiando equilibrium.JPG — Figura\(\PageIndex{2}\). Naturaleza cambiante del equilibrio, periodo 1. En todas las partes s = −r−1. (A) r = 2.00, (B) r = 1.86, (C) r = 1.24, (D) r = 0.60.

Si la tasa de crecimiento r disminuye, la cantidad que la población puede sobrepasar su capacidad de carga también disminuye, lo que significa que el tamaño y severidad de las fluctuaciones también deberían disminuir. Cifras\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) muestran que esto sucede.

Cuando r disminuye de 3 a 2.84, por ejemplo, como en la Parte A de la Figura\(\PageIndex{1}\), el caos desaparece y las oscilaciones se vuelven regulares, saltando de un valor bajo específico a un valor medio específico a un valor alto específico, luego volviendo a caer para repetir el ciclo. A esto se le llama “período tres”. También se ha desvanecido la dependencia sensible de las condiciones iniciales; los ligeros cambios en la población inicial no producirán patrones diferentes, como en la Figura 7.3.1, sino que terminarán acercándose exactamente a los mismos tres niveles que antes. El patrón es estable. Además, cambiar ligeramente el parámetro r no cambiará el patrón del período tres a otra cosa. Los valores exactos de los tres niveles cambiarán ligeramente, pero el patrón del período tres se mantendrá.

Pero cuando r se cambia más de un poco—a 2.575, por ejemplo, como en la Parte B— el patrón del período tres desaparece y, en este caso, aparece un patrón caos. La población fluctúa entre cuatro bandas distintas, con una distribución compleja dentro de cada una, como se muestra a la derecha en la Parte B. Con r algo más baja —a 2.48, por ejemplo, como en la Parte C— las bandas se unen en un patrón de período-cuatro, que es estable como el patrón período-tres en la Parte A. Con reducciones adicionales en r, el patrón del período cuatro se corta por la mitad a un patrón de período dos, como en la Parte D, y finalmente a un período-uno, un patrón de equilibrio.

La figura\(\PageIndex{2}\) muestra la progresión de r = 3 hacia abajo, ya que cambia de una oscilación hacia el equilibrio, como en las Partes A y B, y a un enfoque suave, como en las Partes C y D. Este enfoque suave comienza cuando la tasa de crecimiento es lo suficientemente pequeña como para que la población no sobrepase su capacidad de carga.