5.4: La Energía de Campo Magnetostático

Se requiere energía para establecer un campo magnético. La densidad de energía almacenada en un campo magnetostático establecido en un material isotrópico lineal viene dada por

\[\text{W}_{\text{B}}=\frac{\mu}{2} \text{H}^{2}=\frac{\vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{B}}}{2} \quad \text { Joules } / \text{m}^{3}. \label{5.40}\]

La energía total almacenada en el campo magnetostático se obtiene integrando la densidad de energía, W _B, sobre todo el espacio (el elemento de volumen es d\(\tau\)):

\[\text{U}_{\text{B}}=\int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau\left(\frac{\vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{B}}}{2}\right). \label{5.41}\]

Esta expresión para la energía total, U _B, puede transformarse en una integral sobre las fuentes del campo magnetostático. La transformación se puede llevar a cabo por medio de la identidad del vector

\[\operatorname{div}(\vec{\text{A}} \times \vec{\text{H}})=\vec{\text{H}} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{\text{A}})-\vec{\text{A}} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{\text{H}}). \label{5.42}\]

(Hay una agradable discusión sobre esta identidad en The Feynman Lectures on Physics, vol.II, sección 27.3, de R.P.Feynman, R.B.Leighton, y M.Sands, Addison-Wesley, Reading, Mass.,1964). Proceda integrando la Ecuación (\ ref {5.42}) sobre todo el espacio, luego usa el teorema de Gauss para transformar el lado izquierdo en una integral de superficie. El resultado es

\[\int \int_{S u r f a c e}(\vec{A} \times \vec{H}) \cdot d \vec{S}=\int \int \int_{V o l u m e} d \tau\left(\vec{H} \cdot \vec{B}-\vec{J}_{f} \cdot \vec{A}\right), \label{5.43}\]

donde d\(\vec S\) es el elemento de superficie,\(\vec{\text{B}}=\vec{\nabla} \times \vec{\text{A}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}})\), y\(\vec{\nabla} \times \vec{\text{H}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f}\). Aquí\(\vec A\) está el potencial del vector y\(\vec J_{f}\) es la densidad de corriente. Cuando las integrales en la Ecuación (\ ref {5.43}) se extienden sobre todo el espacio, la integral de superficie va a cero: el área superficial de una esfera de radio grande R es proporcional a ^R2 pero para las corrientes confinadas a una región finita del espacio |\(\vec A\) | debe disminuir al menos tan rápido como una fuente de dipolo, es decir\(\propto 1 / \text{R}^{2}\), y\(\vec H\) | | deben disminuir al menos tan rápido como 1/R ³. De ello se deduce que en el límite R grande la integral de superficie debe ir a cero como 1/R ³. Esto requiere que los dos términos del lado derecho de (\ ref {5.43}) sean iguales, y este resultado puede ser usado para reescribir la expresión (\ ref {5.41}) en términos del potencial vectorial y la densidad de corriente fuente:

\[\text{U}_{\text{B}}=\frac{1}{2} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau(\vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{B}})=\frac{1}{2} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau\left(\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{A}}\right) . \label{5.44}\]

En muchos problemas la densidad de corriente se limita a un cable cuyas dimensiones son pequeñas en comparación con otras longitudes en el problema. Para tal circuito la contribución a la segunda integral de volumen en (\ ref {5.44}) se desvanece a excepción de los puntos dentro del cable, y por lo tanto la integral de volumen puede ser reemplazada por una integral de línea a lo largo del cable proporcionando que la variación del potencial vectorial\(vec A\),, sobre la sección transversal del cable se puede descuidar. Para un alambre de espesor insignificante

\[\int \int \int_{Space} \text{d} \tau\left(\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{A}}\right) \rightarrow \text{I} \oint_{C} \vec{\text{A}} \cdot \text{d} \vec{\text{L}}, \label{5.45}\]

donde I es la corriente a través del cable; la corriente debe ser la misma, por supuesto, en todos los puntos a lo largo del circuito. La integral de línea del potencial vectorial alrededor de un circuito cerrado es igual al flujo magnético,\(\Phi\), a través del circuito. Esta equivalencia se puede ver usando la definición\(\vec B\) = curl (\(\vec A\)) junto con el teorema de Stokes para transformar la integral para el flujo:

\[\Phi=\int \int_{S} \vec{\text{B}} \cdot \text{d} \vec{\text{S}}=\int \int_{S} \operatorname{curl}(\vec{\text{A}}) \cdot \text{d} \vec{\text{S}}=\oint_{C} \vec{\text{A}} \cdot \text{d} \vec{\text{L}} , \label{5.46}\]

donde la curva C limita la superficie S. Combinando ecuaciones (\ ref {5.46}) y (\ ref {5.44}), se puede escribir la energía magnética asociada a un solo circuito

\[\text{U}_{\text{B}}=\frac{1}{2} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau\left(\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{A}}\right)=\frac{1}{2} \text{I} \Phi , \label{5.47}\]

y para una serie de circuitos, N,

\[\text{U}_{\text{B}}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \text{I}_{\text{k}} \Phi_{k} . \label{5.48}\]

Esta última expresión es similar a la Ecuación (3.3.6) para la energía electrostática asociada a una colección de conductores cargados: las corrientes en el caso magnetostático juegan un papel similar al de las cargas en el caso electrostático, y el flujo juega un papel similar al papel desempeñado por los potenciales.

Figura\(\PageIndex{7}\): N circuitos incrustados en un medio lineal, isotrópico. Los flujos magnéticos,\(\Phi_{k}\), son funciones lineales de las corrientes I _j. Los coeficientes de inductancia satisfacen las relaciones de simetría L _MN = L _NM.