La unión e intersección de dos conjuntos
- Page ID
- 149494
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Resultados de aprendizaje
- Encuentra la unión de dos conjuntos.
- Encuentra la intersección de dos conjuntos.
- Combina uniones intersecciones y complementos.
Todas las clases de estadística incluyen preguntas sobre probabilidades que involucran la unión e intersecciones de conjuntos. En inglés, usamos las palabras “O”, y “Y” para describir estos conceptos. Por ejemplo, “Encuentra la probabilidad de que un estudiante esté tomando una clase de matemáticas o una clase de ciencias”. Eso es expresar la unión de los dos conjuntos en palabras. “Cuál es la probabilidad de que una enfermera tenga una licenciatura y más de cinco años de experiencia laborando en un hospital”. Eso es expresar la intersección de dos conjuntos. En esta sección aprenderemos a descifrar este tipo de oraciones y aprenderemos sobre el significado de uniones e intersecciones.
Sindicatos
Un elemento está en la unión de dos conjuntos si está en el primer conjunto, el segundo conjunto, o ambos. El símbolo que utilizamos para la unión es\(\cup\). La palabra que a menudo verás que indica un sindicato es “o”.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Union of Two sets
Dejar:
\[A=\left\{2,5,7,8\right\} \nonumber\]
y
\[B=\lbrace1,4,5,7,9\rbrace \nonumber \]
Encuentra\(A\cup B\)
Solución
Incluimos en la unión cada número que está en A o está en B:
\[A\cup B=\left\{1,2,4,5,7,8,9\right\} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Union of Two sets
Considera la siguiente frase, “Encuentra la probabilidad de que un hogar tenga menos de 6 ventanas o tenga una docena de ventanas”. Escribe esto en notación de conjuntos como la unión de dos conjuntos y luego escribe esta unión.
Solución
Primero, que A sea el conjunto del número de ventanas que representa “menos de 6 ventanas”. Este conjunto incluye todos los números del 0 al 5:
\[A=\left\{0,1,2,3,4,5\right\} \nonumber \]
A continuación, que B sea el conjunto del número de ventanas que representa “tiene una docena de ventanas”. Este es solo el conjunto que contiene el único número 12:
\[B=\left\{12\right\} \nonumber \]
Ya podemos encontrar la unión de estos dos conjuntos:
\[A\cup B=\left\{0,1,2,3,4,5,12\right\} \nonumber \]
Intersecciones
Un elemento está en la intersección de dos conjuntos si está en el primer conjunto y está en el segundo conjunto. El símbolo que usamos para la intersección es\(\cap\). La palabra que a menudo verás que indica una intersección es “y”.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Intersection of Two sets
Dejar:
\[A=\left\{3,4,5,8,9,10,11,12\right\} \nonumber \]
y
\[B=\lbrace5,6,7,8,9\rbrace \nonumber \]
Encuentra\(A\cap B\).
Solución
Solo incluimos en la intersección que los números que están tanto en A como en B:
\[A\cap B=\left\{5,8,9\right\} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Intersection of Two sets
Considera la siguiente frase, “Encuentra la probabilidad de que el número de unidades que un estudiante está tomando sea más de 12 unidades y menos de 18 unidades”. Suponiendo que los estudiantes sólo toman un número entero de unidades, escribir esto en notación de conjunto como la intersección de dos conjuntos y luego escribir esta intersección.
Solución
Primero, que A sea el conjunto de números de unidades que representa “más de 12 unidades”. Este conjunto incluye todos los números a partir de 13 y continuando para siempre:
\[A=\left\{13,\:14,\:15,\:...\right\} \nonumber \]
A continuación, que B sea el conjunto del número de unidades que representa “menos de 18 unidades”. Este es el conjunto que contiene los números del 1 al 17:
\[B=\left\{1,\:2,\:3,\:...,\:17\right\} \nonumber \]
Ahora podemos encontrar la intersección de estos dos conjuntos:
\[A\cap B=\left\{13,\:14,\:15,\:16,\:17\right\} \nonumber \]
Combinando Uniones, Intersecciones y Complementos
Uno de los mayores retos en la estadística es descifrar una frase y convertirla en símbolos. Esto puede ser particularmente difícil cuando hay una oración que no tiene las palabras “unión”, “intersección”, o “complemento”, pero sí se refiere implícitamente a estas palabras. La mejor manera de dominar esta habilidad es practicar, practicar y practicar más.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Considera la siguiente frase: “Si rotas un dado de seis lados, encuentra la probabilidad de que no sea parejo y no sea un 3”. Escribe esto en notación de conjunto.
Solución
Primero, que A sea el conjunto de números pares y B sea el conjunto que contenga solo 3. Podemos escribir:
\[A=\left\{2,4,6\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{3\right\} \nonumber \]
A continuación, como queremos “ni siquiera” necesitamos considerar el complemento de A:
\[A^c=\left\{1,3,5\right\} \nonumber \]
De igual manera ya que queremos “no un 3", necesitamos considerar el complemento de B:
\[B^c=\left\{1,2,4,5,6\right\} \nonumber \]
Por último, notamos la palabra clave “y”. Así, se nos pide que encontremos:
\[A^c\cap B^c=\:\left\{1,3,5\right\}\cap\left\{1,2,4,5,6\right\}=\left\{1,5\right\} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Considera la siguiente frase: “Si seleccionas aleatoriamente a una persona, encuentra la probabilidad de que la persona sea mayor de 8 años o sea menor de 6 y no menor de 3 años”. Escribe esto en notación de conjunto.
Solución
Primero, que A sea el conjunto de personas mayores de 8 años, B sea el conjunto de personas menores de 6 y C sea el conjunto de personas menores de 3 años. Podemos escribir:
\[A=\left\{x\mid x>8\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{x\mid x<6\right\},\:C=\left\{x\mid x<3\right\} \nonumber \]
Se nos pide encontrar
\[A\cup\left(B\cap C^c\right) \nonumber \]
Obsérvese que el complemento de\(< \) "" es "\(\ge\)”. Así:
\[C^c=\left\{x\mid x\ge3\right\} \nonumber \]
A continuación encontramos:
\[B\cap C^c=\left\{x\mid x<6\right\}\cap\left\{x\mid x\ge3\right\}=\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber \]
Finalmente, encontramos:
\[A\cup\left(B\cap C^c\right)=\:\left\{x\mid x>8\right\}\cup\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber \]
La forma más clara de mostrar esta unión es en una línea numérica. La línea numéricasiguiente muestra la respuesta:
Ejercicio
Supongamos que elegimos a una persona al azar y estamos interesados en encontrar la probabilidad de que el mes de nacimiento de la persona venga después de julio y no venga después de septiembre. Escribe este evento usando notación de conjunto.